人教版八年级上册轴对称全章.docx
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人教版八年级上册轴对称全章
人教版第12章轴对称
考点一：
关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识
【知识要点】
轴对称图形：
如果_____个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够________，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做____________。
轴对称：
对于____个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成________，这条直线就是对称轴。
两个图形中的对应点叫做__________
【例题解析】
1、在26个大写英文字母中，是轴对称图形的有。
2、在三角形、等腰三角形、梯形、直角梯形、等腰梯形、平行四边形中，是轴对称图形的有。
其中的对称轴最多，有条。
3、下列几何图形中，
线段
角
直角三角形
半圆，其中一定是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、．图9-19中，轴对称图形的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
5、正三角形有条对称轴，正四边形有条对称轴，正n边形有___条对称轴。
考点二：
垂直平分线的性质定理及判定定理
【知识要点】
（一）性质定理：
线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
几何语言：
【例题分析】
1．（2012•黄冈）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为 _________ ．
2．如图所示，∠BAC=105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．求∠PAQ的度数．
3．（2012•常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：
AE=AF．
4．（2010•娄底）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
求证：
（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD．
（二）判定定理：
【知识要点】
到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
几何语言：
引申——垂直平分线的判定要满足的条件：
1、直线过线段的中点
2、直线垂直于已知线段
【例题分析】
1．如图，△ABC中，AB=AC，PB=PC，连AP并延长交BC于D，求证：
AD垂直平分BC
2．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：
AD垂直平分EF．
考点三：
作轴对称图形
（一）作轴对称图形
【例题分析】
1．（2012•凉山州）如图，梯形ABCD是直角梯形．
（1）直接写出点A、B、C、D的坐标；
（2）画出直角梯形ABCD关于y轴的对称图形，使它与梯形ABCD构成一个等腰梯形．
（3）将
（2）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形．（不要求写作法）
（二）利用轴对称求最短距离
【例题分析】
1．（2011•济宁）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）．两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）．
（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？
（2）水泵站建在距离大桥多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
考点四：
关于坐标轴对称
【知识要点】
点P（x，y）关于x轴对称的点
坐标为
点P（x，y）关于y轴对称的点
坐标为
引申：
关于坐标轴夹角平分线对称
点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）
点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y=-x对称的点的坐标是（-y，-x）
【例题分析】
1．知点A（a，﹣3）与B（
，b）关于x轴对称，则a+b= _________ ．
2．P（2，﹣3）关于直线y=1的对称点的坐标是 _________ ．
3．知M（5，2）与关于直线y=x对称，则N点的坐标为 _________ ．
【配套练习】
一．选择题
1．（2012•丽水）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（ ）
A．
①
B．
②
C．
⑤
D．
⑥
第1题第2题第7题
2．（2006•巴中）如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出，该球最后落入1号袋，经过反射的次数是（ ）
A．
4次
B．
5次
C．
6次
D．
7次
3．（2012•沈阳）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．
（﹣1，﹣2）
B．
（1，﹣2）
C．
（2，﹣1）
D．
（﹣2，1）
4．（2012•深圳）已知点P（a﹣1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（ ）
A．
a＜﹣1
B．
1＜a＜
C．
﹣
＜a＜1
D．
a＞
5．（2007•怀化）已知点P（﹣2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a+b的值是（ ）
A．
1
B．
﹣1
C．
5
D．
﹣5
6．（2012•孝感）如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是（ ）
A．
（﹣3，2）
B．
（2，﹣3）
C．
（1，﹣2）
D．
（3，﹣1）
7．（2011•台湾）坐标平面上有一个轴对称图形，
、
两点在此图形上且互为对称点．若此图形上有一点C（﹣2，﹣9），则C的对称点坐标为何（ ）
A.（﹣2，1）B.
C.
