matlab中方程根的近似计算要点.docx
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matlab中方程根的近似计算要点
实验一方程根的近似计算
一、问题
求非线性方程的根
二、实验目的
1、学会使用matlab中内部函数roots、solve、fsolve、fzero求解方程，并用之解决实际问题。
4、熟悉Matlab的编程思路，尤其是函数式M文件的编写方法。
三、预备知识
方程求根是初等数学的重要内容之一，也是科学和工程中经常碰到的数值计算问题。
它的一般形式是求方程f（x）=0的根。
如果有x*使得f（x*）=0，则称x*为f（x）=0的根，或函数f（x）的零点。
并非所有的方程都能求出精确解或解析解。
理论上已经证明，用代数方法可以求出不超过3次的代数方程的解析解，但对于次数大于等于5的代数方程，没有代数求根方法，即它的根不能用方程系数的解析式表示。
至于超越方程，通常很难求出其解析解。
不存在解析解的方程就需要结合具体方程（函数）的性质，使用作图法或数值法求出近似解。
而计算机的发展和普及又为这些方法提供了广阔的发展前景，使之成为科学和工程中最实用的方法之一。
下面介绍几种常见的求近似根的方法。
1.求方程近似解的简单方法
1.1图形方法—放大法求根
图形的方法是分析方程根的性态最简洁的方法。
不过，不要总是想得到根的精确值。
这些值虽然粗糙但直观，多少个根，在何范围，一目了然。
并且还可以借助图形局部放大功能，将根定位得更加准确一些。
例1.1求方程x5+2x2+4=0的所有根及其大致分布范围。
解
（1）画出函数f（x）=x5+2x2+4的图形，确定方程的实数根的大致范围。
为此，在matlab命令窗中输入
clf
ezplotx-x,
gridon
holdon
ezplot（'x^5+2*x^2+4',[-2*pi,2*pi]）
1-1函数f（x）=x5+2x2+4的图形
clf
x=-2*pi:
0.1:
2*pi;
y1=zeros（size（x））;
y2=x.^5+2*x.^2+4;
plot（x,y1,x,y2）
gridon
axistight
title（'x^5+2x^2+4'）
xlabel（'x'）
从图1-1可见，它有一个实数根，大致分布在-2与2之间。
（2）将作图范围不断缩小，用放大法可得到精度越来越高的根的近似值。
在matlab命令窗中先后键入
subplot（2,2,1）
ezplotx-x,gridon,holdon,ezplot（'x^5+2*x^2+4',[-2,2]）
subplot（2,2,2）
ezplotx-x,gridon,holdon,ezplot（'x^5+2*x^2+4',[-2,-1]）
subplot（2,2,3）
ezplotx-x,gridon,holdon,ezplot（'x^5+2*x^2+4',[-1.6,-1.5]）
subplot（2,2,4）
ezplotx-x,gridon,holdon,ezplot（'x^5+2*x^2+4',[-1.55,-1.54]）
图1-2放大法求函数f（x）=x5+2x2+4的根
由图1-2可知，方程的根在-1.545与-1.54之间。
1.2数值方法
非线性方程f（x）=0求根的方法有区间法和迭代法两大类，二分法、弦位法是区间法，简单迭代法和牛顿迭代法及其变形是迭代法，这里只给出二分法、简单迭代法和牛顿迭代法的构造过程。
（1）根的隔离与二分法
根的隔离思想来源于连续函数的零点定理：
若函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f（a）f（b）<0，则方程f（x）=0在（a,b）内至少有一根x*。
二分法是最简单的求根方法，它是利用连续函数的零点定理，将含根区间逐次减半缩小，取区间的中点构造收敛点列{xn}来逼近根x*。
用该方法求f（x）=0的近似解可分两步做：
第一步，确定根的近似位置或大致范围，即确定一个区间[a,b],使所求根是位于这个区间内的唯一实根。
这个区间称为根的隔离区间，这可以通过函数作图达到：
先画出y=f（x）的图形，然后从图上定出它与x轴交点的大概位置。
第二步，以根的隔离区间[a,b]的端点作为根的初始近似值，用二分法逐步改进根的近似值的精确度，直至求得满足精确度的近似解。
具体步骤如下：
取[a,b]的中点x0=（a+b）/2，若f（x0）=0，则x0就是f（x）=0的根x*。
若f（a）f（x0）<0，则根x*必在区间（a,x0）内，取a1=a,b1=x0；否则根x*必在区间（x0,b）内，取a1=x0,b1=b。
这样，得到新区间[a1,b1]，其长度为[a,b]的一半。
