D．f（a2013）>f（a2015）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn,2a7－a8＝5，则S11＝________.
14．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则＝______.
15．（2018届吉林联考）设Sn为数列{an}的前n项和，a1＝0，若an＋1＝[1＋（－1）n]an＋（－2）n（n∈N*），则S100＝______.
16．（2017·吉林调研）艾萨克·牛顿（1643年1月4日——1727年3月31日），英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f（x）零点时给出一个数列{xn}：
满足xn＋1＝xn－，我们把该数列称为牛顿数列．
如果函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0）有两个零点1,2，数列{xn}为牛顿数列，设an＝ln，已知a1＝2，xn>2，则{an}的通项公式an＝________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知{an}是等差数列，其中a10＝30，a20＝50.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝an－20，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．
18．（12分）（2018·西安模拟）数列{an}，{bn}的每一项都是正数，a1＝8，b1＝16，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列，n＝1,2,3，….
（1）求a2，b2的值；
（2）求数列{an}，{bn}的通项公式．
19.（12分）（2017·河南息县检测）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋an＝1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）设bn＝log（1－Sn＋1）（n∈N*），令Tn＝＋＋…＋，求Tn.
20．（12分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且＋＝＞0，S6＝.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝－log2an，cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.
21.（12分）设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f（x）＝（an－an＋1＋an＋2）x＋an＋1cosx－an＋2sinx满足f′＝0.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝2
，求数列{bn}的前n项和Sn.
22．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，在数列{bn}中，b1＝1，bn＋1＝2bn＋3，n∈N*.
（1）求证：
{bn＋3}是等比数列；
（2）若cn＝log2（bn＋3），求数列的前n项和Rn；
（3）求数列{anbn}的前n项和Tn.
答案精析
1．A [设成等差数列的三个正数为a－d，a，a＋d，
即有3a＝12，得a＝4，
根据题意可得4－d＋1,4＋4,4＋d＋11成等比数列，
即5－d,8,15＋d成等比数列，
即有（5－d）（15＋d）＝64，解得d＝1（d＝－11舍去），
即有4,8,16成等比数列，可得公比为2，
则数列{bn}的通项公式为bn＝b22n－2＝4×2n－2＝2n.
故选A.]
2．B [设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝－4，a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝2a1＋8d＝16，解得d＝3，
∴S10＝10a1＋d＝10×（－4）＋5×9×3＝95，故选B.]
3．D [由a1a2a3＝5得a＝5，由a7a8a9＝10得a＝10，又a＝a2a8，∴a＝aa＝50，∴a4a5a6＝a＝5，
故选D.]
4．C [设等差数列的公差为d（d≠0），因为a＋a＝a＋a，所以（a4－a6）（a4＋a6）＝（a7－a5）（a7＋a5），所以－2da5＝2da6，于是a5＋a6＝0，由等差数列的性质知a1＋a10＝a5＋a6＝0，所以S10＝＝0，故选C.]
5．C [因为等差数列中，|a6|＝|a11|，且d>0，所以a6<0，a11>0，a6＝－a11，a1＝－d，有Sn＝[（n－8）2－64]，
所以当n＝8时前n项和取最小值．故选C.]
6．D [由等差数列的性质可得a3＋a7＝2a5＝－6，解得a5＝－3，又a1＝－11，设公差为d,所以a5＝a1＋4d＝－11＋4d＝－3，解得d＝2，则an＝－11＋2（n－1）＝2n－13，所以Sn＝＝n2－12n＝（n－6）2－36，所以当n＝6时，Sn取最小值，故选D.]
7．A [设等差数列的公差为d，首项为a1，
所以a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d.
因为a1，a3，a4成等比数列，
所以（a1＋2d）2＝a1（a1＋3d），解得a1＝－4d.
所以＝＝2，故选A.]
8．D [∵a1＝1，Sn＝2an＋1，
∴Sn＝2（Sn＋1－Sn），化为Sn＋1＝Sn.
∴数列{Sn}是等比数列，首项为1，公比为，
则Sn＝n－1，故选D.]
9．B [由题设an＝1＋（n－1）d,81是该数列中的一项，即81＝1＋（n－1）d，所以n＝＋1，因为d，n∈N*，所以d是80的因数，故d不可能是3.]
10．D [由等差数列的前n项和及等差中项，
可得＝
＝＝
＝＝
＝＝7＋（n∈N*），
故n＝1,2,3,5,11时，为整数．
即正整数n的个数是5.]
11．C [设等比数列{an}的公比为q（q>0），由题设得q2＝q＋2，解得q＝2，q＝－1（舍去），由aman＝aqm＋n－2＝16a得m＋n－2＝4，所以m＋n＝6，＋＝（m＋n）
＝≥（5＋4）＝，
当且仅当＝，即m＝4，n＝2时“＝”成立．故选C.]
12．D [令x＝y＝0，得f（0）f（0）＝f（0），解得f（0）＝1或f（0）＝0，当f（0）＝0时，f（x）＝0与当x<0时，f（x）>1矛盾，
因此f（0）＝1，令y＝－x，得f（x）f（－x）＝f（0）＝1，
所以当x>0时，0设x1>x2，则f（x2－x1）>1，f（x1）f（x2－x1）＝f（x2），
所以f（x2）>f（x1），因此y＝f（x）为单调减函数，
从而由f（an＋1）f＝1＝f（0），
得an＋1＋＝0，所以an＋2＝－，an＋3＝an，
f（a2013）＝f（a2016），f（a2014）＝f（a2017），
f（a2016）＝f（a3）＝f（－2）>f＝f（a2）＝f（a2015），
f（a2013）＝f（a3）＝f（－2）>f＝f（a2）＝f（a2015），故选D.]
