届高考理数94椭圆及其性质.docx

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届高考理数94椭圆及其性质

§9.4　椭圆及其性质

考纲解读

考点

内容解读

要求

高考示例

常考题型

预测热度

1.椭圆的定义及其标准方程

掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质

掌握

2016天津,19;2015陕西,20;

2014辽宁,15

选择题

解答题

★★★

2.椭圆的几何性质

掌握

2017课标全国Ⅲ,10;2017浙江,2;

2016课标全国Ⅲ,11;2016江苏,10;

2016浙江,19

填空题

解答题

★★★

3.直线与椭圆的位置关系

掌握

2017天津,19;2016四川,20;

2016课标全国Ⅰ,20;2015江苏,18

解答题

★★★

分析解读　1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率）解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主,与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强,分值约为12分,难度较大.

五年高考

考点一　椭圆的定义及其标准方程

1.（2014安徽,14,5分）设F1,F2分别是椭圆E:

x2+=1（0

答案　x2+y2=1

2.（2016天津,19,14分）设椭圆+=1（a>）的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程;

（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上）,垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.

解析　

（1）设F（c,0）,由+=,即+=,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4,所以,椭圆的方程为+=1.

（2）设直线l的斜率为k（k≠0）,则直线l的方程为y=k（x-2）.

设B（xB,yB）,由方程组消去y,

整理得（4k2+3）x2-16k2x+16k2-12=0.

解得x=2或x=,

由题意得xB=,从而yB=.

由

（1）知,F（1,0）,设H（0,yH）,有=（-1,yH）,=.

由BF⊥HF,得·=0,所以+=0,解得yH=.

因此直线MH的方程为y=-x+.

设M（xM,yM）,

由方程组消去y,解得xM=.

在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|,即（xM-2）2+≤+,化简得xM≥1,即≥1,解得k≤-,或k≥.

所以,直线l的斜率的取值范围为∪.

3.（2015陕西,20,12分）已知椭圆E:

+=1（a>b>0）的半焦距为c,原点O到经过两点（c,0）,（0,b）的直线的距离为c.

（1）求椭圆E的离心率;

（2）如图,AB是圆M:

（x+2）2+（y-1）2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.

解析　

（1）过点（c,0）,（0,b）的直线方程为bx+cy-bc=0,

则原点O到该直线的距离d==,

由d=c,得a=2b=2,

解得离心率=.

（2）解法一:

由

（1）知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①

依题意得,圆心M（-2,1）是线段AB的中点,且|AB|=.

易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k（x+2）+1,代入①得

（1+4k2）x2+8k（2k+1）x+4（2k+1）2-4b2=0.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则x1+x2=-,

x1x2=.

由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.

从而x1x2=8-2b2.

于是|AB|=|x1-x2|==.

由|AB|=,得=,解得b2=3.

故椭圆E的方程为+=1.

解法二:

由

（1）知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.②

依题意得,点A,B关于圆心M（-2,1）对称,且|AB|=.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则+4=4b2,+4=4b2,

两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,

得-4（x1-x2）+8（y1-y2）=0,

易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,

所以AB的斜率kAB==.

因此直线AB的方程为y=（x+2）+1,

代入②得x2+4x+8-2b2=0.

所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.

于是|AB|=|x1-x2|==.

由|AB|=,得=,解得b2=3.

故椭圆E的方程为+=1.

教师用书专用（4）

4.（2014辽宁,15,5分）已知椭圆C:

+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=　　　　. 

答案　12

考点二　椭圆的几何性质

1.（2017浙江,2,5分）椭圆+=1的离心率是（　　）

A.B.C.D.

答案　B

2.（2017课标全国Ⅲ,10,5分）已知椭圆C:

+=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

3.（2016课标全国Ⅲ,11,5分）已知O为坐标原点,F是椭圆C:

+=1（a>b>0）的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为　（　　）

A.B.C.D.

答案　A

4.（2016浙江,19,15分）如图,设椭圆+y2=1（a>1）.

（1）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a,k表示）;

（2）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.

解析　

（1）设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,

由得（1+a2k2）x2+2a2kx=0,

故x1=0,x2=-.

因此|AP|=|x1-x2|=·.

（2）假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.

记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.

