第16讲巧解质数与合数问题.docx

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第16讲巧解质数与合数问题

第16讲巧解质数与合数问题

巧点睛——方法和技巧

（1）巧记100以内的质数：

2,3,5,7,又11；13和17；19,23,29；31和37；41，43，47；53,59,61；67和71；73.79.83；89.和97。

（2）“2”是最小的质数，也是唯一的偶质数；“3”是最小的奇质数。

（3）“1”这个数既不是质数也不是合数。

巧指导——例题精讲

A级基础点睛

【例1】两个质数的和是39，求这两个质数的积是多少？

分析与解两个数的和39，说明这两个数必定是一奇一偶。

又知两个数都是质数，质数中只有2是偶数，因此，另一个数一定第37。

因2+37+39，而2×37=74，所以这两个质数的积是74。

做一做1两个质数的和是99，求这两个质数的积是多少？

【例2】九个连续的自然数，它们都大于100，那么其中质数最多有多少个？

分析与解我们用不同的条件做筛子，逐步加强条件的限制，使其结果明显变化。

由于大于2的质数一定是奇数，而大于100的九个连续自然数至多只有5个是奇数，所以，质数的个数不大于5个。

我们知道：

在3个连续的奇数中至少有一个数是3的倍数，所以这5个连续奇数中至少有一个是合数。

因此，质数最多只有4个。

例如，在101至109的9个数中，质数有101，103,107,109。

答：

质数最多有4个。

做一做2在20个连续自然数中最多有几个质数？

最少有几个质数？

【例3】用0,1,2,4中的3个数能组成哪些三位质数？

分析与解用,1,2,4中的三个数组成的三位数中，个位上是0,2,4的不可能是质数，只有个位上是1的数才可能是质数。

个位上是1的三位数有：

201,241,401,421。

这四个数中，只有241,401,421,是质数。

这三个数即为所求。

做一做3用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数组成一些质数，如果每个数字都要用到并且只用到1次，那么，这9个数字最多能组成多少个质数？

B级更上层楼

【例4】一个长方体的上面和正面的面积之和是77平方厘米，它的长、宽、高都是整数厘米，且为质数。

问：

这个长方体的体积是多少？

分析与解设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则由题意有

a×b+a×c=77,即a×（b+c）=7×11

因为a,b,c都是质数，只有将7×11分成（2+5）×11，即有a×（b+c）=11×（5+2）或11×（2+5）

所以只有a=11,b=5,c=2或a=11,b=2,c=5。

故此长方体的体积是

11×5×2=110（厘米3）

答：

这个长方体的体积是110立方厘米。

做一做4求质数a,b,c，使得abc÷（a+b+C）=5。

【例5】把33拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，

分析与解首先假设可以分成五个质数之和（分成6个或6个以上质数之和不可能）。

33是奇数，因此五个质数中不能有2（否则和是偶数）。

取最小五个连续奇质数3,5,7,11,13，它们的和是39，超过33，所以，分成五个是不可能的。

假设33可以分成四个质数之和。

33是奇数，因此四个数中一定有一个偶数2，即其余三个的和是31。

显然可以找出其余三个分别是：

3,5,23；3,11,17；7,11,13；5,7,19。

在这些数中乘积最大的是7×11×13=1001。

假设33可以分成三个质数之和，只可能是3,1,17；3,11,19；3,7,23；5,11,17。

乘积均小于2×7×11×13。

33若分成两个质数之和，只可能是2和31，乘积仅为62。

故将33写成四个质数2,7,11和13的和时，它们的积最大。

做一做5把41拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？

将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的积中那个最小？

【例6】试找出10个连续自然数，且它们都是合数。

解设a=27720，它是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11的倍数，于是a+2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7，a+8，a+9，a+10,a+11都是合数，即为所求。

