吉林省长春市第108中学考前10道中考数学压轴题含答案doc.docx

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吉林省长春市第108中学考前10道中考数学压轴题含答案doc

交于八、B两点,

10道中考压轴题

1.（2015*枣庄）如图，直线y二X+2与抛物线

y=ax2+bx+6（aHO）相交于A（丄,—）和B（4,m）,

22

点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC丄x轴于点D,交抛物线于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？

若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求APAC为直角三角形时点P的坐标.

2.（2015*酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0,4）,B（1,0）,C（5,0）,其对称轴与x轴相交于点M.

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使APAB的周长最小？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC,在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N,使ANAC的面积最大？

若存在，请求出点N

（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形？

若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由.

（3）当P,Q运动到t秒吋，AAPQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的

抛物线y**经过爪B两点,

与x轴的另一个交点为C,连接BC.

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标;

（2）点M在抛物线上，连接MB,当ZMBA+ZCBO二45°时，求点M的坐标;

（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D,使P、Q运动过程中的某一时刻,以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？

若存在，直接写出点D的坐

3.（2014*遵义）如图，二次函数y二上x'+bx+c的图象

3

与x轴交于八（3,0）,B（-1,0）,与y轴交于点

3）.

（1）求此抛物线的解析式;

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴1与OC有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A,C两点之间，问：

当点P运动到什么位置时，APAC的面积最大？

并求出此时P点的坐标和/XPAC的最大面积.

V

6.（2014・兰州）如图,抛物线y二-丄x2+mx+n与x轴

'2

交于A、B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A（・1,0）,C（0,2）.

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P,使APCD是以CD为腰的等腰三角形？

如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的而积最大？

求出四边形CDBF的最大面

矩形0EFG,线段GE、F0相交于点II,平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、G0和x轴于点M、P、N、D,连结MH.

（1）若抛物线1：

y=ax2+bx+c经过G、0、E三点，则

它的解析式为：

;

（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；

（3）在

（1）

（2）的条件下，直线MN与抛物线1交于点R,动点Q在抛物线1上且在R、E两点之间（不含

时，确定点Q的横坐标的取值范I韦I.

8.（2015-黄冈屮学自主招生）如图，二次函数尸-丄/+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C

2

点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动.设PQ交直线AC于点G.

（1）求直线AC的解析式；

（2）设APQC的面积为S,求S关于t的函数解析

式；

（3）在y轴上找一点M,使AMAC和AMBC都是等腰三角形.直接写出所有满足条件的M点的坐标；

（4）过点P作PE丄AC,垂足为E,当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由.

9.（2014・泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点

（-1,4）,且与直线y二-丄x+1相交于A、B两点（如2

图），A点在y轴上，过点B作BC丄x轴，垂足为点C

（-3,0）.

（1）求二次函数的表达式；

（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP丄x轴，垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值；

（3）在

（2）的条件下，点N在何位置吋，BM与NC相互垂直平分？

并求出所有满足条件的N点的坐标.

10.（2015-鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y二丄x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物

2

线y=ax+bx+c的对称轴是x二-卫且经过A、C两点，与

2

x轴的另一交点为点B.

（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式.

（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接

PA,PC.求APAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标.

（3）抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、"为顶点的三角形与AABC相似？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理

11.（2014・白银）如图，在平面直角坐标系xOy屮，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点八，点B在该抛物线上，且横坐标为3.

（1）求点A^B坐标；

（2）连接AB、AM、BM,求ZABM的正切值；

（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设P0与x正半轴的夹角为a,当a=ZABM

1.（2015*枣庄）如图，直线y二x+2与抛物线

y=ax2+bx+6（aHO）相交于A（丄,—）和B（4,m）,

'22

点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC丄X轴于点D,交抛物线于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？

若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理

（3）求APAC为直角三角形时点P的坐标.

m）在直线y=x+2上，可求得

m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值.

（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差.可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的

最大值.

（3）当APAC为直角三角形吋，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解.

【解答】解：

（1）VB（4,m）在直线y二x+2上，

/.m=4+2=6,

AB（4,6）,

VA（丄,卫）、B（4,6）在抛物线y=ax2+bx+6上,

22

iii）若点C为直角顶点，则ZACP二90°.