由

（1）知,|AP|=,|AQ|=,

故=,

所以（-）[1+++a2（2-a2）]=0.

由于k1≠k2,k1,k2>0得1+++a2（2-a2）=0,

因此=1+a2（a2-2）,①

因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2（a2-2）>1,所以a>.因此,任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1

由e==得,所求离心率的取值范围为0

教师用书专用（5—9）

5.（2013浙江,9,5分）如图,F1,F2是椭圆C1:

+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是（　　）

A.B.C.D.

答案　D

6.（2016江苏,10,5分）如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1（a>b>0）的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是　　　　. 

答案　

7.（2013福建,14,4分）椭圆Γ:

+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=（x+c）与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于　　　　. 

答案　-1

8.（2015安徽,20,13分）设椭圆E的方程为+=1（a>b>0）,点O为坐标原点,点A的坐标为（a,0）,点B的坐标为（0,b）,点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.

（1）求E的离心率e;

（2）设点C的坐标为（0,-b）,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.

解析　

（1）由题设条件知,点M的坐标为,

又kOM=,从而=.

进而得a=b,c==2b.故e==.

（2）由题设条件和

（1）的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为.

设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,从而有

解得b=3.

所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.

9.（2014天津,18,13分）设椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.

（1）求椭圆的离心率;

（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.

解析　

（1）设椭圆右焦点F2的坐标为（c,0）.由|AB|=·|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.

所以椭圆的离心率e=.

（2）由

（1）知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.

设P（x0,y0）.由F1（-c,0）,B（0,c）,有=（x0+c,y0）,=（c,c）.

由已知,有·=0,即（x0+c）c+y0c=0.

又c≠0,故有

x0+y0+c=0.①

又因为点P在椭圆上,

故+=1.②

由①和②可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,

故x0=-c,代入①得y0=,

即点P的坐标为.

设圆的圆心为T（x1,y1）,则x1==-c,y1==c,进而圆的半径r==c.

设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即=c,

整理得k2-8k+1=0,解得k=4±.

所以直线l的斜率为4+或4-.

考点三　直线与椭圆的位置关系

1.（2016课标全国Ⅰ,20,12分）设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.

（1）证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;

（2）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.

解析　

（1）因为|AD|=|AC|,EB∥AC,

故∠EBD=∠ACD=∠ADC.

所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.

又圆A的标准方程为（x+1）2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.（2分）

由题设得A（-1,0）,B（1,0）,|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为+=1（y≠0）.（4分）

（2）当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k（x-1）（k≠0）,

M（x1,y1）,N（x2,y2）.

由得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0.

则x1+x2=,x1x2=.

所以|MN|=|x1-x2|=.（6分）

过点B（1,0）且与l垂直的直线m:

y=-（x-1）,A到m的距离为,所以|PQ|=2=4.

故四边形MPNQ的面积

S=|MN||PQ|=12.（10分）

可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为（12,8）.

当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.

综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8）.（12分）

2.（2017天津,19,14分）设椭圆+=1（a>b>0）的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px（p>0）的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.

（1）求椭圆的方程和抛物线的方程;

（2）设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A）,直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.

解析　

（1）设F的坐标为（-c,0）.依题意,=,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.

所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.

（2）设直线AP的方程为x=my+1（m≠0）,与直线l的方程x=-1联立,可得点P,故Q.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得（3m2+4）y2+6my=0,解得y=0或y=.由点B异于点A,可得点B.由Q,可得直线BQ的方程为（x+1）-=0,令y=0,解得x=,故D.所以|AD|=1-=.又因为△APD的面积为,故××=,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=±.

所以,直线AP的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0.

教师用书专用（3—5）

3.（2015江苏,18,16分）如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.

解析　

（1）由题意,得=且c+=3,

解得a=,c=1,则b=1,

所以椭圆的标准方程为+y2=1.

（2）当AB⊥x轴时,AB=,又CP=3,不合题意.

当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k（x-1）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,

将AB的方程代入椭圆方程,得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0,则x1,2=,C的坐标为,且AB===.

若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.

从而k≠0,故直线PC的方程为y+=-,

则P点的坐标为,

从而PC=.

因为PC=2AB,

所以=,

解得k=±1.

