则f(x)在上单调递减,在上单调递增,又f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,
所以f=-+1=0,得a=3,
所以f(x)=2x3-3x2+1,则f′(x)=6x(x-1),
当x∈(-1,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
则f(x)max=f(0)=1,f(-1)=-4,f
(1)=0,
则f(x)min=-4,所以f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为-3.
8.已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数.
(1)当a=-1时,求f(x)的单调递增区间;
(2)当0<-(3)当a=-1时,试推断方程|f(x)|=+是否有实数根.
解
(1)由已知可知函数f(x)的定义域为{x|x>0},
当a=-1时,f(x)=-x+lnx(x>0),f′(x)=(x>0);
当00;当x>1时,f′(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为(0,1).
(2)因为f′(x)=a+(x>0),令f′(x)=0,解得x=-;
由f′(x)>0,解得0从而f(x)的单调递增区间为,递减区间为,
所以,f(x)max=f=-1+ln=-3.
解得a=-e2.
(3)由
(1)知当a=-1时,f(x)max=f
(1)=-1,
所以|f(x)|≥1.
令g(x)=+,则g′(x)=.
当00;
当x>e时,g′(x)<0.
从而g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.
所以g(x)max=g(e)=+<1,
所以,|f(x)|>g(x),即|f(x)|>+,
所以,方程|f(x)|=+没有实数根.