C题 地面搜索模型.docx

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C题地面搜索模型

全国大学生竞赛山东赛区组委会

2008年C题地面搜索模型

时间:

2009-03-2610:

25来源:

竞赛组委会作者:

山东专科班艺瀚点击:

515次

如何制定搜救队伍的行进路线，在最短的时间内对预定区域进行快速的全面搜索是在此紧急情况下需要解决的重要问题之一。

本文旨在研究在一平地矩形区域上的地面搜索问题。

                                    地面搜索模型

                        山东电力高等专科学校班艺瀚闫忠伟韩丽萍丁梅指导

论文点评:

本文根据实际问题的实际背景应用图论建立了搜索数学模型,分析了搜索过程中路径选择策略问题，对20人搜索问题提出有效的整体搜索方案和路径选择，计算了完成全面搜索所需要的时间，并研究了完成搜索人物所需要的人数，得到了较好的结果。

对50人搜索问题提出了分组和分区域方案。

本文的创新之处在于文章对种方案的均衡性进行了较为深入的讨论。

中国石油大学数学与计算科学学院王子亭教授

2008/09/25

摘要

2008年5月12日汶川发生里氏8.0级特大地震，使得震区地面交通和通讯系统严重瘫痪。

如何制定搜救队伍的行进路线，在最短的时间内对预定区域进行快速的全面搜索是在此紧急情况下需要解决的重要问题之一。

本文旨在研究在一平地矩形区域上的地面搜索问题。

在问题一中，我们首先给出了20人一组的搜索队伍,搜索完整个区域至少需要个小时这样一个有利的结论。

我们先采用圆滚动模型，但会出现队员与组长联系不到的缺点；经分析，采用图论中的赋权连通图法可以改进圆滚动模型的缺点，组长在任何位置都可以联系到所有队员，搜索中不存在重叠现象，且搜索用的时间最短，在赋权连通图用算法找到最小生成树，在此生成树中采用扩环策略、增环策略、换枝策略的思想，经过调整，采用拐弯、不拐弯两种搜索方法，寻找到20人一组的最佳搜索路线。

