三角函数恒等变换教材分析.docx

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三角函数恒等变换教材分析

北师大版必修四“三角函恒等变换”教材分析

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角正弦、余弦和正切公式的以及运用这些公式进行简单的恒等变换。

三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。

通过本章的学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用。

由本章的章头语所介绍的,三角恒等变换既是解决生产实际问题的工具，又是学后继内容和高等数学的基础．三角恒等变换是实践中经常使用的工具．在力学、物理、电气工程、机械制造、图像处理，及其他科学研究和工程实践中经常会用到这些公式．三角函数恒等变形的教学内容是在三角函数的教学内容基础上的，进一步研究单角的三角函数之间以及单角的三角函数与复角的三角函数之间的关系．他包括同角三角函数的基本关系式、两角和与差的三角函数公式、倍角公式、半角公式等．经验证明通过这一部分知识等教学，对于培养学生等运算能力、推理能力和逻辑思维能力起较大作用．

知识结构

一、课程标准要求

①理解同角三角函数的基本关系式：

，

②掌握用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；

理解以两角差的余弦公式导出的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

④能运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用．

二、教学目标

三角恒等变换作为三角的一个重要内容，它是代数运算的一个重要组成部分，在数学和其他领域中具有重要的作用．

1）知识与技能

2）以上述课标为准进行学习

3）过程与方法

①通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑推理能力；

②通过公式的灵活运用，培养学生的数学思想方法．

4）情感、态度、价值观目标

①使学生体会“联想转化、数形结合、分类讨论”的数学思想；

②培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度．

三、教学安排

本章包含3节，教学时间约7课时，具体分配如下（仅供参考）：

3．1　同角三角函数的基本关系（约2课时）

3．2两角和与差的三角函数（约2课时）

3．3二倍角的正弦、余弦、正切（约2课时）

复习小结约1课时

四、教学重点和难点

1、教学重点

本章的重点分别为：

同角三角函数的关系式；两角和与差的正弦、余弦公式及其推导；以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；掌握三角函数模型应用基本解题思想和步骤:

．

2、教学难点

本章的难点为三角公式的灵活运用．

五、内容分析

三角恒等变换的学习以代数变换与同角三角函数式的变换的学习为基础，和其他数学变换一样，它包括变换的对象，变换的目标，以及变换的依据和方法等要素。

本章变换的对象要由只含一个角的三角函数式拓展为包含两个角的三角函数式，因此建立起一套包含两个角的三角函数式变换的公式就是本章的首要任务，也是3.1节的中心内容

※一.同角三角函数的基本关系

a）教学目标:

知识与技能:

能借助单位圆中的三角函数线,推出同一个角的正弦、余弦和正切之间的关系，理解两个基本关系式并能简单应用

过程与方法

培养学生数形结合的思想，方程的思想，转化的思想

情感与态度

通过公式的推导和应用，培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点.

b）本节的重点与难点

重点:

公式的推导和应用.

难点:

公式在解题中的灵活应用和对学生思维灵活性的培养.

c）本节流程

d）习题分析

例1.一题多变，让学生发散思维，进一步理解基本关系式。

以分层次的问题引导学生的思维层层深入，特别是变式２，渗透方程组的思想,使学生的思维得到升华。

例2.套用公式,加深角的正弦、余弦和正切之间的关系的理解.

例3.）熟悉变形公式的使用,证明的方法思想——化繁为简证明要有方向感——目标意识

※二、两角和与差的三角函数

2.1两角差的余弦函数

a）教学目标：

知识目标：

①通过让学生猜想、探索、发现并推导"两角差的余弦公式"；

②了解单角与复角的三角函数之间的内在联系；

③通过变式训练，加深对两角差的余弦公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质。

能力目标：

①运用两角差的余弦公式，会进行简单的求值、化简、证明；

②体会化归、数形结合等数学思想在数学当中的运用；

③提高学生分析问题、解决问题的能力。

b）本节的重点与难点

重点:

公式的推导和应用.

难点:

公式在解题中的灵活应用和对学生思维灵活性的培养

2.2两角和与差的正弦、余弦函数

c）教学目标：

1.知识与技能

能够推导两角差的余弦公式；能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.

2.过程与方法

通过创设情境：

通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习.

3.情感态度价值观

通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.

d）教学重、难点

重点:

公式的应用.

难点:

两角差的余弦公式的推导.

e）例题分析

例题1的设计初见给出学生一种解决问题的无厘头,在老师的引导下,更加加大学生的探索,对未知数据的分析和观察动手实践能力,在一定程度上是对所学的两角和与差的正余弦公式的理解和应用.