D.（8，﹣9）
二．填空题
8．如图，在一个规格为6×12（即6×12个小正方形）的球台上，有两个小球A，B．若击打小球A，经过球台边的反弹后，恰好击中小球B，那么小球A击出时，应瞄准球台边上的点 _________ ．（P1至P4点）
第8题第9题
9．（2012•江西）如图，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确地画出它的一条对称轴（保留作图痕迹）． _________ ．
10．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格占为顶点的三角形，这样的三角形共有 _________ 个，请在下面所给的格纸中一一画出．（所给的六个格纸未必全用）．
11．（2007•钦州）动手折一折：
将一张正方形纸片按下列图示对折3次得到图④，在AC边上取点D，使AD=AB，沿虚线BD剪开，展开△ABD所在部分得到一个多边形，则这个多边形的一个内角的度数是 _________ 度．
12．小强拿了一张正方形的纸如图
（1），沿虚线对折一次得图
（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是 _________ ．
27．如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 _________ cm．
三．解答题（共3小题）
13．（2012•凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．
如图
（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图
（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′．
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．
（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出△PDE周长的最小值：
_________ ．
14．如图，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥．问：
（1）桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？
（注：
桥必须与街道垂直）．
（2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？
15．如图，某市区南北走向的解放路AB，龙潭路CD与东西走向的人民路交会于B，C两点，现想建造一加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等．请你用所学的知识确定P点的位置（用直尺、圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
16．附加题：
如图，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：
AB=AD；
（2）请你探究∠EAF，∠BAE，∠DAF之间有什么数量关系？
并证明你的结论．
17．（2011•株洲）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=5，求BC长．
18．（2008•广安）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F
（1）求证：
CF=AD；
（2）若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？
19．（2006•益阳）如图，平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD，CB=CD．
（1）九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE=ED，你同意王云同学的判断吗？
请充分说明理由；
（2）设对角线AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．
20．（2003•河南）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：
AB垂直平分DF．
考点五：
等腰三角形的性质
【知识要点】
1．有两条边相等
2．“等边对等角”
3．“三线合一”——等腰三角形底边上的中线、高、角平分线互相重合。
4．是轴对称图形（底边上的高或中线、角分线所在的直线是它的对称轴）
【例题分析】
1．（2009•内江）如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：
BD=CE．
2．（2007•宜宾）已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．
（1）求证：
AE=CF；
（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．
3．（2006•余姚市）如图，已知D、E是等腰△ABC底边BC上两点，且BD=CE．求证：
∠ADE=∠AED．
4．（2006•广东）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F．
求证：
EF=ED．
5．（2002•徐州）已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和15cm两部分，求这个等腰三角形的底边长和腰长．
考点六：
等腰三角形的判定
【知识要点】
1、证两边等
2、证两角等——等角对等边
【例题分析】
6．（2004•十堰）如图，已知△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和BC上的点，连接DE并延长与AC的延长线交于点F，若DE=EF，求证：
BD=CF．
7．（2002•娄底）如图所示：
点D、E在△ABC的AC边上，已知AD=CE，∠A=∠C，求证：
∠ABD=∠CBE．
8．（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：
如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S△ABP=
AB•PE，S△ACP=
AC•PF，S△ABC=
AB•CH．
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，
∴
AB•PE+
AC•PF=
AB•CH．
∵AB=AC，
∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：
若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= _________ ．点P到AB边的距离PE= _________ ．
9．（2008•内江）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．
10．（2006•南充）已知：
如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．
求证：
△ABC是等腰三角形．
11．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E、交AC于F．
（1）请写出图中的一个等腰三角形，并说明理由；
（2）若AB=8，AC=6，求△AEF的周长．
12．（2008•乌鲁木齐）在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，如图，并写下了四个等式：
①AB=DC，②BE=CE，③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，交BC于E，请判断CF与CE相等吗？
