九年级春季班第8讲等腰三角形的存在性问题教案教学设计导学案.docx
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九年级春季班第8讲等腰三角形的存在性问题教案教学设计导学案
根据等腰三角形的定义,若为等腰三角形,则有三种可能情况:
(1)AB=BC;
(2)BC=CA;(3)CA=AB.但根据实际图形的差异,其中某些情况会不存在,所以等腰三角形的存在性问题,往往有2个甚至更多的解,在解题时需要尤其注意.
1、知识内容:
在用字母表示某条线段的长度时,常用的方法有但不仅限于以下几种:
(1)勾股定理:
找到直角三角形,利用两边的长度表示出第三边;
(2)全等或相似:
通过相似,将未知边与已知边建立起联系,进而表示出未知边
(3)两点间距离公式:
设、,则A、B两点间的距离为:
.
2、解题思路:
(1)利用几何或代数的手段,表示出三角形的三边对应的函数式;
(2)根据条件分情况进行讨论,排除不可能的情况,将可能情况列出方程(多为分式或根式方程)
(3)解出方程,并代回原题中进行检验,舍去增根.
注:
用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单,但对几何能力的要求较高,用勾股定理则反之.
【例1】如图,已知中,AB=AC=6,BC=8,点D是BC边上的一个动点,点E在AC边上,∠ADE=∠B.设BD的长为x,CE的长为y.
(1)当D为BC的中点时,求CE的长;
(2)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)如果为等腰三角形,求x的值.
【答案】
(1);
(2)();(3)2或.
【解析】解:
∵,,
∴.
∴.
∴.
(1)当D为BC中点时,,∴.
(2),x的取值范围为.
(3)分情况讨论,
①当AD=AE时:
∵,∴,此情况不存在;
②当AD=DE时:
∴,即,
解得:
(舍)或;
③当AE=DE时:
∴.
∴.
又∵,∴,
∴,解得:
,
综上:
x的值为2或.
【总结】本题综合性较强,主要考查等腰三角形的性质及分类讨论的运用.
【例2】已知,一条抛物线的顶点为E(,4),且过点A(,0),与y轴交于点C,点D是这条抛物线上一点,它的横坐标为m,且,过点D作轴,垂足为K,DK分别交线段AE、AC于点G、H.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)求证:
GH=HK;
(3)当是等腰三角形时,求m的值.
【解析】
(1);
(2)略;
(3)m的值为或.
【解析】
(1)∵抛物线的顶点为E(,4),
∴设抛物线的解析式为()
又∵抛物线过点A(,0)∴,
∴这条抛物线的解析式为;
(2)∵A(,0),E(,4),C(0,3)
∴直线AE的解析式为;直线AC的解析式为,
∵D的横坐标为m,轴,
∴G(m,2m+6),H(m,m+3)
∵K(m,0),∴GH=m+3,HK=m+3,∴GH=HK;
(3)∵C(0,3),G(m,2m+6),H(m,m+3)
1°若CG=CH,则
解得:
,都是原方程的解,但不合题意舍去;
所以这种情况不存在.
2°若GC=GH,则,
解得:
,都是原方程的解,但不合题意,舍去.
∴;
3°若HC=HG,则,解得:
.
综上所述:
当是等腰三角形时,m的值为或.
【总结】本题主要考查二次函数背景下的等腰三角形的分类讨论问题,注意对方法的选择.
1、与圆有关知识内容:
在模块一的基础上,加入了与圆有关的要求。
相关点主要有:
(1)同圆内半径相等,提供了全等三角形的边或角相等条件;
(2)切线与过切点的半径垂直,提供了可使用的直角三角形
2、解题思路:
与模块一类似;
(1)利用几何或代数的手段,表示出三角形的三边对应的函数式;
(2)根据条件分情况进行讨论,排除不可能的情况,将可能情况列出方程(多为分式或根式方程);
(3)解出方程,并代回原题中进行检验,舍去增根.
【例3】如图,在中,∠ACB=90°,AC=8,tanB=,点P是线段AB上的一个动点,以点P为圆心,PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D,射线PD交射线BC于点E,点Q是线段BE的中点.
(1)当点E在BC的延长线上时,设PA=x,CE=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(2)以点Q为圆心,QB为半径的⊙Q和⊙P相切时,求⊙P的半径;
(3)射线PQ与⊙P相交于点M,联结PC、MC,当△PMC是等腰三角形时,求AP的长.
【答案】
(1),();
(2)⊙P的半径为或;
(3)AP的长为或或5或8.
【解析】解:
(1)∵AP=PD,∴,
∴,∴PE=PB=,
∵,∴,
∴();
(2)可以求出,,PA=x,.
