数学建模 电梯调度问题24.docx
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数学建模电梯调度问题24
高峰期电梯调度优化方案
摘要：
本文首先建立一个电梯调度的模型评价指标体系，选取了乘客关注的等待时间、电梯的总运送时间和影响能量节约效果的电梯停靠次数、电梯行进总时间四个指标。
利用这四个指标来综合评价电梯调度方案的优劣。
并采用综合评价和层次分析的思想，建立了全面合理的电梯调度方案的评价体系。
针对问题二，在传统电梯调度方案的基础上，我们设计了两类调度方案：
一种是中间不停靠运送同一层乘客的理想模型，用概率论相关知识，得到了各个指标的定量数值，发现此模型的运送时间是最少的，指标是最优的；考虑到模型的不实际性，在此基础上改进模型，即对所有楼层进行分段，每个电梯专门负责特定的楼层，并对此模型用matlab遍历搜索法，进行求解，得到了在各种分段情况下的最优解。
最后利用已经建立的评价指标体系，通过将影响总体满意度的各个因素进行融合，经过无量化和matlab编程处理，得到了电梯调度模型的综合评价体系。
利用该方法分别计算模型未改进时、模型一和模型二的综合满意度，即可衡量出方案的改进程度和优化程度。
关键词：
电梯优化调度综合评价和层次分析遍历搜索跳跃式过程综合满意度
一、问题重述
1.1问题背景
作为高层建筑的主要垂直交通工具，电梯在现代社会中扮演着越来越重要的角色，繁华的都市里人口的高度集中也越来越使得电梯成为人们生活工作中不可或缺的交通工具。
如今某商业中心某写字楼有二十二层地上建筑楼层和两层地下停车场，6部电梯，每部电梯最大载重是20个正常成人的体重总和。
工作日里由于每天早晚上下班的时间固定，所以人们乘坐电梯的时间也相对集中，在某些时间段人流相对密集，比如7：
20到8：
00这段时间，电梯均是非常拥挤，而且乘客等待电梯的时间明显增加。
由于电梯在高峰时段每一层都停下来各下一两位乘客，这样导致乘客的平均等待时间较长，且电梯能耗较大。
因此，建立数学模型解决电梯调度问题，获得一个合理有效的电梯调度运行方案，就愈发显示出其重要的现实意义。
1.2需要解决的问题
问题一：
给出若干合理的模型评价指标，并采用层次分析和综合评价的思想，建立全面而合理的电梯调度方案的评价体系，以用此体系衡量各个调度方案的优劣性。
问题二：
在暂不考虑该写字楼的地下部分的情况下，每层楼层的平均办公人数经过调查已知（见表1）。
假设每层楼之间电梯的平均运行时间是3秒，最底层（地上一层）平均停留时间是20秒，其他各层若停留，则平均停留时间为10秒，电梯在各层的相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯。
表1：
该写字楼各层办公人数
楼层
人数
楼层
人数
楼层
人数
1
2
3
4
5
6
7
8
无
208
177
222
130
181
191
236
9
10
11
12
13
14
15
16
236
139
272
272
272
270
300
264
17
18
19
20
2l
22
200
200
200
200
207
207
针对这样的简化情况，列明假设，建立数学模型，给出一个尽量最优的电梯调度方案，并利用所提评价指标进行比较。
问题三：
将上述数学模型进一步实际化，以期能够尽量适用于实际情况，用于解决现实的电梯调度问题并用所提评价指标进行评价。
并在此基础上，推广模型的应用。
二、问题分析
问题一的分析：
本模型是研究高峰时期改善电梯调度算法、优化电梯运行情况方案的问题，所以我们需要一个指标体系来衡量各个模型的优劣情况。
