教师用书专用(5—9)
5.(2013浙江,9,5分)如图,F1,F2是椭圆C1:
+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )
A.B.C.D.
答案 D
6.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .
答案
7.(2013福建,14,4分)椭圆Γ:
+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 .
答案 -1
8.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.
解析
(1)由题设条件知,点M的坐标为,
又kOM=,从而=.
进而得a=b,c==2b.故e==.
(2)由题设条件和
(1)的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为.
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,从而有
解得b=3.
所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.
9.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.
解析
(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=·|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.
所以椭圆的离心率e=.
(2)由
(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.
设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).
由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0.
又c≠0,故有
x0+y0+c=0.①
又因为点P在椭圆上,
故+=1.②
由①和②可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,
故x0=-c,代入①得y0=,
即点P的坐标为.
设圆的圆心为T(x1,y1),则x1==-c,y1==c,进而圆的半径r==c.
设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即=c,
整理得k2-8k+1=0,解得k=4±.
所以直线l的斜率为4+或4-.
考点三 直线与椭圆的位置关系
1.(2016课标全国Ⅰ,20,12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;
(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
解析
(1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,
故∠EBD=∠ACD=∠ADC.
所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.
又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2分)
由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为+=1(y≠0).(4分)
(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),
M(x1,y1),N(x2,y2).
由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.
则x1+x2=,x1x2=.
所以|MN|=|x1-x2|=.(6分)
过点B(1,0)且与l垂直的直线m:
y=-(x-1),A到m的距离为,所以|PQ|=2=4.
故四边形MPNQ的面积
S=|MN||PQ|=12.(10分)
可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).
当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.
综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).(12分)
2.(2017天津,19,14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.
解析
(1)设F的坐标为(-c,0).依题意,=,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.
所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.
(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P,故Q.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=.由点B异于点A,可得点B.由Q,可得直线BQ的方程为(x+1)-=0,令y=0,解得x=,故D.所以|AD|=1-=.又因为△APD的面积为,故××=,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=±.
所以,直线AP的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0.
教师用书专用(3—5)
3.(2015江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.
解析
(1)由题意,得=且c+=3,
解得a=,c=1,则b=1,
所以椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)当AB⊥x轴时,AB=,又CP=3,不合题意.
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
将AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x1,2=,C的坐标为,且AB===.
若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.
从而k≠0,故直线PC的方程为y+=-,
则P点的坐标为,
从而PC=.
因为PC=2AB,
所以=,
解得k=±1.
此时直线AB方程为y=x-1或y=-x+1.
4.(2015山东,20,13分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆E:
+=1,P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.
(i)求的值;
(ii)求△ABQ面积的最大值.
解析
(1)由题意知2a=4,则a=2.
又=,a2-c2=b2,可得b=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由
(1)知椭圆E的方程为+=1.
(i)设P(x0,y0),=λ,由题意知Q(-λx0,-λy0).
因为+=1,
又+=1,
即=1,
所以λ=2,即=2.
(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2).
将y=kx+m代入椭圆E的方程,
可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,
由Δ>0,可得m2<4+16k2.①
则有x1+x2=-,x1x2=.
所以|x1-x2|=.
因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),
所以△OAB的面积S=|m||x1-x2|
=
=
=2.
设=t.
将y=kx+m代入椭圆C的方程,
可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由Δ≥0,可得m2≤1+4k2.②
由①②可知0因此S=2=2.故S≤2,
当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值2.
由(i)知,△ABQ面积为3S,
所以△ABQ面积的最大值为6.
5.(2013北京,19,14分)已知A,B,C是椭圆W:
+y2=1上的三个点,O是坐标原点.
(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
解析
(1)椭圆W:
+y2=1的右顶点B的坐标为(2,0).
因为四边形OABC为菱形,
所以AC与OB相互垂直平分.
所以可设A(1,m),代入椭圆方程得+m2=1,
即m=±.
所以菱形OABC的面积是|OB|·|AC|=×2×2|m|=.
(2)假设四边形OABC为菱形.
因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0).
由消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.
设A(x1,y1),C(x2,y2),则
=-,=k·+m=.
所以AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点,
所以直线OB的斜率为-.
因为k·≠-1,
所以AC与OB不垂直.
所以OABC不是菱形,与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点一 椭圆的定义及其标准方程
1.(2018河南豫南豫北二联,8)若F(c,0)是椭圆+=1的右焦点,F与椭圆上点的距离的最大值为M,最小值为m,则椭圆上与F点的距离等于的点的坐标是( )
A.B.
C.(0,±b)D.不存在
答案 C
2.(2018广东清远一模,8)曲线C1:
+(m>n>0),曲线C2:
-=1(a>b>0).若C1与C2有相同的焦点F1、F2,且P同在C1、C2上,则|PF1|·|PF2|=( )
A.m+aB.m-aC.m2+a2D.m2-a2
答案 B
3.(人教A选2-1,二,2-2-1,1,变式)平面内有一长度为2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( )
A.[1,4]B.[2,6]C.[3,5]D.[3,6]
答案 C
4.(2017江西九江模拟,8)F1,F2是椭圆+=1的左、右焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为( )
A.7B.C.D.