13．55
解析 2（a1＋6d）－（a1＋7d）＝a1＋5d＝a6＝5，
S11＝·11＝11a6＝55.
14．3
解析 设等差数列的公差为d（d≠0），则S1＝a1，S2＝2a1＋d，
S4＝4a1＋6d，因为S1，S2，S4成等比数列，
所以（2a1＋d）2＝a1（4a1＋6d），即d（d－2a1）＝0，
解得d＝2a1，则＝＝＝3.
15.
解析 当n为奇数时，an＋1＝（－2）n，
则a2＝（－2）1，a4＝（－2）3，…，a100＝（－2）99，
当n为偶数时，an＋1＝2an＋（－2）n＝2an＋2n，则a3＝2a2＋22＝0，a5＝2a4＋24＝0，…，a99＝2a98＋298＝0，又a1＝0，
∴S100＝a2＋a4＋…＋a100＝.
16．2n
解析 因为函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0）有两个零点1,2，所以f＝a＝a（x2－3x＋2），
f′（x）＝a（2x－3），则xn＋1＝xn－＝xn－＝，则xn＋1－2＝－2＝，
xn＋1－1＝－1＝，即＝2，
又因为an＝ln且a1＝2，所以an＋1＝2an，即数列为等比数列，且通项公式为an＝2n.
17．解
（1）由a10＝30，a20＝50，得
解得a1＝12，d＝2，所以an＝2n＋10.
（2）由bn＝an－20，得bn＝2n－10，
所以当n<5时，bn<0;当n＝5时，bn＝0；当n>5时，bn>0.
由此可知，数列{bn}的前4项或前5项的和最小．
易知T4＝T5＝－20，故数列{bn}的前n项和Tn的最小值为－20.
18．解
（1）由2b1＝a1＋a2，可得a2＝2b1－a1＝24.
由a＝b1b2，可得b2＝＝36.
（2）因为an，bn，an＋1成等差数列，所以2bn＝an＋an＋1.①
因为bn，an＋1，bn＋1成等比数列，所以a＝bnbn＋1，
因为数列{an}，{bn}的每一项都是正数，
所以an＋1＝.②
于是当n≥2时，an＝.③
将②③代入①式，可得2＝＋，
因此数列{}是首项为4，公差为2的等差数列，
所以＝＋（n－1）d＝2n＋2，于是bn＝4（n＋1）2.
则an＝＝＝4n（n＋1），n≥2.
当n＝1时，a1＝8，满足该式，
所以对一切正整数n，都有an＝4n（n＋1）．
19．解
（1）由Sn＋an＝1（n∈N*），得Sn＝1－an，
∴当n＝1时，S1＝1－a1，得a1＝，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－
＝an－1－an，＝，
∴{an}是等比数列，且公比为，首项a1＝，
∴an＝2×n.
（2）由
（1）及Sn＋an＝1得，1－Sn＋1＝an＋1＝n＋1，
∴bn＝log
（1－Sn＋1）＝n＋1，
∴＝＝－，
∴Tn＝－＋－＋…＋－
＝－＝.
20．解
（1）设数列{an}的公比为q，
∵a3＝a1q2，＞0，∴a1＞0，
∵＋＝，∴＋＝，
∴8q2＋6q－5＝0，∴q＝或－，
∵S6＝＝，∴a1＝1，q＝，
∴an＝a1qn－1＝.
（2）bn＝－log2an＝－log221－n＝n－1，cn＝anbn＝，
Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋＋…＋，
∴Tn＝＋＋＋…＋－
＝－
＝1－－＝1－，
∴Tn＝2－.
21．解
（1）由题设可得
f′（x）＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sinx－an＋2cosx.
对任意n∈N*，f′＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，
即an＋1－an＝an＋2－an＋1，
故{an}为等差数列．
由a1＝2，a2＋a4＝8，
解得数列{an}的公差d＝1，
所以an＝2＋1×（n－1）＝n＋1.
（2）由bn＝2＝2＝2n＋＋2知，
Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝2n＋2·＋
＝n2＋3n＋1－.
22．
（1）证明 因为＝＝2且b1＋3＝4，
所以{bn＋3}是首项为4，公比为2的等比数列．
（2）解 由
（1）知bn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，
所以bn＝2n＋1－3，
则cn＝log2（bn＋3）＝n＋1，＝－，
Rn＝－＋－＋…＋－＝－
＝.
（3）解 当n＝1时，a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，
当n＝1时，a1＝3也符合上式，
综上，an＝4n－1，n∈N*.
所以anbn＝（4n－1）·（2n＋1－3）
＝（4n－1）·2n＋1－3（4n－1），
设数列{（4n－1）·2n＋1}的前n项和为Qn，
则Qn＝3·22＋7·23＋11·24＋…＋（4n－5）·2n＋（4n－1）·2n＋1，
2Qn＝3·23＋7·24＋…＋（4n－5）·2n＋1＋（4n－1）·2n＋2，
所以－Qn＝12＋4（23＋24＋…＋2n＋1）－（4n－1）·2n＋2
＝12＋4·－（4n－1）·2n＋2
＝（5－4n）·2n＋2－20，
所以Qn＝（4n－5）·2n＋2＋20，
所以Tn＝Qn＋3n－12×
＝（4n－5）·2n＋2＋20－6n2－3n.
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