由于乘客等待时间的长短、乘梯的时间长短、把所有人运上去的总时间、电梯响应呼梯的快慢、召唤厅站客流量的大小、轿厢内乘客人数的多少、电梯运送完所有乘客所需总时间，都会影响乘客的心情，决定乘客对于电梯是否满意，从一个侧面反映电梯性能的优劣；此外，电梯的停靠次数和电梯的运行路程，即在行进中的时间等因素则从另一方面体现电梯的节能效果的好坏。
所以本文选取乘客平均等待时间的长短、把所有人全部运上去的总时间长短，电梯的停靠次数和电梯行进时间等四个主要因素作为衡量电梯调度方案的指标。
但是由于四个指标关系不明确，先将数据进行预处理无量纲化归一化，借助于满意度函数来表述其满意度函数中的加权系数由层析分析法决定，最终可以得到电梯调度模型的综合评价指标，以实现用此指标体系衡量各个调度方案优劣的目的。
问题二的分析：
首先，为得到最优的结果，应在提高顾客满意度（即缩短等待时间和运送总时间）的同时，提高电梯效率，使电梯的能量消耗也维持在一个比较低的水平。
由于传统的方案在高峰时段，每部电梯都服务于所有楼层，电梯在任一层都可以停靠让一或两位乘客下电梯，这种方案增加了停靠次数，不仅造成了时间的浪费，延长了乘客的等待时间和乘梯时间，同时增加了电梯能量的消耗（由于每次停靠加速或减速时均会比正常匀速运行时的耗油量大），存在明显不足。
因此在设计较为优化的调度方案时，应尽量避免每一层都停下来；此外，对于电梯的运行而言，要么各处都可以停，要么只在指定的楼层停留。
基于上述原则，结合题目要求与约束条件，建立只在指定楼层停靠的优化调度方案。
而为了比较方便，我们将原模型和连续性分阶段模型同时引入，使模型更具有说服力。
模型一：
假定电梯可以在22层中任何一层停靠，6部电梯相当于6个同样的服务器并联，6个排队队伍，先到先服务。
通过计算电梯在各层停靠的概率，利用概率论的基本原理，计算出乘客平均等待时间、电梯运送总时间、所有电梯停靠总次数和电梯行进间总时间的期望值。
模型二：
调度方案的极端情况就是在运送乘客时，电梯每次只载同一个楼层的20人，中间层不停。
考虑最简单的情形，不考虑乘客到来的随机性，不考虑乘客的等待时间，只考虑电梯的运行时间，在不考虑实际情况时，此简化模型的运送时间是最少的。
问题三的分析：
考虑到上述模型的不实际性和不适应性，在此基础上改进模型，让每个电梯专门负责某些特定的楼层。
采用基于动态规划的动态分区控制方法，可使乘客的等待时间和总的运送时间达到系统最优，这就是所谓的连续性分阶段模型。
连续性分阶段模型是指电梯的停靠楼层为连续的一个区段。
我们为6个电梯安排好各自负责的楼层，之间互不干扰。
考虑到顾客下电梯的随机性，运用概率论的基本原理，列出平均往返时间RTT与楼层r之间的关系式，用MATLAB编程实现算法。
然后针对各种不同的分段，利用MATLAB遍历搜索法，按照“最大最小”原则，搜索出每种分段下的最优的分区和电梯的最佳合理分配方案。
最后，将上述模型进行比较，将影响电梯调度模型的各个因素进行融合，得到总体评价指标值，进而判断每种方案的可取程度。
三、模型假设
1、次高层办公楼在早上7：
20-8：
00这段时间里，每部电梯的都是满载（最后情况除外），即为20人，在一层停留20s对所有调运方案都一样无法优化，故各调运方案中可均不考虑在一层所停留的20s。
2、不考虑较低楼层的人员步行情况。
3、电梯在工作时间段内不发生故障。
4、乘客在特定的电梯入口处进入电梯时服从FCFS原则。
5、每个电梯在负责的各楼层都有人下
6、对于6部同类型电梯的电梯组。
每个电梯的运行相互独立
7、7：
20-8：
00这段时间内只有上行而没有下行的乘客。
8、乘客在每层下的概率相等
9、假设只有第一层有乘客要乘电梯，其余各层只有乘客下电梯
10、所有工作人员均在7：
20-8：
00这段时间内到达一层，不考虑迟到早退现象。