如此继续下去，进行n等分后，得到一组不断缩小的区间序列[a,b],[a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn],…,和对应区间的中点数列xn=（an+bn）/2,n=0,1,2,…,其中每个区间都含有根x*，满足
[a,b]
[a1,b1]
[a2,b2]
…
[an,bn]
…
且每个区间的长度都是前一区间长度的一半。
由于[an,bn]的长度为（b-a）/2n,当n不断变大时，这些区间将收敛于一点x*，该点即为所求的根。
当做到第n步时，有
选择适当的步数n，就可达到满意的精度。
用二分法，理论上区间中点序列{xn}将收敛到根的真值，但收敛速度较慢，所以通常用二分法为其他方法提供初步的近似值。
（2）简单迭代法
迭代法的基本原理是构造一个迭代公式，反复用它得出一个逐次逼近方程根的数列，数列中每一项都是方程根的近似值，只是精度不同。
简单迭代法也成逐次迭代法，是非线性方程求根中各类迭代法的基础。
由于对方程作等价变换根不发生变换，将方程f（x）=0等价变换为
，构造迭代计算公式
。
取定初值x0，算出数列{xn}。
如果{xn}收敛于x*，则有
这说明，x*就是方程f（x）=0的根。
上面
称为不动点方程，
称为迭代函数，数列{xn}称为迭代数列。
（3）牛顿迭代法
如果f（x）在[a,b]上具有二阶导数，f（a）f（b）<0，且f'（x）与f''（x）在[a,b]上保持同号，这时可采用牛顿迭代法求方程f（x）=0在（a,b）内的惟一实根。
牛顿迭代法将非线性方程线性化处理为近似方程，然后用近似方程获得求根的迭代公式。
具体做法如下：
设xn是f（x）=0的一个近似根，把f（x）在xk处作泰勒展开，得
f（x）=f（xk）+f'（xk）（x-xk）+（f''（xk）/2!
）（x-xk）2+…
取前两项来近似代替f（x），则得近似线性方程
f（x）≈f（xk）+f'（xk）（x-xk）=0
如果f'（xk）≠0，令其解为xk+1，得
xk+1=xk-f（xk）/f'（xk）,k=1,2,..（1-1）
上式称为f（x）=0的根的牛顿迭代格式。
牛顿法具有明显的几何意义，方程
y=f（xk）+f'（xk）（x-xk）
是曲线在点（xk,f（xk））处的切线方程。
迭代方程（1.1）就是切线与x轴交点的横坐标，所以牛顿迭代法就是用切线与x轴交点的横坐标近似替代曲线与x轴交点的横坐标。
因此牛顿法也称切线法，是非线性方程求根方法中收敛最快的方法。
2.matlab中方程求解的基本命令
roots（p）：
求多项式方程的根，其中p是多项式系数按降幂排列所形成的向量。
solve（fun）：
求方程fun=0的符号解，如果不能求得精确的符号解，可以计算可变精度的数值解。
solve（fun,var）：
对指定变量var求代数方程fun=0的符号解。
fsolve（fun,x0）：
用最小二乘法求非线性方程fun=0在估计值x0附近的近似解。
fzero（fun,x0）：
求函数fun在x0附近的零点。
四、实验过程
1、编写二分法求根程序，求方程x3+1.1x2+0.9x-1.4=0实根的近似值，使误差不超过10-3。
解：
（1）求根的初始隔离区间
在matlab工作区输入命令：
ezplotx-x,gridon,holdon,ezplot（'x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4'）
图1-4
画出曲线图1-4。
由上图可知，根应在-2和2之间，进一步画出该部分的图形。
ezplotx-x,gridon,holdon,ezplot（'x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4',[-2,2]）
图1-5
由图1-5可见，根在0.5与1之间。
（2）编写程序如下：
f=input（'输入函数：
f（x）='）;
qujian=input（'输入区间='）;
err=input（'输入误差='）;
a=qujian
（1）;
b=qujian
（2）;
yc=1;
while（（b-a）>err）&（yc~=0）
c=（a+b）/2;
x=a;ya=eval（f）;
x=b;yb=eval（f）;
x=c;yc=eval（f）;
ifya*yc<0
b=c;
else
a=c;
end
x0=c
end
存为文件erfenfa.m
调用erfenfa得到如下结果：
>>erfenfa
输入函数：
f（x）='x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4'
输入区间=[0,1]
输入误差=0.001
x0=0.5000
x0=0.7500
x0=0.6250
x0=0.6875
x0=0.6563
x0=0.6719
x0=0.6641
x0=0.6680
x0=0.6699
x0=0.6709
由此得到，方程的根的近似值为0.6709.
