九年级春季班第8讲等腰三角形的存在性问题教案教学设计导学案.docx

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九年级春季班第8讲等腰三角形的存在性问题教案教学设计导学案

根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：

（1）AB=BC；

（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意．

1、知识内容：

在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：

（1）勾股定理：

找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；

（2）全等或相似：

通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边

（3）两点间距离公式：

设、，则A、B两点间的距离为：

．

2、解题思路：

（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；

（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）

（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．

注：

用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之．

【例1】如图，已知中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE=∠B．设BD的长为x，CE的长为y．

（1）当D为BC的中点时，求CE的长；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）如果为等腰三角形，求x的值．

【答案】

（1）；

（2）（）；（3）2或．

【解析】解：

∵，，

∴．

∴．

∴．

（1）当D为BC中点时，，∴．

（2），x的取值范围为．

（3）分情况讨论，

①当AD=AE时：

∵，∴，此情况不存在；

②当AD=DE时：

∴，即，

解得：

（舍）或；

③当AE=DE时：

∴．

∴．

又∵，∴，

∴，解得：

，

综上：

x的值为2或．

【总结】本题综合性较强，主要考查等腰三角形的性质及分类讨论的运用．

【例2】已知，一条抛物线的顶点为E（，4），且过点A（，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且，过点D作轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）求证：

GH=HK；

（3）当是等腰三角形时，求m的值．

【解析】

（1）；

（2）略；

（3）m的值为或．

【解析】

（1）∵抛物线的顶点为E（，4），

∴设抛物线的解析式为（）

又∵抛物线过点A（，0）∴，

∴这条抛物线的解析式为；

（2）∵A（，0），E（，4），C（0，3）

∴直线AE的解析式为；直线AC的解析式为，

∵D的横坐标为m，轴，

∴G（m，2m+6），H（m，m+3）

∵K（m，0），∴GH=m+3，HK=m+3，∴GH=HK；

（3）∵C（0，3），G（m，2m+6），H（m，m+3）

1°若CG=CH，则

解得：

，都是原方程的解，但不合题意舍去；

所以这种情况不存在．

2°若GC=GH，则，

解得：

，都是原方程的解，但不合题意，舍去．

∴；

3°若HC=HG，则，解得：

．

综上所述：

当是等腰三角形时，m的值为或．

【总结】本题主要考查二次函数背景下的等腰三角形的分类讨论问题，注意对方法的选择．

1、与圆有关知识内容：

在模块一的基础上，加入了与圆有关的要求。

相关点主要有：

（1）同圆内半径相等，提供了全等三角形的边或角相等条件；

（2）切线与过切点的半径垂直，提供了可使用的直角三角形

2、解题思路：

与模块一类似；

（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；

（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）；

（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．

【例3】如图，在中，∠ACB=90°，AC=8，tanB=，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E，点Q是线段BE的中点．

（1）当点E在BC的延长线上时，设PA＝x，CE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（2）以点Q为圆心，QB为半径的⊙Q和⊙P相切时，求⊙P的半径；

（3）射线PQ与⊙P相交于点M，联结PC、MC，当△PMC是等腰三角形时，求AP的长．

【答案】

（1），（）；

（2）⊙P的半径为或；

（3）AP的长为或或5或8．

【解析】解：

（1）∵AP=PD，∴，

∴，∴PE=PB=，

∵，∴，

∴（）；

（2）可以求出，，PA=x，．

∴外切时，，解得：

，

内切时，，解得：

，

综上所述，⊙P的半径为或；

（3），，，

分情况讨论：

1PM=PC时，解得：

（此时E与C重合）；

2PM=MC时，解得：

或；

3PC=MC时，解得：

或（舍）．

综上所述，AP的长为或或5或8．

【总结】本题一方面考查了两圆相切的分类讨论，另一方面考查了等腰三角形的分类讨论，注意方法的归纳总结．

【例4】如图，已知在中，，AB=5，，P是BC边上的一点，，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D．