本题方法很多，请你想一些其他解法。

做一做6把1至8这8个自然数填入右图大圆上的小圆圈内，使任意相邻两圆圈内数的和都是质数（绕大圆圆心旋转而变成相同的填法算一种填法）。

C级勇夺冠军

【例7】27名小运动员所穿运动服的号码恰是1,2,3，…26,27这27个自然数，问这些小运动员能否站成一个圆圈，使任意两个相邻运动员号码之和都是质数？

说明理由。

分析这类问题，如果答“有”，就必须给出一个站法来；而如果答“没有”，就必须讲明理由。

本题还是要抓住的性质来研究。

解法1因为质数除了2以外都是奇数，但此27个数中任意两个的和都不可能等于2，所以如果能站站成一个圆圈的话，所得27个数均应为奇质数。

解法2同上理由，27个质数均为奇数，故它们的和也为奇数。

但此27个质数都是由1至27中某个数相加而得，于是1至27这27个数在和中出现了两次，即和应是（1+2+3+…+27）×2，为偶数。

由于奇数不能等于偶数，故他们不能站成一圈。

小结本题可以推广到一般情况，即不可能把自然数1，2，3，…，2n-1（n为整数）排成一圈，使任何相邻两数之和都是质数。

不过这27个算数数却可以排成一排，使任意其邻两数之和为质数。

例如，可作排列如下：

3，26，5，24，7，22，9，20，11，18，13，16，15，14，17，12，19，10，21，8，23，6，25，4，27，2，1

奇数从“3”开始顺写至“27”，最后接写“1”，在每两个奇数间把偶数从“2”到“26”倒写一遍即可。

此时，任意两个相邻数字之和或为29，或为31，还有一个3，均为质数。

做一做7有8个棱长是1的小正方体，每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的面上都写着数字1，第二组相对的面上都写着数字2，第三组相对的面上都写着数字3（如图）。

现在把这个8个小正方体拼成一个棱长是2的大正方体。

问：

是否有一种拼合方式，使得大正方体每一个面上的4个数字之和恰好组成6个连锁的自然数？

巧练习——温故知新（十六）

A级冲刺名校·基础点睛

1.三个质数的和是80，则这三个质数的积最大是多少？

2.四连续自然数的积是1680，则这四个自然数中，最小的是几？

3.如果a是自然数，（a×a-4）÷7是质数，那么a的最小两个数是多少？

4.下面有3张卡片：

3,2,1，从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排起来，得到不同的一位数、两位数、三位数。

请把所得数中的质数写出来。

5.请给出5个质数，把它们按从小到大的顺序排列起来，使每相邻两数的差都是6。

B级培优竞赛·更上层楼

6.小芳参加五年级数字竞赛，她对同学说：

“我的分数、名次和我的年龄的连乘积正好是2328。

”请你推算一下，她的成绩、名次和年龄各是多少？

7.自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，则这两个连续奇数的和是多少？

8.船夫用几只船分三次把90名同学渡过河去。

已知每只船载的人数相等，并且至少载2人，问：

每次应有多少只船渡河？

每只船载多少人？

9.把232323的全部质因数的和表求为AB，那么A×B×AB积是多少？

10.在100以内与77互质的所有奇数之和是多少？

C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军

11.如下图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈。

如果在这些圆圈内分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上填的数的和相等，问：

六个质数的积是多少？

12.把10至40之间的质数分别填入下图八个圆中，使图中用箭头连接的四个数的和都相等。

13.用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大一500，那么共有种不同的组成6个质数的方法。

请将所有的方法都列出来。

14.小于10且分母为36的最简分数共有多少个？

巧总结

本节我的收获是：

不足之处有：

智慧泉

完美长方形

1923年，Lwow大字S.Ruziewicz教授提出这样一个问题：

一个长方形能否被分割成一些大小不等的正方形？

此问题引起了学生们的极大兴趣，都在努力探求答案，但很长时间过去了，他们都未能给出肯定（找出来）或否定（证明它不可能）的回答。

1925年，问题终于有了突破性的进展：

Z.Moron的到了一种把长方形分割成大小不同的正方形的方法，且给出了两个长方表的分割作为例子。

这种长方形被人称为完美长方形，至此，人们开始知道完美长方形的存在，并逐步深入探讨该问题。

1983年，剑桥大学三一学院的四位大学生的R.L.Brooks，C.A.B.Smith，A.H.Stone和W.T.Tutte（他们后来都在了“图论”或“组合数学”的专家），他们提出的构造完美长方形的方法奠定了问题研究的理论基础，他们把它和电路网络理论联系起来，并且借助于图论的方法，从而加速问题的解决进程。

1940年，Brooks等人给出了9~11阶（长方形被正方形剖分的个数）完美长方形的明细表，且证明了：

完美长方形的最低阶数是9。

9阶完美长方形公有两种（如图1和图2）

1960年，Bouwkamp等人借助电子计算机给出了全部9~15阶完美长方形。

完美长方形的存在，引发人们去寻找完美正方形。

这个问题最早由Moron提出（提说Ruziewicz也曾考虑过这个问题，只是稍晚于Moron），其复杂程度和困难可想而知，有兴趣的同学可以查阅相关文献。