2、编写牛顿迭代法求根程序，求1中方程x3+1.1x2+0.9x-1.4=0的实根的近似值，并计算迭代次数为6的近似根。
解：
由1可知，[0.5,1]是根所在的区间，在[0.5,1]上
f（x）=x3+1.1x2+0.9x-1.4
f'（x）=3*x2+2.2x+0.9,f''（x）=6x+2.2
f'（x）与f''（x）在[0.5,1]上保持同号，f
（1）>0与f''
（1）同号，所以取x0=1为迭代初始值。
用matlab语言编写一般的程序如下：
f=input（'输入函数：
f（x）='）;
n=input（'请输入迭代次数：
n='）;
x0=input（'请输入迭代初始值：
x0='）;
f1=diff（f）;
formatlong
fori=1:
n
x=x0;
fx0=eval（f）;
f1x0=eval（f1）;
x0=x0-fx0/f1x0;
fprintf（'x0=%12.10f\n',x0）
end
存为文件niudunfa.m，调用及运行结果如下：
>>niudunfa
输入函数：
f（x）='x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4'
请输入迭代次数：
n=6
请输入迭代初始值：
x0=1
x0=0.7377049180
x0=0.6741688117
x0=0.6706675756
x0=0.6706573108
x0=0.6706573107
x0=0.6706573107
由此得到，方程的根的近似值为0.6706573107。
3.用matlab中的内部函数求方程的根。
（1）用roots求方程x9+x8+1=0的根；
（2）用solve求上述方程的根；
（3）用fzero求方程x2+4sinx=25的实根；
（4）用fsolve求方程x=e-x在0附近的根；
解：
（1）在matlab命令窗口输入命令：
p=zeros（10,1）;
p（[1:
2,end],1）=1;
roots（p）
ans=
-1.213149723059643
-0.901727735578254+0.575312094072893i
-0.901727735578254-0.575312094072893i
-0.269351937596575+0.940578401023146i
-0.269351937596575-0.940578401023146i
0.416834006536573+0.841919773084660i
0.416834006536573-0.841919773084660i
0.860820528168075+0.334352258897906i
0.860820528168075-0.334352258897906i
（2）在matlab命令窗口输入命令：
solve（'x^9+x^8+1=0'）
ans=
RootOf（X1^9+X1^8+1,X1）
（3）首先作图确定根的大致范围：
clf,ezplotx-x,gridon,holdon,ezplot（'x^2+4*sin（x）-25'）
图1-6
由图1-6可确定两根在x1≈-4，x2≈5附近。
再具体求根。
x1=fzero（'x^2+4*sin（x）-25',-4）
x2=fzero（'x^2+4*sin（x）-25',5）
x1=
-4.586052690568049
x2=
5.318580248846235
（4）在matlab命令窗口输入命令：
x=fsolve（'x-exp（-x）',0）
Optimizationterminated:
first-orderoptimalityislessthanoptions.TolFun.
x=
0.567143165036970
五、实验练习
1、用二分法求方程x3-1.2x+6=0的实根的近似值，使误差不超过10-3，并用roots命令进行检验。
2、用牛顿迭代法求方程x3-1.1x2+2x-8=0的实根的近似值，使误差不超过0.001，并用solve命令进行检验。
3、用简单迭代法求方程x=e-x在0附近的根，并用fsolve命令进行检验。
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