11、所有人都不走楼梯
12、在一层时，当某一电梯到达时，所有准备搭乘的乘客均能在20秒之内全部进入电梯轿厢；在其他各层时，如果电梯停靠，则电梯和乘客在10内完成所有的操作，包括开门，下电梯和关门。
不考虑特殊情况发生。
13、电梯调动过程中，只考虑直达的交通流，其他形式的交通流不予考虑；
14、在电梯调运过程中，不考虑乘客到达底层的随时间分布情况，各层一直有足够的人数保证来电梯运送，即一直出现各楼层乘客等电梯现象。
15、各楼层人数相等为218人（总人数的平均值），各楼层乘客随机分布到达底层
16、一名乘客乘电梯只去一个目标楼层不再转乘
四、符号说明及名词定义
符号定义单位
乘客平均等待时间s
电梯运送完所以你乘客所需总时间s
M所有电梯停靠总次数次
所有电梯运动总时间s
第i个模型中与乘客平均等待时间有关的归一化满意度函数
第i个模型中与电梯运送完所有乘客所需总时间有关的归一化满意度函数
第i个模型中与所有电梯停靠总次数M有关的归一化满意度函数
第i个模型中与所有电梯运动总时间有关的归一化满意度函数
第i种方案的第j项指标值s
第i个模型的综合指标值
所有模型第j项指标值中的最大值s
五、模型的建立与求解
5.1电梯调度方案的评价体系
5.1.1模型评价指标的建立
为了衡量各个模型之间的优劣关系，我们必须给出衡量模型好坏的标准，即衡量电梯调度方案好坏的标准，正如上面所论述的，决定调度方案好坏的标准有很多也很模糊，依照忽略次要矛盾的原理，我们分别从乘客的角度和电梯的角度双向衡量。
5.1.1.1从乘客的角度出发建立评价指标
结合题目以及实际生活中人们对于乘梯的要求，从乘客的角度上讲，乘客希望尽可能快地到达目的地，即尽量减少乘客的途中等待时间；并且电梯运送完所有乘客总时间尽量短，设计电梯调度方案时应该考虑以下几个影响乘客心理状态的主要因素：
乘客平均等待时间
电梯运送完所有乘客所用的总时间
我们所建立的模型应使上述指标尽量的小。
5.1.1.2从电梯的角度出发建立评价指标
从现实来看，节能减排越来越受人们关注。
而影响电梯节能效果的因素又有很多，例如：
电梯的加速减速过程中加速度的大小和加速时间，电梯的电功转换效率，电梯的运行总路程，运行总时间等等。
为了简化问题，我们仍然只考虑主要因素：
所有电梯停靠总次数M
所有电梯运动总时间
同样，我们依然是期望M和尽量小，最终实现最大程度的节能效果。
5.1.2利用归一化原则将以上各个指标分别量化到以0—1之间
将各指标无量纲化归一化到0—1之间，并定义满意度函数。
Ø乘客平均等待时间越长，与之对应的满意度函数值越小，即二者呈现负相关关系。
Ø基于现实情况，乘客不愿意把时间耗费电梯上希望所有的乘客都能尽早能够到达目标层，故乘客的满意度函数负相关。
Ø假设我们对电梯的节能效果有一期望，反映在对电梯停靠次数和电梯运行中的总时间是否能让我们满足上。
所以0—1之间的满意度函数与所有电梯停靠总次数M负相关，
Ø同样的，所有电梯运动总时间也与满意度函数负相关
5.1.3综合评价指标体系的建立
对上述各个指标进行归一化处理后，我们采用加权和法进行综合评价,构造一个综合指标来反映第i个模型总体的优劣程度，=,其中，其中为满意度函数在综合指标体系中的权重。
下面用层次分析法确定各评价指标的权重：
1、建立判断矩阵
根据各个指标对电梯运行合理性的影响大小，确定其重要程度，每次选取每两个因素进行比较，用九分法建立判别矩阵，则判断矩阵为A=
2、进行一致性检验=4.1646C.I==0.0549R.I=0.9
C.R==0.061故认为判断矩阵A有满意一致性。
因此，不必再需对判断矩阵进行调整。
依据判断矩阵应用层次分析法得出的指标权重大小符合理论要求，具有实际意义。
所对应的特征向量为W=即为各指标所对应的权重。