Vy=2x2-8x+6=2（x-2）2-2,

（2）设动点P的坐标为（n,n+2）,则C点的坐标为

（n,2n2-8n+6）»

APC=（n+2）-（2n2-8n+6）,

=・2nJ+9n-4,

=-2（n-^）J坐，

48

VPC>0,

.••当n二卫时，线段PC最大且为坐.

48

（3）•••△PAC为直角三角形，

i）若点P为直角顶点，则ZAPC二90°・

由题意易知，PC〃y轴,ZAPC二45°,因此这种情形不存在；

ii）若点A为直角顶点，则ZPAC二90°.

如答图3-1,过点A（丄卫）作AN丄x轴于点N,则

22

ON」，AN巨

22

过点A作AM丄直线AB,交x轴于点M,则由题意易知，ZXAMN为等腰直角三角形，・・・MN二AN更，・・・0M二0N+MM二丄+卫二3,

222

AM（3,0）.

设直线AM的解析式为：

y二kx+b,

则：

”k+吨解得广-1,

3k+b二02二3

・・・直线AM的解析式为：

尸・x+3①又抛物线的解析式为：

y二2x?

・8x+6②联立①②式，解得：

x=3或x二丄（与点A重合，舍去）

2

AC（3,0）,即点C、M点重合.

当x=3时，y=x+2=5,

・・・P：

（3,5）；

・••抛物线的对称轴为直线x=2.

如答图3-2,作点A（丄，卫）关于对称轴x二2的对称

22

点C,

则点C在抛物线上，且C（丄卫）.

22

当x二弓时，y二x+2二号.

・・.1〉2（丄，11）.

22

・・•点P】（3,5）、P2（丄，丄1）均在线段AB上,

22

・•・综上所述，APAC为直角三角形时，点P的坐标为（3,5）或（丄11）.

22

2.（2015*酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0,4）,B（1,0）,C（5,0）,其对称轴与x轴相交于点M.

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使APAB的周长最小？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC,在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点"，使ANAC的面积最大？

若存在，请求出点N

【分析】

（1）抛物线经过点A（0,4）,B（1,0）,C

（5,0）,可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（X-1）（x-5）,代入A（0,4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；

（2）点A关于对称轴的对称点A的坐标为（6,4）,连接BA'交对称轴于点P,连接AP,此时APAB的周长最小，可求出直线BA'的解析式，即可得出点P的坐标.

（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使ANAC面积最大.设N点的横坐标为t,此时点M（t,-V-

5

聖t+4）（0

5

得NG的长与AACN的面枳，由二次函数最大值的问题即可求得答案.

【解答】解：

（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5）,

把点A（0,4）代入上式得：

a—,

5

y—（x-1）（x-5）—x'-—x+4—（x-3）2-

'5555

16

9

5

・・・抛物线的对称轴是：

x=3；

（2）P点坐标为（3,卫）.

5

理由如下：

•・•点A（0,4）,抛物线的对称轴是x=3,

・••点A关于对称轴的对称点A'的坐标为（6,4）如图1，连接BA'交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小.

设直线BA'的解析式为y二kx+b,

把A'（6,4）,B（1,0）代入得『=6k+b

0二k+b

解得

4,

5

・・•点P的横坐标为3,

・v一4乂q_4_8

'555

・・・P（3,卫）.

5

（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使ANAC面积最大.

设N点的横坐标为t,此时点N（t,A2--^t+4）（0

55

由点A（0,4）和点C（5,0）可求出直线AC的解析式为：

y=-—x+4,

5

把x=t代入得:

y=-—1+4,则G（t,-—1+4）,

55

此时：

NG=-—1+4-（―t2-—1+4）=-—t2+4t,

5555

IAD+CF二CO二5,

SaacFSaang+SacCn=-ADXNG+^NGXCF=1nG*0C=丄X（-

2222

A2+4t）X5=-2t2+10t=-2（t-卫）?

+竺

522

・・・当t二号时，Z\C心面积的最大值为今，

由t二得：

-廻t+4二-3,

255

・・.N（5,・3）.

2

AC（0,-4）.

（2）存在.

如图1,过点Q作QD丄0A于D,此时QD〃0C,

3.（2014・遵义）如图，二次函数y二Mx'+bx+c的图象

3

与x轴交于八（3,0）,B（-1,0）,与y轴交于点

C.若点P,Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分別沿AB,AC边运动，其中一点到达端点吋，另一点也随之停止运动.