（1）求AD的长；

（2）设CP=x，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）过点C作，垂足为F，联结PF、QF，如果是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长．

【答案】

（1）；

（2）（）；

（3）CP的长为2或．

【解析】

（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

，∴．

∵，∴．

∵90°，∴90°．

∵=90°，∴．

∵，∴，∴．

（2）作，垂足为点H．

∵=90°，∴=90°，=90°，

∴，∴．

∵，∴，∴，

即，定义域为．

（3）解法一：

在Rt△PBE中，90°，，，

∴，，

∴，．

∴，

．

如果，那么，解得：

．

如果，那么，

解得：

（不合题意，舍去），．

综上所述，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，CP的长为2或．

解法二：

在Rt△PBE中，90°，，，

∴，，

∴，．

如果，那么，

∴，，

∴，∴．

如果，那么，

∴，

解得：

，∴．

综上所述，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，CP的长为2或．

【总结】本题主要一方面考查与圆有关的知识点，另一方面考查锐角三角比的运用以及等腰三角形的分类讨论，注意此题只需分两种情况讨论即可．

有时，等腰三角形通过边来计算过于复杂，而条件中又恰好有关于角的一些条件，此时经常可以讨论角之间的关系，再利用“等角对等边”的性质从而形成等腰三角形．

【例5】如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，∠C=30°，点D是AC边上一动点（不与A、C重合），过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，联结EF，设AE=x，EF=y．

（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（2）以F为圆心、FC为半径的⊙F交直线AC于点G，当点G为AD中点时，求x的

值；

（3）如图2，联结BD，将△EBD沿直线BD翻折，点E落在点E′处，直线BE′与直线

AC相交于点M，当△BDM为等腰三角形时，求∠ABD的度数．

图1图2

【答案】

（1）（）；

（2）x的值为；

（3）∠ABD的度数为20°或40°或80°．

【解析】解：

（1）∵，

∴DE//BC，

∴．

∴（定义域为）；

（2）作GH⊥BC于H，

易得：

，，，

∴，

解得：

，（舍去）．

（3）分情况讨论，设，则，

①BD=BM时，

当点M在AC边上时，

∴．

∴．

又∵，

∴，解得：

；

当点M在CA的延长线上时，同理可得；

②BD=DM时，

又∵，

∴．

又∵，

∴，∴；

③DM=BM时，

∵，

∴，不可能．

【总结】本题主要考查直角三角形的性质与圆有关的性质定理的运用，注意等腰三角形的分类讨论．

【习题1】已知：

如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90º，BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF//AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．

（1）求线段CF的长；

（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM·cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．