判别矩阵符合一致性原理，
所以，
5.2模型一的建立和求解
电梯的到达任一层都具有随机性，任何一层都可以停靠，6部电梯相当于6个同样的服务器并联，6个排队队伍，并且采用先到先服务机制，为简便起见，我们假设乘客等待时间是等于每两部电梯的平均间隔时间，即等于6部电梯平均运行周期与6的比值。
5.2.1乘客到达各层的概率计算
根据假设某名乘客来到底层，去i层的概率为1/21，不去i层概率20/21。
电梯在一次工作周期内20人中没有人在i层下的概率为；有人在i层下得概率为q=1—（20/21）^20，记此值为q；m=[4585/120]=38，m表示6部电梯同样工作来回的趟数取整（因为当电梯运行不足一趟的时候，额外增加的各项数值比较小，为简便可以忽略）
5.2.2方案的求解
表示这种方案下的6部电梯在一个周期内的平均乘客上下时间；
表示这种方案下的6部电梯在一个周期内的平均运动时间；
Ａ1=q*10*21=130.9s；
Ｂ1=q*126+（1—q）*q*120+…+（1-q）^n*q*（126—6*n）+…+（1—q）^20*6=122.4s
平均等待时间=（Ａ1+Ｂ1）/6=42.2s；
电梯运送完所有乘客所用的总时间=（Ａ1+Ｂ1）*m=9625.4s；
电梯停靠次数M=q*21*m*6=3003.2；
电梯在一个周期内的平均运动时间=Ｂ1*m*6=28060.2s；
5.3模型二的建立和求解
5.3.1理想极限模型的建立
假定电梯每次只运送同一楼层的20个人，且不存在电梯等人的情况，即每次运送前都有20个同一层的乘客在等电梯，且乘客等待时间等于每两部电梯的平均间隔时间，即等于6部电梯平均运行周期与6的比值。
5.3.2模型的求解
m=[4585/120]=38，m表示6部电梯同样工作来回的趟数取整（因为当电梯运行不足一趟的时候，额外增加的各项数值比较小，为简便可以忽略）
表示这种方案下的6部电梯在一个周期内的平均上下乘客时间；
表示这种方案下的6部电梯在一个周期内的平均运动时间；
因为中间无停靠，则：
=10s；
=（6+12+…+126）=66s
平均等待时间=（+）/6=12.7s；
电梯运送完所有乘客所用的总时间=（+）*m=2888s；
电梯停靠次数M=4585/20=229.3；
电梯在一个周期内的平均运动时间=*6=15130.5s；
5.4模型三的建立和求解
5.4.1求电梯平均往返运行时间和电梯所能到达楼层区域之间的关系
设电梯的平均往返运行时间RTT,服务区域起始层为b，服务区域的楼层数目为n。
总时间包含了电梯从门厅出发到第一次停靠时的运行时间Ⅰ的期望值E（X）（包括停靠时间）,第一次停靠后电梯把所有乘客运送到目的层的运行和停靠的时间Ⅱ的期望E（Y）,电梯往下运行的时间Ⅲ（包括停靠时间）,则RTT=E（X）+E（Y）+E（Z）,运用概率论基本原理得到E（X）、E（Y）、E（Z）。
在时间Ⅰ中,当运行距离为r层楼时（其中
）,也就意味着电梯从第b层到第r-1层都没有停靠而在第r层电梯停靠,以A1表示电梯在b层和r-1层之间都没有停靠,以A2表示电梯在第r层没有停靠,所以在时间Ⅰ中电梯运行距离为r层楼的概率是:
也就有：
，
其中
=3（r-1）s,=10s
在时间Ⅱ中,电梯某次上行的运行距离为r层楼时（其中
）,也就意味着电梯在第k-r层和第k层有停靠,而在第k-r层和第k层之间都没有停靠,且满足：
所以时间Ⅱ中电梯上行距离为r层楼的概率是：
也就有：
因为我们考虑的是乘客在等待条件下上班高峰期电梯的运行状况,不考虑下行乘客。
所以电梯下行时,运行距离为r层楼时（其中
）,也就意味着电梯在第r层有停靠,而在第r层以上都没有停靠,所以其概率是
也就有
