幂指函数:
=是初等函数。
即:
=e。
四、无穷小量与无穷大量:
1、无穷小量:
如果一个量有极限,而且它的极限等于0,它就是无穷小量,即极限为0的量就是无穷小量。
一般地,若,则f(x)-A是无穷小量(当x→x0),反之亦然。
无穷小量的性质:
(1)有限个无穷小量之和,仍然是无穷小量;
(2)有限个无穷小量之积,是无穷小量;(3)常量与无穷小量相乘仍然是无穷小量;(4)有界量与无穷小量相乘,仍然是无穷小量。
无穷小量的比较:
两个无穷小量相除,若结果也是无穷小量,则称分子是分母的高阶无穷小量,记为f(x)=0(g(x))(注:
小0仅仅表示高阶,而不是真正的等号);若结果是一个常数,则称分子和分母是同阶无穷小量(等价无穷小量),记为f(x)∽g(x)。
2、无穷大量:
当x趋于x0时,|f(x)|无限增大,则称f(x)是无穷大量,记为。
五、函数的连续性:
1、函数在一点的连续和间断:
f(x)在点x0及其邻域内有定义,存在,且=f(x0),则称函数f(x)在x0连续。
间断产生的条件:
f(x)在点x0没有定义、不存在、f(x0)。
f(x)在点x0连续的充分必要条件是f(x)在点x0左连续且右连续。
第一类间断点:
左右极限都存在,但x0是间断点;第二类间断点:
是指不是第一类间断点的间断点。
2、初等函数的连续性:
六类基本初等函数在其定义域内是连续的。
符合运算并不改变函数的连续性。
【定理】如果某个初等函数在一个区间内有定义,则此函数该区间内连续。
3、连续性的作用:
连续性可以被用来求极限。
=f(x0)=f()
4、闭区间上连续函数的性质:
【定理】设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)可以在该区间上达到最大值和最小值。
注意:
该定理成立的条件,首先区间是闭区间,其次,函数在该区间上连续。
【定理:
零点定理】如果f(x)在区间[a,b]连续,且f(a)﹒f(b)﹤0,则存在§属于(a,b),使得f(§)=0。
(方程根的存在定理,而且也可以用二分法来求方程的根)
第三章 导数与微分
一、导数:
1、导数的概念:
设y=f(x)在x0的邻域U内有定义,x0、x0+Δx∈U,Δy=f(x0+Δx)-f(x0),则Δy/Δx=f(x0+Δx)-f(x0)/Δx。
如果存在,那么就称此极限为f(x)在x0处的导数,记为f’(x0)或y’|x=x0或者|x=x0。
如果f’(x0)存在,则称f(x)在x0处可导。
【注】
(1)给定函数f(x)、点x0,则f’(x0)就随之而定,f’(x0)是一个具体的数值;
(2)在求导数过程中,Δx→0是变量;(3)如果f(x)在(a,b)内的任一点x0都可导,则称f(x)在这个区间内可导,则f’(x0)是(a,b)内的函数,称为f(x)的导函数。
【常数函数的导数】y’=(c)’=0
【幂函数的导数】y’=(xn)’=nxn-1,则’=
【正余弦函数的导数】y’=(sinx)’=cosx,类似的有(cosx)’=-sinx,(tgx)’=sec2x,(ctgx)’=-csc2x。
注意:
(sinu)’=cosu×u’(其中u为中间变量)。
其中cosu×u’即为。
【指数函数的导数】y’=(ex)’=ex
【对数函数的导数】y’=(lg|x|)’=,类似的有y’=’=
2、导数的几何意义:
切线是割线的极限位置。
导数的几何意义:
函数在一点的导数,就相当于在该点处的切线的斜率。
即f’(x)是y=f(x)在(x0,f(x0))点处的切线斜率。
于是y=f(x)在(x0,f(x0))处的切线方程:
y-f(x0)=f’(x0)(x-x0)
y=f(x)在(x0,f(x0))处的法线方程:
y-f(x0)=-(x-x0)
3、可导与连续的关系:
【定理】若y=f(x)在点x0处可导,则y=f(x)在点x0处连续。
即。
注意:
若y=f(x)在点x0处连续,则y=f(x)在点x0处不一定可导。
可导的几何意义:
曲线y=f(x)在(x0,f(x0))处的切线存在,而且此切线不垂直于X轴。
4、历史:
(1)关于导数概念:
牛顿(Newton,英国,1642—1727):
主要从物理角度提出导数的概念。
莱布尼茨(德国,1646—1716):