按此方式，我们得到这样几个结果：

（1）搜索完整个平面矩形区域所用的时间为小时。

（2）在小时以内不能完成搜索任务。

（3）增加到人，在47.41小时内可以完成搜索任务。

在问题二中，我们采用第一、二组各20人，第三组10人的分组方式，给出了分组的均衡度，说明分组的均衡度很好。

我们根据最小生成树分解原则进行分区域，再次采用扩环策略、增环策略、换枝策略的思想，给出了第一、二组搜索完需要的时间是，第三组搜索完需要的时间是。

即50人三组搜索完整个平面矩形区域需要。

最后，给出了一个双层非线性规划，将其内层目标函数、约束条件构造了条件，从规划的角度分析了此模型。

图论中的赋权连通图法，将图论，规划，算法有机地结合在一起。

关键词：

最小生成树；均衡度；规划；圆滚动模型

一、问题重述

1.1背景

2008年5月12日汶川大地震中，震区地面交通和通讯系统严重瘫痪。

大家知道救助灾民的黄金时间是72小时，能在短时间内搜索到需要救助的人员得位置，并更快的进行救助是我们的首要任务。

救灾指挥部紧急派出多支小分队，到各个指定区域执行搜索任务，以确定需要救助的人员的准确位置。

在这种紧急情况下需要解决的重要问题之一是：

制定搜索队伍的行进路线，对预定区域进行快速的全面搜索。

1.2简化的搜索问题

我们有一个平地矩形目标区域，需要进行全境搜索。

出发点在区域中心；搜索完成后需要进行集结，集结点在左侧短边中点。

每个人带有GPS定位仪、步话机。

搜索队伍若干人为一组,有一个组长，组长还拥有卫星电话。

每个人搜索到目标，需要用步话机及时向组长报告，组长用卫星电话向指挥部报告搜索的最新结果。

1.3我们需要解决的问题

（）若搜索队伍人，一组,台卫星电话。

设计耗时最短的搜索方式并求出搜索完整个区域的时间。

若在小时内不能完成搜索任务，需要增加到多少人才可以完成。

（2）若搜索队伍人，三组，台卫星电话。

每组可独立将搜索情况报告给指挥部门。

设计耗时最短的搜索方式并求出搜索完整个区域的时间。

二、模型假设

假设搜索目标区域为长米，宽米的平地矩形区域，需要进行全境搜索。

假设每个搜索队员搜索时的可探测半径为米，搜索时平均行进速度为米/秒；不需搜索只行进时,平均速度为米/秒。

假设步话机通讯半径为米。

假设在出发点部署时，等到所有队员都到自己的位置后所有人在同一时间出发。

假设搜索队员一旦发现目标，直接向组长报告，组长立即向指挥部报告，报告时间为秒，且不影响搜索工作。

假设搜索队员一旦发现目标，能够直接定位彼此的相对坐标，并根据自己的定位仪得到的自身坐标，定出目标的坐标，花费时间为秒。

三、符号说明与概念

3.1符号说明

----------赋权连通图；

-----------------赋权连通图的第个子图；

------------------子图中的最佳回路；

----------------边的边权；

------------------点的边权；

-----------------最佳回路的各边权之和；

------------------的各点权之和；

---------------------搜索每块区域的时间

为叙述方便起见，我们在文中不加说明的使用上述变量或符号的变形形式，它们的含义可通过上下文确定。

3.2概念

均衡度：

为该分组的实际时间均衡度，显然，越小，说明分组的均衡度越好；

最大容许均衡度：

；

均衡分组：

取定一个后，和满足条件（其中）的分组时一个均衡分组。

四、模型分析

4.1搜索队员为人时的思路

4.1.1圆滚动性模型

圆滚动模型是以组长为圆心，为半径的圆以一定速度向前滚动。

用类比的方法就可以得到人一起以同一速度向前搜索，覆盖整个矩形区域。

我们还给出了一些数据，见附录一。

我们在表中取每个人到各点的时间，绘成每个人的时间——地点图。

为了描述方便我们取1号，2号，20号人员的图在同一图中以不同颜色显示，命令为：

Show[p1,p2,p20]

由离散图联线得到的图证明随着每人路程的增加，图形大致有两两之间距离增加的趋向。

而且增加只出现在拐弯处，所有人的时间差成扇形分布，且外侧时间叫大，当到了直行时，时差不变。

在过程中我们可发现1号和20号有时调换位置，当完成一次调换时，时差变化为0。

在1-2-3-4、4-5-6-7-8、12-13-14-15出现一次完整调换。

由于20号人员在运动中大多数时间在外侧拐弯，因而造成速度上有较大变化。

同理1号人员速度有较小变化。

从地点7-8-9-10-11-12处20号人员一直跑外圈，而1号跑内圈。

我们在离散图中得到20号发生巨变（离散图特性造成）。

在16-17-18期间速度发生变化（个人距离安排不同），同样引起巨变。

且所有人的时差最小。

18-19上直线前进，时差不变。

19-20上以1.2米每秒速度在短距离上快速集合，时差变化微弱。

运用此方法可能会出现联系不上组长的情况。

可以调节，但是需要很大的工作量，所以我们给出下面的思路。

4.1.2图论模型

在第一问中搜索队只有一组，搜索路线从出发点出发，沿预定路线遍历全境，最后到集合点集合。

把该问题抽象为赋权连通图问题，即：

将探测范围的内切正方形作为研究点，又将以研究点组成的通信范围的内切正方形为研究点。

经过大体运算可以得到沿矩形长分布个，宽分布个；得一无向连通图，,两点之间的长度，即为无向图的边权，寻找一条最佳路线，即在图中，找到一条由点到点的路，它至少经过所有顶点一次，使总时间（总路程）最小。