（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；

（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形？

若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由.

（3）当P,Q运动到t秒时，AAPQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此吋四边形APDQ的形状，并求出D点坐标.

【分析】

（1）将A,B点坐标代入函数y二上x'+bx+c

3中，求得b、c,进而可求解析式及C坐标.

（2）等腰三角形有三种情况，AE=EQ,AQ二EQ,

AE=AQ.借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x,表示其他边后利用勾股定理易得E坐标.

（3）注意到P,Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又rflA、D对称，则AIM3P,AQ二DQ,易得四边形四边都相等，即菱形.利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t,进而D可表示.

【解答】方法

（1）：

解：

（1）：

•二次函数y=—x2+bx+c的图象与x轴交于八

3

（3,0）,B（-1,0）,

f4

0=^・9+3b+c

…4，

0^-*1-b+c

5

VA（3,0）,B（・1,0）,C（0,・4）,0（0,0）,

AAB=4,0A=3,OC=4,

AC二寸32+q2二5,

•・•当点P运动到B点吋，点Q停止运动，AB二4,

・・・AQ二4・

・.・QD〃OC,

・QDADAQ

••9

OCAOAC

・QDAD4

••=二—?

435

・・.QD』，AD二兰.

55

1作AQ的垂直平分线，交AO于E,此时AE二EQ,即厶

・••在RtAEDQ中,（丄^・x）2+（垄）2=x2,解得

55

x』，

3

・・・0A-AE二3■卫二■丄,

33

・・・E（■丄，0）,

3

说明点E在x轴的负半轴上；

2以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E,此时

QE=QA=4,

TED二AD二丄

5

・・.AE二丝

5

A0A-AE二3■丝・2

55

・・.E（・20）.

5

3当AE二AQ二4时，

1.当E在A点左边时，

V0A-AE=3-4=-1,

AE（-1,0）.

2.当E在A点右边时，

T0A+AE二3+4二7,

AE（7,0）.

综上所述，存在满足条件的点E,点E的坐标为（・丄，0）或（・20）或（・1,0）或（7,0）.

35

（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（・卫，・

8

也）.理由如下：

16

如图2,D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ丄AP

AQ=DQ,

AAP=AQ=QD=DP,

・・・四边形AQDP为菱形,

VFQ/7OC,

AF^FQ^AQ

A0=0C=AC，

AFFQt—二—二—,

345

Q（3一轨善）,

DQ=AP=t,

D（3一討t,卡）,

或t二0（与A重合，舍去）,

方法二

（1）略.

（2）・・•点P、Q同时从A点出发，都已每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC运动.过点Q作x轴垂线,垂足为H.

VA（3,0）,C（0,4）,

4

Iac：

y=—x-4,

3

•・•点P运动到B点时，点Q停止运动，

・・・AP二AQ二4,

・・.QII二兰，Qy二■丄

55

代入S：

y」x・4得,则Q（2・兰），

3555

・・•点E在x轴上，

・••设E（a,0）,

VA（3,0）,Q（2-芟），AAEQ为等腰三角形，

55

・・・AE二EQ,AE=AQ,EQ=AQ,

・•・（a-3）2=（a■迢）2+（0+兰）2,・••沪-丄，

553

（a・3）2二（3■卫）2+（0+丄§）2,/.al=7,&2二・

55

（a■卫）2+（0+兰）2二（3■卫）2+（0+垄）2,

5555

al=-—,a2=3（舍）

5

・••点E的坐标为（■丄，0）或（・20）或（・1,

35

0）或（7,0）.

（3）TP,Q运动到t秒,

（2）点M在抛物线上,连接MB,当ZMBA+ZCB0=45°时，求点M的坐标；

（3）点P从点C岀发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D,使P、Q运动过程中的某一时刻,以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？

若存在，直接写出点D的坐

••设—°XQ（3-f

51），

••AD丄PQ,

Kpq

A（3,0）,

山3（舍），x2=-|

“晋，DQ//AP,DQWAP,

此时四边形APDQ的形状为菱形.

【分析】

（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点C的坐标；

（2）满足条件的点M有两种情形，需要分类讨论：

1当BM1BC时，如答图2-1所示；

2当BM与BC关于y轴对称时，如答图2-2所示.