主要从几何的角度提出。
(2)可导与连续:
存在:
处处连续、处处不可导的实例。
不可导的四种情况:
第一,函数无定义;第二,间断点;第三,尖角(即切线不存在);第四,切线垂直于X轴。
二、微分法(求导数的方法):
1、加减求导法则:
【定理】若u(x)、v(x)在x处可导,则u(x)±v(x)在x也是可导。
即:
[u±v]’=u’±v’
2、乘法求导法则:
【定理】设u(x)、v(x)在x处可导,则u(x)×v(x)也在x处可导。
即:
[u×v]’=u’v+uv’
【推论】[c×v]’=c×v’。
3、除法求导法则:
【定理】设u(x)、v(x)在x处可导,且v(x)≠0,则u(x)v(x)也在x处可导。
即:
4、隐函数求导法:
y=f(x)的形式为显函数,如y=x+1、y=。
复合函数求导公式:
(适合复合函数求导),即’=f(u)’×g(x)’。
【反三角函数的导数公式】(arcsinx)’=(其中x-siny=0);(arctgx)’= ;(arccosx)’= ;(arcctgx)’=。
(arcsinx)’+(arccosx)’=(arcsinx+arccosx)’=()’=0
【牛顿】我不知道世人对我怎样看法,但是在我看来,我只不过是象一个在海滨玩耍的孩子,偶尔高兴地拾到几颗光滑美丽的石子或贝壳,那浩瀚无涯的真理的大海,却还在我的面前未曾被发现。
【牛顿】如果我之所见比笛卡尔等人要远一点,那只是因为我是站在巨人肩上的原故。
【莱布尼茨】我有非常多的思想,如果别人比我更加深入透彻地研究这些思想,并把他们心灵的美好创造和我的劳动结合起来,总有一天会有某些用处的。
5、对数微分法:
y=ax=exlna,则:
y’=axlna(即两边取对数)。
6、初等函数求导:
初等函数是由基本初等函数(即基本公式)通过有限次的加减乘数、符合运算(即运算法则)得到的。
三、微分:
1、微分的概念:
设f(x)在某一点x0可导,假定自变量的改变量Δx,则量f’(x0)×Δx称为f(x)在x0改变量Δx的微分,记号为
dy=f’(x0)×Δx (其中dx=Δx)
例如y=x3在x0关于Δx的微分:
dy=3x02Δx 。
2、微分的几何意义:
函数在x0的微分,表示函数在x0的切线的纵坐标的改变量dy。
Δy与dy的关系:
Δy-dy=0(Δx),即
=f’(x0)-f’(x0)=0
3、可微的概念:
Δy=dy+0(Δx)=f’(x0)Δx+0(Δx)(其中0(Δx)为高阶无穷小量),其中f’(x0)Δx为线性主部。
若Δy=AΔx+0(Δx),其中A与Δx无关,则称f(x)在x0处可微。
结论:
若f(x)在x0可导,则f(x)在x0可微;若f(x)在x0可微,则f(x)在x0可导,即可微和可导是等价的。
4、微分用来做近似计算:
Δydy,即f(x0+Δx)f(x0)+f’(x0)Δx
如sin290sin300+cos300(-)=0.484(注:
10=弧度)。
5、微分的公式和运算法则:
对dy=f’(x0)×Δx,则 ,
注意:
这个导数记号,含义主要有三种:
第一种意义是关于一的导数;第二种意义是导数是微分之商,有时把导数也称为微商;第三种意义是隐含着微分形式的不变形。
所以,微分的运算公式为:
d(u+v)=du+dv,
d(uv)=duv+udv
d
6、微分形式不变性:
若y=f(u),u=g(x),则y’=f’(u)g’(x)
即:
dy=f’(u)g’(x)dx=f’(u)du(微分形式不变性)。
如dsinu=cosudu。
7、参数方程表示的函数的导数:
,其中α≤t≤β,如x2+y2=R2(y≥0),则其参数方程为:
(其中0≤t≤)。
则参数方程表示的导数公式:
四、高阶导数:
1、高阶导数:
函数y=f(x)在x0的二阶导数:
(即导数的导数)
2、高阶导数的解法:
类同与一阶导数的求导方法。
注意:
一阶导数的写法:
y’=(其中为一个整体,即为y’中的’d的标记);二阶导数的写法:
y’’=y’==y;三阶导数的记法为;四阶导数以上一般记为:
、、(其中n≥4)。
物理意义:
如路程s=s(t),则v=s’(t),a(t)=v’(t)=s’’(t)。
即速度的二阶导数是加速度。
一般地,对于y=xn,y(n)=n!