∴外切时,,解得:
,
内切时,,解得:
,
综上所述,⊙P的半径为或;
(3),,,
分情况讨论:
1PM=PC时,解得:
(此时E与C重合);
2PM=MC时,解得:
或;
3PC=MC时,解得:
或(舍).
综上所述,AP的长为或或5或8.
【总结】本题一方面考查了两圆相切的分类讨论,另一方面考查了等腰三角形的分类讨论,注意方法的归纳总结.
【例4】如图,已知在中,,AB=5,,P是BC边上的一点,,垂足为E,以点P为圆心,PC为半径的圆与射线PE相交于点Q,线段CQ与边AB交于点D.
(1)求AD的长;
(2)设CP=x,的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(3)过点C作,垂足为F,联结PF、QF,如果是以PF为腰的等腰三角形,求CP的长.
【答案】
(1);
(2)();
(3)CP的长为2或.
【解析】
(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
,∴.
∵,∴.
∵90°,∴90°.
∵=90°,∴.
∵,∴,∴.
(2)作,垂足为点H.
∵=90°,∴=90°,=90°,
∴,∴.
∵,∴,∴,
即,定义域为.
(3)解法一:
在Rt△PBE中,90°,,,
∴,,
∴,.
∴,
.
如果,那么,解得:
.
如果,那么,
解得:
(不合题意,舍去),.
综上所述,如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形,CP的长为2或.
解法二:
在Rt△PBE中,90°,,,
∴,,
∴,.
如果,那么,
∴,,
∴,∴.
如果,那么,
∴,
解得:
,∴.
综上所述,如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形,CP的长为2或.
【总结】本题主要一方面考查与圆有关的知识点,另一方面考查锐角三角比的运用以及等腰三角形的分类讨论,注意此题只需分两种情况讨论即可.
有时,等腰三角形通过边来计算过于复杂,而条件中又恰好有关于角的一些条件,此时经常可以讨论角之间的关系,再利用“等角对等边”的性质从而形成等腰三角形.
【例5】如图1,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=5,∠C=30°,点D是AC边上一动点(不与A、C重合),过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,联结EF,设AE=x,EF=y.
(1)求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(2)以F为圆心、FC为半径的⊙F交直线AC于点G,当点G为AD中点时,求x的
值;
(3)如图2,联结BD,将△EBD沿直线BD翻折,点E落在点E′处,直线BE′与直线
AC相交于点M,当△BDM为等腰三角形时,求∠ABD的度数.
图1图2
【答案】
(1)();
(2)x的值为;
(3)∠ABD的度数为20°或40°或80°.
【解析】解:
(1)∵,
∴DE//BC,
∴.
∴(定义域为);
(2)作GH⊥BC于H,
易得:
,,,
∴,
解得:
,(舍去).
(3)分情况讨论,设,则,
①BD=BM时,
当点M在AC边上时,
∴.
∴.
又∵,
∴,解得:
;
当点M在CA的延长线上时,同理可得;
②BD=DM时,
又∵,
∴.
又∵,
∴,∴;
③DM=BM时,
∵,
∴,不可能.
【总结】本题主要考查直角三角形的性质与圆有关的性质定理的运用,注意等腰三角形的分类讨论.
【习题1】已知:
如图1,在梯形ABCD中,AD//BC,∠BCD=90º,BC=11,CD=6,tan∠ABC=2,点E在AD边上,且AE=3ED,EF//AB交BC于点F,点M、N分别在射线FE和线段CD上.
(1)求线段CF的长;
(2)如图2,当点M在线段FE上,且AM⊥MN,设FM·cos∠EFC=x,CN=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)如果△AMN为等腰直角三角形,求线段FM的长.
【答案】
(1)CF的长为5;
(2)();
(3)线段FM的长为或或.
【解析】
(1)作AG⊥BC于点G,∴∠BGA=90°,
∵∠BCD=90°,AD∥BC,∴AG=DC=6,
∵tan∠ABC==2,∴BG=3,
∵BC=11∴GC=8,∴AD=GC=8,∴AE=3ED
∴AE=6,ED=2
∵AD∥BC,AB∥EF,∴BF=AE=6,∴CF=BC-BF=5.
(2)过点M作PQ⊥CD,分别交AB、CD、AG于点P、Q、H,作MR⊥BC于点R,
易得GH=CQ=MR.
∵MFcos∠EFC=x,∴FR=x.∵tan∠ABC=2,∴GH=MR=CQ=2x.
∴BG=3,由BF=6,得:
GF=3,
∴HM=3+x,MQ=CF-FR=5-x,AH=AG-GH=6-2x.