搜索队员为人时的思路

如果搜索人员分成三组，每组搜索部分区域，且所有区域都搜索到，如果把这些区域都搜索到，即图中把图分成若干个连通的子图，每个子图中寻找一条包含的回路。

完成搜索的时间应是各组搜索时间中最长的时间。

故为使搜索效率高，因尽量使各组搜索时间接近，反映在图中分块使尽量均衡。

五、模型建立与求解

5.1搜索队伍为人时的模型

5.1.1一个有利的结论

命题：

人一组的搜索队伍,搜索完整个区域至少需要个小时。

证明：

在不考虑部署、聚集等非搜索行为的情况下，人为一组部署在矩阵的左上角，沿左侧短边以间距米的距离一字排开，离最靠近上边的一人距上边为米，即搜索范围长为米。

由左到右开始搜索，达到最右边时所有人员向下方平移米，以此类推。

由矩形宽度得

可划分为块地区。

如图1：

图1不考虑非搜索行为的情况下，分成的9块区域及搜索顺序

由搜索速度和矩形长度得，每块区域需要搜索时间：

秒

搜索完块区域需要的时间为

秒秒小时。

因为这个结论是在绝对理想状态下得到的最下限，现实中是不可能出现的。

故模型结果一定大于该极限值小时。

5.1.2模型建立

把通过各区域的时间示意图抽象为一赋权连通图，在赋权图中，对应示意图中搜索人员所在地，表示出发点所在地，对应示意图中的位置，如果相邻，则边权=0；如果不相邻，则边权为间距之差。

建立的数学模型如下：

，，，求中回路，使得满足：

（1），

（2）；

（3）（目标为搜索时间最短）

5.1.3模型求解

将平面矩形区域平均分割成数个的小正方形，得到平面矩形区域长边有个小正方形，宽边上有个小正方形。

然后将小正方形压缩成一个位于小正方形中心的点。

平面矩形图中形成个点。

为了计算方便，我们将在出发点左侧的个点，先不与考虑。

就形成了如图2（a）的点图。

图2（a）图G的点集

图2（b）图G

将图2（a）中的点作为图的顶点，做一图，其点与边的关系如图2（b），因为最小生成树能包含图G中所有顶点，考虑最小生成树。

根据最小生成树求解算法：

Step1将的条边按排序，。

取，，

Step2边的端点的标号是否相等？

是：

取，转Step2；否：

取

Step3对一切满足的，取

Step4中的边数？

是：

算法终止；否：

取，转Step2。

我们找到图的最小生成树T如下：

图最小生成树T

现要对已得到的最小生成树T，变换图形以获得便于解的方案。

（a）扩环策略：

如果在图中的路径中，有孤立的枝存在，如图4所示代表1，2，3三个顶点，若，则应考虑扩环。

扩环策略还可扩展到多个顶点的情况，如图4所示：

扩环后比扩环前其权和变化为。

若，则应扩环。

当时，扩环后总时间更少，可进行扩环调整。

（a）3点扩环图

（b）多点扩环图

图4扩环图

（b）增环策略：

若环路上某顶点处长出两条枝，且存在可使两枝成环的边，可考虑增环。

增环前后其权和变化为。

若，则应增环。

当时，增环后总时间更少，可进行增环调整。

我们对图5进行分析，发现扩环策略条件完全满足，故则两种策略完全适用。

图5增环图

（c）换枝策略：

若环路上某顶点长出一条枝，而该枝末梢同环路中另一顶点距离接近，可考虑换枝。

如图6所示，若

则应考虑换枝。

换枝的结果是使被重复的路减少。

图6换枝图

根据以上的优化策略及分块结果，在，中分别寻找一条从出发点出发，遍历整个区域的最短时间。

在图中，求三条从出发点回到出发点的路，满足为中经过点的集合，使得最小，且与相差不大。

结合圆滚动模型调整可得最优图为图7。

图7搜索路线

搜索分析：

当以人为一组搜索时，人在中间以间隔为米纵向分开，即人的搜索范围为米，且人在到达