此时直线AB方程为y=x-1或y=-x+1.

4.（2015山东,20,13分）平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:

+=1（a>b>0）的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程;

（2）设椭圆E:

+=1,P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.

（i）求的值;

（ii）求△ABQ面积的最大值.

解析　

（1）由题意知2a=4,则a=2.

又=,a2-c2=b2,可得b=1,

所以椭圆C的方程为+y2=1.

（2）由

（1）知椭圆E的方程为+=1.

（i）设P（x0,y0）,=λ,由题意知Q（-λx0,-λy0）.

因为+=1,

又+=1,

即=1,

所以λ=2,即=2.

（ii）设A（x1,y1）,B（x2,y2）.

将y=kx+m代入椭圆E的方程,

可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-16=0,

由Δ>0,可得m2<4+16k2.①

则有x1+x2=-,x1x2=.

所以|x1-x2|=.

因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为（0,m）,

所以△OAB的面积S=|m||x1-x2|

=

=

=2.

设=t.

将y=kx+m代入椭圆C的方程,

可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0,

由Δ≥0,可得m2≤1+4k2.②

由①②可知0

因此S=2=2.故S≤2,

当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值2.

由（i）知,△ABQ面积为3S,

所以△ABQ面积的最大值为6.

5.（2013北京,19,14分）已知A,B,C是椭圆W:

+y2=1上的三个点,O是坐标原点.

（1）当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;

（2）当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.

解析　

（1）椭圆W:

+y2=1的右顶点B的坐标为（2,0）.

因为四边形OABC为菱形,

所以AC与OB相互垂直平分.

所以可设A（1,m）,代入椭圆方程得+m2=1,

即m=±.

所以菱形OABC的面积是|OB|·|AC|=×2×2|m|=.

（2）假设四边形OABC为菱形.

因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m（k≠0,m≠0）.

由消y并整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0.

设A（x1,y1）,C（x2,y2）,则

=-,=k·+m=.

所以AC的中点为M.

因为M为AC和OB的交点,

所以直线OB的斜率为-.

因为k·≠-1,

所以AC与OB不垂直.

所以OABC不是菱形,与假设矛盾.

所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.

三年模拟

A组　2016—2018年模拟·基础题组

考点一　椭圆的定义及其标准方程

1.（2018河南豫南豫北二联,8）若F（c,0）是椭圆+=1的右焦点,F与椭圆上点的距离的最大值为M,最小值为m,则椭圆上与F点的距离等于的点的坐标是（　　）

A.B.

C.（0,±b）D.不存在

答案　C

2.（2018广东清远一模,8）曲线C1:

+（m>n>0）,曲线C2:

-=1（a>b>0）.若C1与C2有相同的焦点F1、F2,且P同在C1、C2上,则|PF1|·|PF2|=（　　）

A.m+aB.m-aC.m2+a2D.m2-a2

答案　B

3.（人教A选2-1,二,2-2-1,1,变式）平面内有一长度为2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是（　　）

A.[1,4]B.[2,6]C.[3,5]D.[3,6]

答案　C

4.（2017江西九江模拟,8）F1,F2是椭圆+=1的左、右焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为（　　）

A.7B.C.D.

答案　C

5.（2017湖南东部六校4月联考,15）设P,Q分别是圆x2+（y-1）2=3和椭圆+y2=1上的点,则P、Q两点间的最大距离是　　　　. 

答案　

考点二　椭圆的几何性质

6.（2018四川凉山州模拟,4）以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则椭圆的离心率是（　　）

A.B.C.D.

答案　D

7.（2018四川达州模拟,7）以圆x2+y2=4与x轴的交点为焦点,以抛物线y2=10x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是（　　）

A.B.C.D.

答案　C

8.（2017河南4月质检,11）已知椭圆C:

+=1（a>b>0）的右焦点为F2,O为坐标原点,M为y轴上一点,点A是直线MF2与椭圆C的一个交点,且|OA|=|OF2|=2|OM|,则椭圆C的离心率为（　　）

A.B.C.D.

答案　D

考点三　直线与椭圆的位置关系

9.（2018安徽合肥模拟,8）已知椭圆C:

+y2=1,若一组斜率为的平行直线被椭圆C所截线段的中点均在直线l上,则l的斜率为（　　）

A.-2B.2C.-D.