∵∠AMQ=∠AHM+∠MAH,且∠AMN=∠AHM=90°,∴∠MAH=∠NMQ,
∴∽,∴,即,
∴,定义域:
;
(3)①∠AMN=90°
1)当点M在线段EF上时,
∵∽,且AM=MN,
∴AH=MQ
∴6-2x=5-x,
∴x=1
∴FM=
2)当点M在FE的延长线上时
同上可得AH=MQ
∴2x-6=5-x
∴
∴
②∠ANM=90°
过点N作PQ⊥CD,分别交AB、AG于点P、H,
作MR⊥BC于交BC延长线于交直线PN于点Q,
∵AN=MN,易得≌
∴AH=NQ,HN=MQ=8
令PH=a,则AH=2a,DN=2a,CN=6-2a
∴FR=5+2a,MR=8+(6-2a)=14-2a
由MR=2FR得a=,
∴FR=,MR=,∴FM=,
综上所述,线段FM的长为或或.
【总结】本题综合性较强,考查的知识点也较多,包含了锐角三角比、相似等知识点的综合运用,并且本题考查的是等腰直角三角形的分类讨论,注意相关性质的运用.
【习题2】如图,已知在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=8,cosB=,点P是边BC上的动点,以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F(点F在点E的右侧),射线CE与射线BA交于点G.
(1)当圆C经过点A时,求CP的长;
(2)联结AP,当AP//CG时,求弦EF的长;
(3)当△AGE是等腰三角形时,求圆C的半径长.
【答案】
(1)CP的长为5;
(2);
(3)圆C的半径长为.
【解析】解:
(1)作AH⊥BC于H.
∴BH=4,AH=3,∴CH=4.
∴,∴CP=AC=5;
(2)∵AP//CG,∴APCE为平行四边形,
又∵CE=CP,∴APCE为菱形.
设CP=x,则AP=CP,∴.
即,解得:
,∴;
(3)设,则.
∵,∴,.
分情况讨论
1AE=AG,解得:
;
2AE=GE,解得:
,此时E在F点右边,舍去;
3AG=GE,解得:
或,均不可能,舍去.
当AE=3时,.
【总结】本题综合性较强,主要考查了平行四边形的性质及勾股定理的综合运用,注意第(3)小问中对求出的值的取舍.
【作业1】如图,在中,∠C=90°,BC=3,AB=5.点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿B→C→A→B的方向运动;点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿C→A→B的方向运动,到达点B后立即原速返回,若P、Q两点同时运动,相遇后同时停止,设运动时间为t秒.
(1)当t=____秒时,点P与点Q相遇;
(2)在点P从点B到点C运动的过程中,当t为何值时,为等腰三角形?
【答案】
(1)7;
(2).
【解析】解:
(1)Q到B点需要,
此时P点行了4.5个单位,
两点相距个单位,
再过,即一共过7秒后,P与Q相遇.
(2)P在B到C的过程中,Q从CA边到了AB边,需要分情况讨论
①Q在AC边上,即时,
∵,∴只可能CP=CQ.
∴,解得:
;
②Q在AB边且未到B点时,即时,
a)CQ=PQ,作QH⊥AC于H.
∴,∴,解得:
;
b)PC=CQ,
∵,在时,,∴不可能;
c)PC=PQ,
∵,∴不可能.
综上所述,当时,为等腰三角形.
【总结】本题主要考查动点背景下的等腰三角形的分类讨论问题.
【作业2】在⊙O中,OC⊥弦AB,垂足为C,点D在⊙O上.
(1)如图1,已知OA=5,AB=6,如果OD//AB,CD与半径OB相交于点E,求DE
的长;
(2)已知OA=5,AB=6(如图2),如果射线OD与AB的延长线相交于点F,且
是等腰三角形,求AF的长;
(3)如果OD//AB,CD⊥OB,垂足为E,求sin∠ODC的值.
图1图2
【答案】
(1);
(2)AF的长为或;(3).
【解析】解:
(1)∵OC⊥AB,∴AC=CB=3,∴OC=4.
∵OD//BC,∴OD⊥OC,,∴,∴;
(2)∵OD=5,OC=4,是等腰三角形,∴CD=4或CD=5.
①当CD=5时,,∵OC⊥CF,
∴,∴D为OF中点,
∴,∴;
②当CD=4时,作CH⊥OD于H,作DI⊥OC于I,
∴,∴,
∴,∴,
∴.
(3)∵OC⊥CB,CE⊥OB,∴,∴.
设BC=x,可得,即,解得:
(负的舍去).
∴.
【总结】本题综合性较强,主要考查了垂径定理及相似三角形的性质,锐角三角比的综合运用,解题时注意分析.