（3）ACPQ的三边均可能成为菱形的対角线，以此为基础进行分类讨论：

1若以CQ为菱形对角线，如答图3・1.此时BQ二t,菱形边长二t；

2若以PQ为菱形对角线，如答图3・2.此时BQ二t,菱形边长二t；

3若以CP为菱形对角线，如答图3-3.此时BQ二t,菱形边长=5-t.

【解答】解：

（1）直线解析式尸x・4,

令x=0,得y=-4；

令y二0，得x=4.

AA（4,0）、B（0,・4）・

'：

点A、B在抛物线y二丄x'+bx+c上，

3

-y+4b+c=0

c二一4

•I抛物线解析式为：

呼兮“

令y二丄x?

■丄x・4=0,

*33

解得：

x二-3或x二4,

AC（-3,0）.

（2）ZMBA+ZCB0=45°,

设M（x,y）,

1当BM丄BC时，如答图2・1所示.

VZAB0=45°,

:

.ZMBA+ZCBO=45°,故点M满足条件.

过点Mi作M】E丄y轴于点E,则MiE=x,0E=-y,・・・BE二4+y.

VtanZMiBE=tanZBCO—,

3

・x4

••=9

4+y3

・・・直线BNL的解析式为：

y二-4.

4

联立y—x-4与y—x2-丄x-4,

433

得：

—x-4=—x2-—x-4,

433

解得：

xi=0,x2=-^,

4

Ayi=-4,y2=-—,

16

2当BM与BC关于y轴对称时，如答图2-2所示.

VZAB0-ZMBA+ZMB0=45°,ZMB0二ZCB0,

AZMBA+ZCB0M50,

故点M满足条件.

过点血作血E丄y轴于点E,

则M2E=x,OE=y,

・・・BE二4+y・

VtanZM，BE=tanZCBO二卫，

4

・x3

••二,

4+y4・•・直线BM2的解析式为：

y二上x・4.

3

联立y二上x・4与y二丄x?

-—x-4得：

—x-4=—x2-—x

333333

解得：

xfO,X2=5,

g

■■yi二-4,y2二一9

'3AM2（5,卫）.

3

综上所述，满足条件的点M的坐标为：

（M■竺）

416

或（5,卫）.

3

（3）设ZBC0二0,则tan9二上，sin0二上，cos9.

355

假设存在满足条件的点D,设菱形的对角线交于点E,设运动时间为t.

①若以CQ为菱形对角线，如答图3-1.此时BQ二t,菱形边长二t.

・・・CE二丄CQ）（5-t）.

22

仲*（5-t）

在RtAPCE中，cose二竺二二卫，

CPt5

解得"竺.

11

・・・CQ二5-t二旦.

11

过点Q作QF丄x轴于点F,

则QF二CQ・sinB二竺，CF=CQ*cos0=—,

1111

・・・0F二3-CF二竺

11

AQ（-空）.

1111

・・•点以与点Q横坐标相差t个单位，

・・・口（-竺-廻）；

1111

菱形边长二t.

・・・BQ二CQ二t,

・・・t更，点Q为BC中点,

2

・・・Q（・卫,・2）.

2

・・•点D2与点Q横坐标相差t个单位，

・・・D：

?

（1,-2）；

3若以CP为菱形对角线，如答图3-3.此吋BQ=t,菱形边长二5・t.

1

—t

在RtACEQ中，cos0二£5二_?

一二卫，

CQ5-t5

解得t二晋.

・・・0E二3-CE二3-丄t』,D3E=QE=CQ*sin0=（5-—）

21111

511

・・.D3（■丄型）.

1111

综上所述，存在满足条件的点D,点D坐标为：

（-生，■廻）或（1,・2）或（■丄型）.

11111111

【分析】

（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点樂标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；

（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴1的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；

（3）过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线

AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于APAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出APAC的最大面积及对应的P点坐标.

【解答】解：

（1）设抛物线为y=a（x-4）2-1,

・・•抛物线经过点A（0,3）,

A3=a（0-4）2-1,J；

a4

・・・抛物线为y=j（x-4）2-l=jx2~2x+3;

（2）相交.

证明：

连接CE,则CE丄BD,

当-（x-4）2_1二0时，xl