所以平均往返运行时间RTT=RTT=E（X）+E（Y）+E（Z）
5.4.2模型目标函数的确定
在此模型中，我们可将楼层分为若干段，此题中可以分为2、3、4、5、6段，在各段中电梯的分配方案又可以有所不同，为了得到最优化的电梯调度方案，我们选取运送所有乘客的时间最短为标准。
建立总服务时间最小化目标函数。
而总服务时间是由各个电梯中最长的服务时间决定，即电梯完成所有任务的总时间由工作到最晚的电梯决定。
即我们需要在电梯最大的服务时间中挑选出总服务时间最小的方案，最为一种分段方式下的最优解。
此即为“最大最小”原理。
而服务区域总时间=
电梯服务总时间T=MAX
我们所要求的就是在特定分段方式下
MINMAX的值
5.4.3分段服务下的模型求解
对于分成一段的情况与模型一相同，不予考虑，我们在此仅考虑将楼层分成2、3、4、5、6段的情况，并给出分段的方式和电梯的分布方式。
Ø将楼层分为两个部分，利用遍历搜索法（程序2）求得的最佳调度方式如下：
表：
两部分区域分布和电梯分布
服务楼区范围
电梯数目（个）
平均等待时间（s）
服务区域时间（s）
总服务时间（s）
第一部分
2-13
3
49.01
6410.5
6410.5
第二部分
14-22
3
63.14
6193.9
每一部分如果继续二分下去的话，效果会更好。
利用动态规划的思想，即逐段优化的方法对这个问题继续优化。
由表中各部分所需总时间可看出，首先针对第1部分进行二分优化，最有可能缩短总的时间。
Ø将第一部分进一步二分，即将楼层分为三段，依然用遍历搜索法，运行程序4，可得下表：
表：
三部分区域分布和电梯分布
服务楼区范围
电梯数目（个）
平均等待时间（s）
服务区域时间（s）
总服务时间（s）
第一部分
2-9
2
53.3448
4651.7
6193.9
第二部分
10-13
1
106.89
4660.5
第三部分
14-22
3
63.14
6193.9
由上表可知，将第三部分二分，会缩短总的时间
Ø将第三部分楼层进一步二分，即将所有楼层分成四段，利用Matlab（见附录程序3）遍历搜索，即可得到这种条件下的最优区域分布和电梯的分布模型，见下表：
表：
四部分区域分布和电梯分布
服务楼区范围
电梯数目（个）
平均等待时间（s）
服务区域时间（s）
总服务时间（s）
第一部分
2-9
2
53.3448
4651.7
5968.5
第二部分
10-13
1
106.89
4660.5
第三部分
14-17
1
136.89
5968.5
第四部分
18-22
2
83.7635
4565.1
由上表，若将第四部分在二分，I=3,N=1,此时只会增加平均等待时间，（附录见程序6）
若将第一部分在二分，得I=3,N=1，见（附录中程序5）
Ø将所有楼层分成五段，利用Matlab（见附录程序5）遍历搜索，即可得到这种条件下的最优区域分布和电梯的分布模型，见下表：
表：
五部分区域分布和电梯分布
服务楼区范围
电梯数目（个）
平均等待时间（s）
服务区域时间（s）
总服务时间（s）
第一部分
2-5
1
58.8922
2567.7
5968.5
第二部分
6-9
1
82.8922
3614.1
第三部分
10-13
1
106.89
4660.5
第四部分
14-17
1
136.89
5968.5
第五部分
18-22
2
83.7635
4565.1
Ø将第五部分再二分，得将所有楼层分成六段，利用Matlab（见附录程序6）遍历搜索，即可得到这种条件下的最优区域分布和电梯的分布模型，见下表：
表：
六部分区域分布和电梯分布
服务楼区范围
电梯数目（个）
平均等待时间（s）
服务区域时间（s）
总服务时间（s）
第一部分
2-5
1
58.8922
2567.7
5968.5