(其中n≤10),y(n+1)=0(其中n≥11);对于正弦函数y=sinx,则y(n)=sin;对于y=ln(1+x),则y(n)=(-1)n-1(n-1)!
(1+x)-n。
3、参数方程表示的高阶导数解法:
先求一阶导数,然后再求二阶导数。
4、隐函数的高阶求导:
隐函数的高阶求导和一阶求导相同。
第四章 导数的应用
一、中值定理:
1、罗尔定理:
【罗尔定理】设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f‘(ξ)=0。
罗尔定理的几何意义:
即f‘(ξ)=0表示在ξ点的切线的斜率为0。
2、拉格朗日定理:
【拉格朗日定理】设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f‘(ξ)。
(也称为中值定理,微分学的中值定理)。
说明:
1、若f(a)=f(b)时,则拉格朗日定理就变为罗尔定理;2、拉格朗日定理的结论可以改写为:
令a=xo,b=xo+Δx,则
f‘(ξ);ξ在xo和xo+Δx之间,令ξ=xo+θΔx(0<ξ<1=,则:
=f‘(xo+θΔx)﹒Δx;3、对于f‘(ξ)中的ξ,一般地是求不出来的。
【推论1】设f(x)在(a,b)可导,且f‘(x)0,则在f(x)在(a,b)内一定是一个常值函数。
【推论2】设f(x)、g(x)在(a,b)可导,且f‘(x)=g‘(x),x∈(a,b),则f(x)、g(x)相差一个常数C,即f(x)=g(x)+C。
3、柯西定理:
【柯西定理】设f(x)、g(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且g‘(x)≠0,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得。
表:
罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理的比较
名称
内容
条件一
条件二
条件三
罗尔定理
f‘(ξ)=0
f(x)、g(x)在[a,b]连续
f(x)、g(x)在(a,b)可导
f(a)=f(b)
拉格朗日
定理
f‘(ξ)
柯西定理
g‘(x)≠0
二、弧长微分与曲率:
1、弧长函数及其微分:
假设y=f(x)在[a,b]区间,且f’(x)连续,则弧长函数的导数为:
弧长函数的微分方程为:
ds(x)=dx=dx= =
即:
2、曲率:
曲率是指曲线的弯曲程度。
圆周的弯曲特征:
(1)圆周的任何一点的弯曲程度都是一样;
(2)半径越大,它的弯曲程度越小;(3)圆周的弯曲程度的度量:
单位弧长所对应的切线所转动的角度,即||。
函数y=f(x)在x处的曲率定义为:
==||
因为tgα=y’,则α=arctgy’,α’(x)=;,所以:
对于x2+y2=R2,则其曲率K=1/R。
曲率半径是指曲率的倒数,即ρ=1/K。
【补充】王国维《人间词话》——治学三境界:
1、昨夜西风凋碧树,独上高楼,望尽天涯路;
2、衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴;
3、众里寻他千XX,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处。
第五章 不定积分
一、原函数与不定积分的概念:
1、基本公式:
求导是正运算,而求不定积分是逆运算。
2、两个运算法则:
(1)
(2)
【推论】