为什么？
14．（2006•莱芜）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．
15．（2002•河南）如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．
16．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．试回答：
（1）图中等腰三角形是 _________ ．猜想：
EF与BE、CF之间的关系是 _________ ．理由：
（2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是 _________ ．在第
（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？
EF与BE、CF关系又如何？
说明你的理由．
考点七：
等边三角形的性质
【知识要点】
1．三边相等
2．三角相等，每一个角都等于60°；
3．每条边上的中线、高、角平分线都互相重合；
4．是轴对称图形，有三条对称轴。
【例题分析】
1．（2012•凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ）
A．
180°
B．
220°
C．
240°
D．
300°
第1题第2题第3题
2．（2012•深圳）如图，已知：
∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．
6
B．
12
C．
32
D．
64
3．（2005•济宁）如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（ ）
A．
34cm
B．
32cm
C．
30cm
D．
28cm
4．（2009•丽水）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的等边三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为
的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的
）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn﹣Pn﹣1= _________ ．
5．（2010•衡阳）已知：
如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD．求证：
BD=DE．
6．（2008•日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．
（1）求证：
△ACD≌△BCE；
（2）求证：
△DPC≌△EQC；
（3）求证：
△PCQ为等边三角形。
变式一：
（2008•日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：
①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有 _________ ．（把你认为正确的序号都填上），并证明．
变式二：
如图1，已知线段AB，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．
（1）求证：
△APD≌△CPB；
（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动面变化？
请说明理由；
（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？
（只需直接写出你的猜想，不必证明）
考点八：
等边三角形的判定
【判定方法】
1、证三边等；
2、证三角等；
3、证有两个角是60°；
4、证有一个角是60°的等腰三角形。
【典型例题】
1．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（ ）
A．
等腰三角形
B．
等边三角形
C．
不等边三角形
D．
不能确定形状
1题2题
2．如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（ ）
A．
等边三角形
B．
腰和底边不相等的等腰三角形
C．
直角三角形
D．
不等边三角形
3．下列三角形：
①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．
①②③
B．
3、月球是距离地球最近的星球直径大约是地球的1/4，质量大约是地球的1/80，月球体积大约是地球的1/49，月球引力大约是地球的1/6。
①②④
16、在北部天空的小熊座上有著名的北极星，可以借助大熊座比较容易地找到北极星。
黑夜可以用北极星辨认方向。
C．
①③
D．
8、铁生锈的原因是什么？
人们怎样防止铁生锈？
①②③④
一、填空：
4．若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则这个三角形是（ ）
7、我们每个人应该怎样保护身边的环境？
A．
14、在显微镜下观察物体有一定的要求。
物体必须制成玻片标本，才能在显微镜下观察它的精细结构。
等腰三角形
B．
直角三角形
17、大熊座的明显标志就是我们熟悉的由七颗亮星组成的北斗七星，C．
等边三角形
13、1663年，英国科学家罗伯特.胡克用自制的复合显微镜观察一块软木薄片的结构，发现它们看上去像一间间长方形的小房间，就把它命名为细胞。
D．
答：
①尽可能地不使用一次性用品；②延长物品的使用寿命；③包装盒纸在垃圾中比例很大，购物时减少对它们的使用。
等腰直角三角形
5．下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
答：
无色无味，比空气重，不支持燃烧。
A．
有两个内角是60°的三角形
B．
有两边相等且是轴对称的三角形
C．
有一个角是60°且是轴对称的三角形
D．
三边都相等的三角形
6．在下列结论中：
（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ）
A．
4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个
7．已知：
如下图，△ABC是等边三角形，D为AC上任一点∠ABD=∠ACE，BD=CE，求证：
△ADE是等边三角形．
8．如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD=EC。
（1）说明△BCD与△CAE全等的理由；
（2）请判断△ADE的形状，并说明理由．
9．如图1，点B是线段AD上一点，△ABC和△BDE分别是等边三角形，连接AE和CD．
（1）求证：
AE=CD；
（2）如图2，点P、Q分别是AE、CD的中点，试判断△PBQ的形状，并证明．
考点九：
含有30°角的直角三角形的性质
【知识要点】
性质：
30°所对的直角边等于斜边的一半。
几何语言：
【典型例题】
1．（2007•天津）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD= ．
2．如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a，∠ABC=15°，CD是腰AB上的高，求CD的长．
3．（2004•呼和浩特）如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：
AD=
DC．
4．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，
求证：
BC=3AD．
5．已知：
直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段，求证：
其中一条是另一条的2倍．
6．如图，上午8时，一艘轮船向正北方向行驶，每小时航行15海里，
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