答案 C
5.(2017湖南东部六校4月联考,15)设P,Q分别是圆x2+(y-1)2=3和椭圆+y2=1上的点,则P、Q两点间的最大距离是 .
答案
考点二 椭圆的几何性质
6.(2018四川凉山州模拟,4)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则椭圆的离心率是( )
A.B.C.D.
答案 D
7.(2018四川达州模拟,7)以圆x2+y2=4与x轴的交点为焦点,以抛物线y2=10x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是( )
A.B.C.D.
答案 C
8.(2017河南4月质检,11)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的右焦点为F2,O为坐标原点,M为y轴上一点,点A是直线MF2与椭圆C的一个交点,且|OA|=|OF2|=2|OM|,则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
答案 D
考点三 直线与椭圆的位置关系
9.(2018安徽合肥模拟,8)已知椭圆C:
+y2=1,若一组斜率为的平行直线被椭圆C所截线段的中点均在直线l上,则l的斜率为( )
A.-2B.2C.-D.
答案 A
10.(2018广东广州模拟,10)已知点M(-1,0)和N(1,0),若某直线上存在点P,使得|PM|+|PN|=4,则称该直线为“椭型直线”.现有下列直线:
①x-2y+6=0;②x-y=0;③2x-y+1=0;④x+y-3=0.其中是“椭型直线”的是( )
A.①③B.①②C.②③D.③④
答案 C
11.(2017湖南百校联盟4月联考,10)已知椭圆+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A、B,左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切,且该圆与y轴的正半轴交于点C,过点C的直线交椭圆于M、N两点.若四边形FAMN是平行四边形,则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
答案 A
12.(2017湖南益阳调研,20)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,点P(0,)在椭圆上,A、B分别为椭圆的左、右顶点,过点B作BD⊥x轴交AP的延长线于点D,F为椭圆的右焦点.
(1)求椭圆的方程及直线PF被椭圆截得的弦长|PM|;
(2)求证:
以BD为直径的圆与直线PF相切.
解析
(1)∵椭圆过点P(0,),∴b=,
∵e=,∴=,结合a2=b2+c2,
得a=2,c=1,
∴椭圆的方程为+=1.
则F(1,0),结合P(0,),
可得直线PF的方程为y=-(x-1),
与椭圆方程联立,得
消去y,得5x2-8x=0,解得x1=0,x2=.
由弦长公式得|PM|=|x1-x2|=.
(2)证明:
易得A(-2,0),B(2,0),∴直线AP的方程为y=(x+2),直线BD的方程为x=2,两方程联立,求得D(2,2),
所以以BD为直径的圆的圆心为(2,),半径R=,
圆心到直线PF的距离d==,
所以以BD为直径的圆与直线PF相切.
B组 2016—2018年模拟·提升题组
(满分:
50分 时间:
50分钟)
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.(2018四川德阳模拟,9)设点P为椭圆C:
+=1上一点,F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点,且△PF1F2的重心为点G,若|PF1|∶|PF2|=3∶4,那么△GPF1的面积为( )
A.24B.12C.8D.6
答案 C
2.(2018广东清远模拟,11)已知m、n、s、t∈R*,m+n=3,+=1,其中m、n是常数且mA.x-2y+3=0B.4x-2y-3=0
C.x+y-3=0D.2x+y-4=0
答案 D
3.(2017河南八市2月联考,9)已知F1,F2分别是椭圆+=(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,O为坐标原点,直线OA的斜率为,·=||2,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
答案 A
二、填空题(共5分)
4.(2017安徽安庆二模,15)已知椭圆+=1(a>b>0)短轴的端点为P(0,b)、Q(0,-b),长轴的一个端点为M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA、PB的斜率之积等于-,则P到直线QM的距离为 .
答案
三、解答题(共30分)
5.(2018广东茂名模拟,20)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的焦距为2,设右焦点为F,过原点O的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AF的中点为M,线段BF的中点为N,且·=.
(1)求弦AB的长;
(2)当直线l的斜率k=,且直线l'∥l时,l'交椭圆于P,Q,若点A在第一象限,求证:
直线AP,AQ与x轴围成一个等腰三角形.
解析
(1)由题意可知2c=2,c=,设F(,0),A(x0,y0),B(-x0,-y0),
则M,N,
由·==,则+=5,
则|AB|=2=2.
(2)证明:
直线l的斜率k=,l:
y=x,
设l':
y=x+m(m≠0),y0=x0,
由+=5,得A(2,1),由c=,代入椭圆方程解得
a=2,b=,∴椭圆的方程为+=1,
联立整理得x2+2mx+2m2-4=0,
Δ=4m2-4(2m2-4)>0,即m∈(-2,0)∪(0,2).
设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则k1=,k2=.
由x2+2mx+2m2-4=0,
可得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,
k1+k2=+=
=
=
==0,即k1+k2=