第二部分
6-9
1
82.8922
3614.1
第三部分
10-13
1
106.89
4660.5
第四部分
14-17
1
136.89
5968.5
第五部分
18-21
1
83.7635
5035.5
第六部分
22
1
140
1526
由于在这种分段方式下，总的运送时间不变，而平均等待时间却增大了，所以此种情况可以直接不考虑，肯定不是最优的。
5.4.4分段模型的指标数据的获得
运用matlab的行程控制算法，可以的得到以上各种最优方案下的模型指标数值，（见附录程序），可以得到下表：
表：
分段模型指标数据表
运送完所有乘客所用的总时间
平均等待时间
电梯停靠次数M
电梯行进总时间
分两段最优模型
6410.5
55.0657
2995.2
572.19
分三段最优模型
6193.5
67.7418
1093.5
523.3016
分四段最优模型
5968.5
89.2296
878.82
494.8434
分五段最优模型
5968.5
87.9369
604.45
470.5027
5.5模型综合指标的确定和比较
各方案的指标原始数据表
运送完所有乘客所用的总时间
平均等待时间
电梯停靠次数M
电梯行进总时间
方案一
传统模型
9625.4
42.2
3003.2
28060.2
方案二
理想模型
2888
12.7
229.3
15130.5
方案三
分两段最优模型
6410.5
55.0657
2995.2
20946
分三段最优模型
6193.5
67.7418
1093.5
18815
分四段最优模型
5968.5
89.2296
878.82
17639
分五段最优模型
5968.5
87.9369
604.45
16577
数据预处理：
该问题中的指标均为成本型指标，属性值越小越好。
对数据进行线性变换
用MATLAB求解（见附录）得到预处理后的数据R=
各评价指标的权重W=
采用加权和法进行综合评价B==
结果表明：
0.5903反映了理想方案最优，但在实际情况不可行。
0.3873反映了方案三中分五段为次优方案，且在实际当中切实可行。
故所得出的电梯最优调运方案为
六、模型的评价与推广
模型的优点：
因为考虑因素相对比较全面，所以模型具有可靠性，
因为方法简单，方法适用性强，所以模型具有可推广
模型的缺点：
没有考虑乘客到达的模型分布
模型的改进：
通过该模型的计算结果理想方案当中运送完所有乘客所用的总时间为2888s,再加上电梯在一楼每次停留20s,总共约为1小时，即乘客在高峰时间段内无法全部通过电梯到达目标层，一定会有一部分乘客选择爬楼梯，所以实际情况当中一定存在楼梯，故在考虑乘客爬楼梯的情况下，电梯的最优调运方案会有所改变。
参考文献：
【1】罗俊明《概率论与数理统计》2002年8月第一版
【2】吴祈宗《系统工程》2006年1月第一版
【3】章绍辉《数学建模》2010年8月第一版
附录：
被调函数定义：
functiont=fun（i,j）;
ifj-i>=1
t=3*（j-i）;
else
t=0;
end
RTT:
functiont=RTT（b,n）
t
（1）=0;
forj=b:
n+b-1
t
（1）=t
（1）+（（（n-j+b）/n）.^20-（（n-j+b-1）/n）.^20+（（j+1-b）/n）.^20-（（j-b）/n）.^20）*（fun（1,j）*3+10）;
end
t
（2）=0;
forj=b:
n+b-2
t
（2）=t
（2）+（n-j+b-1）*（（（n-j+b）/n）.^20-2*（（（n-j+b-1）/n）.^20）+（（
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