【答案】

（1）CF的长为5；

（2）（）；

（3）线段FM的长为或或．

【解析】

（1）作AG⊥BC于点G，∴∠BGA=90°，

∵∠BCD=90°，AD∥BC，∴AG=DC=6，

∵tan∠ABC==2，∴BG=3，

∵BC=11∴GC=8，∴AD=GC=8，∴AE=3ED

∴AE=6，ED=2

∵AD∥BC，AB∥EF，∴BF=AE=6，∴CF=BC-BF=5．

（2）过点M作PQ⊥CD，分别交AB、CD、AG于点P、Q、H，作MR⊥BC于点R，

易得GH=CQ=MR．

∵MFcos∠EFC=x，∴FR=x．∵tan∠ABC=2，∴GH=MR=CQ=2x．

∴BG=3，由BF=6，得：

GF=3，

∴HM=3+x，MQ=CF-FR=5-x，AH=AG-GH=6-2x．

∵∠AMQ=∠AHM+∠MAH，且∠AMN=∠AHM=90°，∴∠MAH=∠NMQ，

∴∽，∴，即，

∴，定义域：

；

（3）①∠AMN=90°

1）当点M在线段EF上时，

∵∽，且AM=MN，

∴AH=MQ

∴6-2x=5-x，

∴x=1

∴FM=

2）当点M在FE的延长线上时

同上可得AH=MQ

∴2x-6=5-x

∴

∴

②∠ANM=90°

过点N作PQ⊥CD，分别交AB、AG于点P、H，

作MR⊥BC于交BC延长线于交直线PN于点Q，

∵AN=MN，易得≌

∴AH=NQ，HN=MQ=8

令PH=a，则AH=2a，DN=2a，CN=6-2a

∴FR=5+2a，MR=8+（6-2a）=14-2a

由MR=2FR得a=，

∴FR=，MR=，∴FM=，

综上所述，线段FM的长为或或．

【总结】本题综合性较强，考查的知识点也较多，包含了锐角三角比、相似等知识点的综合运用，并且本题考查的是等腰直角三角形的分类讨论，注意相关性质的运用．

【习题2】如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．

（1）当圆C经过点A时，求CP的长；

（2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长；

（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．

【答案】

（1）CP的长为5；

（2）；

（3）圆C的半径长为．

【解析】解：

（1）作AH⊥BC于H．

∴BH=4，AH=3，∴CH=4．

∴，∴CP=AC=5；

（2）∵AP//CG，∴APCE为平行四边形，

又∵CE=CP，∴APCE为菱形．

设CP=x，则AP=CP，∴．

即，解得：

，∴；

（3）设，则．

∵，∴，．

分情况讨论

1AE=AG，解得：

；

2AE=GE，解得：

，此时E在F点右边，舍去；

3AG=GE，解得：

或，均不可能，舍去．

当AE=3时，．

【总结】本题综合性较强，主要考查了平行四边形的性质及勾股定理的综合运用，注意第（3）小问中对求出的值的取舍．

【作业1】如图，在中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿C→A→B的方向运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒．

（1）当t=____秒时，点P与点Q相遇；

（2）在点P从点B到点C运动的过程中，当t为何值时，为等腰三角形？

【答案】

（1）7；

（2）．

【解析】解：

（1）Q到B点需要，

此时P点行了4.5个单位，

两点相距个单位，

再过，即一共过7秒后，P与Q相遇．

（2）P在B到C的过程中，Q从CA边到了AB边，需要分情况讨论

①Q在AC边上，即时，

∵，∴只可能CP=CQ．

∴，解得：

；

②Q在AB边且未到B点时，即时，

a）CQ=PQ，作QH⊥AC于H．

∴，∴，解得：

；

b）PC=CQ，

∵，在时，，∴不可能；

c）PC=PQ，

∵，∴不可能．

综上所述，当时，为等腰三角形．

【总结】本题主要考查动点背景下的等腰三角形的分类讨论问题．

【作业2】在⊙O中，OC⊥弦AB，垂足为C，点D在⊙O上．

（1）如图1，已知OA=5，AB=6，如果OD//AB，CD与半径OB相交于点E，求DE

的长；

（2）已知OA=5，AB=6（如图2），如果射线OD与AB的延长线相交于点F，且

是等腰三角形，求AF的长；

（3）如果OD//AB，CD⊥OB，垂足为E，求sin∠ODC的值．

图1图2

【答案】

（1）；

（2）AF的长为或；（3）．

【解析】解：

（1）∵OC⊥AB，∴AC=CB=3，∴OC=4．

∵OD//BC，∴OD⊥OC，，∴，∴；

（2）∵OD=5，OC=4，是等腰三角形，∴CD=4或CD=5．

①当CD=5时，，∵OC⊥CF，

∴，∴D为OF中点，

∴，∴；

②当CD=4时，作CH⊥OD于H，作DI⊥OC于I，

∴，∴，

∴，∴，

∴．

（3）∵OC⊥CB，CE⊥OB，∴，∴．

设BC=x，可得，即，解得：

（负的舍去）．

∴．

【总结】本题综合性较强，主要考查了垂径定理及相似三角形的性质，锐角三角比的综合运用，解题时注意分析．