答案　A

10.（2018广东广州模拟,10）已知点M（-1,0）和N（1,0）,若某直线上存在点P,使得|PM|+|PN|=4,则称该直线为“椭型直线”.现有下列直线:

①x-2y+6=0;②x-y=0;③2x-y+1=0;④x+y-3=0.其中是“椭型直线”的是（　　）

A.①③B.①②C.②③D.③④

答案　C

11.（2017湖南百校联盟4月联考,10）已知椭圆+=1（a>b>0）的右顶点和上顶点分别为A、B,左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切,且该圆与y轴的正半轴交于点C,过点C的直线交椭圆于M、N两点.若四边形FAMN是平行四边形,则该椭圆的离心率为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

12.（2017湖南益阳调研,20）已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率e=,点P（0,）在椭圆上,A、B分别为椭圆的左、右顶点,过点B作BD⊥x轴交AP的延长线于点D,F为椭圆的右焦点.

（1）求椭圆的方程及直线PF被椭圆截得的弦长|PM|;

（2）求证:

以BD为直径的圆与直线PF相切.

解析　

（1）∵椭圆过点P（0,）,∴b=,

∵e=,∴=,结合a2=b2+c2,

得a=2,c=1,

∴椭圆的方程为+=1.

则F（1,0）,结合P（0,）,

可得直线PF的方程为y=-（x-1）,

与椭圆方程联立,得

消去y,得5x2-8x=0,解得x1=0,x2=.

由弦长公式得|PM|=|x1-x2|=.

（2）证明:

易得A（-2,0）,B（2,0）,∴直线AP的方程为y=（x+2）,直线BD的方程为x=2,两方程联立,求得D（2,2）,

所以以BD为直径的圆的圆心为（2,）,半径R=,

圆心到直线PF的距离d==,

所以以BD为直径的圆与直线PF相切.

B组　2016—2018年模拟·提升题组

（满分:

50分　时间:

50分钟）

一、选择题（每小题5分,共15分）

1.（2018四川德阳模拟,9）设点P为椭圆C:

+=1上一点,F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点,且△PF1F2的重心为点G,若|PF1|∶|PF2|=3∶4,那么△GPF1的面积为（　　）

A.24B.12C.8D.6

答案　C

2.（2018广东清远模拟,11）已知m、n、s、t∈R*,m+n=3,+=1,其中m、n是常数且m

A.x-2y+3=0B.4x-2y-3=0

C.x+y-3=0D.2x+y-4=0

答案　D

3.（2017河南八市2月联考,9）已知F1,F2分别是椭圆+=（a>b>0）的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,O为坐标原点,直线OA的斜率为,·=||2,则椭圆的离心率为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

二、填空题（共5分）

4.（2017安徽安庆二模,15）已知椭圆+=1（a>b>0）短轴的端点为P（0,b）、Q（0,-b）,长轴的一个端点为M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA、PB的斜率之积等于-,则P到直线QM的距离为　　　　. 

答案　

三、解答题（共30分）

5.（2018广东茂名模拟,20）已知椭圆C:

+=1（a>b>0）的焦距为2,设右焦点为F,过原点O的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AF的中点为M,线段BF的中点为N,且·=.

（1）求弦AB的长;

（2）当直线l的斜率k=,且直线l'∥l时,l'交椭圆于P,Q,若点A在第一象限,求证:

直线AP,AQ与x轴围成一个等腰三角形.

解析　

（1）由题意可知2c=2,c=,设F（,0）,A（x0,y0）,B（-x0,-y0）,

则M,N,

由·==,则+=5,

则|AB|=2=2.

（2）证明:

直线l的斜率k=,l:

y=x,

设l':

y=x+m（m≠0）,y0=x0,

由+=5,得A（2,1）,由c=,代入椭圆方程解得

a=2,b=,∴椭圆的方程为+=1,

联立整理得x2+2mx+2m2-4=0,

Δ=4m2-4（2m2-4）>0,即m∈（-2,0）∪（0,2）.

设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,

设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,则k1=,k2=.

由x2+2mx+2m2-4=0,

可得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,

k1+k2=+=

=

=

==0,即k1+k2=