例题2的设计使得知识的理解与应用更深一步,在理解掌握了三角函数值与角度范围要求的前提下,判断出所给出正余弦在角度范围所对应的正余弦值,此处要求学生有对前知识的充分建构,有数学学习的思想严谨性和灵活性.

课后思考交流

cos

=cos

-cos

cos

=cos

+cos

以上两式在学习本节后是容易出现的问题,针对此现象,为加深学生对两角和差的余弦公式的理解,让他们就此问题做深入讨论,看在何时以上两个错误公式能够成立,何时是不成立的,由此深入理解,完全掌握本节内容

2.3两角和与差的正弦、余弦函数

Ⅰ、教学目标：

1、知识与技能

（1）能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式；

（2）能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；

（3）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；

（4）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.

2、过程与方法

借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；讲解例题，总结方法，巩固练习.

3、情感态度价值观

通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.

Ⅱ、教学重、难点

重点:

公式的应用.

难点:

公式的推导.

Ⅲ、学法与教学用具

学法：

（1）自主性学习+探究式学习法：

通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。

（2）反馈练习法：

以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。

教学用具:

电脑、投影机

Ⅳ、例题分析

例3要求学生熟练掌握公式，正切及恰当的使用两角和与差的正切公式，从第二个小题可以看出还要求学生注意两个角

，

是有一定的取值范围的，而并非所有的角都可以使用这个公式。

例4要求学生巧妙的运用公式，将会得到意想不到的效果。

如题中所给的1，巧妙的换成了tan45.同时要求学生具有逆向思维有这样一种形式的式子我们也可以求一个角的正切值。

例5则是在前两个例题的基础之上有了对这个公式有了更深一步的了解。

较前两个例题来说难度也加大了。

这里把

+π/4转化成了（

+

）-（

-π）

[学习小结]

1．必须在定义域范围内使用上述公式。

即：

tan，tan，tan（±）只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；

2．注意公式的结构，尤其是符号。

※三二倍角的三角函数

.1知识目标：

了解二倍角公式的推导过程并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

二倍角公式在两角和与差三角函数一章中占据着承上启下的地位：

既可以两角和公式为基础推出二倍角公式，又能在此基础上得出版角公式。

结合职教数学大纲，加强基础，突出应用，针对中职生源，定为了解推导过程而非理解、掌握，仅使学生能构建公式之间的联系。

2．能力目标：

正确运用公式进行简单三角函数式的化简、求值，提高学生分析问题、解决问题的能力。

根据理素质教育为基础，以能力为本位的指导思想，在本节课中精心配备一些例、习题，通过分析，引导帮助学生总结，提高分析、解决问题司机能力。

三角函数式有三类基本题：

化简、求值、证明，本节只涉及两类：

化简、求值。

3．德育目标：

通过公式的推导，了解二倍角公式间及它们与和角公式间内在联系，从而培养学生逻辑推理能力进行辩证唯物主义观点教育。

作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想，数学意识，因此本节课在教学中力图培养学生逻辑推理能力和用联系的观点看待事物。

二倍角公式是两角和公式的特殊形式，体现了由一般到特殊的化归思想；同时二倍角的“倍”是相对于“半”而言的，是相对的，在整个教学过程中自始至终要贯穿这一辩证思想。

（三）、本着新课程标准，在吃透教材的基础上，我确立了如下的教学重点，难点。

重点：

二倍角三角函数公式及公式的应用

难点：

二倍角公式的逆用

公式的正用符合学生认知规律，学生往往很容易学会，而逆用公式实际上是在原公式基础上的一种逆向思维，学生不太容易接受，故设计为难点。

这一节在适当的时候对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结。

例如，在旁白中有“倍是描述两个数量之间关系的，2 是 的二倍  是 的二倍，这里蕴含着换元的思想”等，都是为了加强思想方法而设置的。

例题分析

例2的旁边有这样一个注意：

通过开平方求三角函数值时，一定要根据角所在的象限，确定三角函数值的符号。

这样我们就能很方便的判断出正弦和正切的正负号了。

例3则是在具体的图形中运用公式，做此类题是要把图画出来更方便同学解题。

例5相当于半角公式，它是以例题的形式给出，这里强调根号前得符号由

/2所在象限相应的三角函数值得符号来确定，如果

/2所在象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号。

例6则是对半角公式的一个应用，这样有利于学生们更好的掌握半角公式。

新课标对三角函数的许多知识点提出了探究要求．因此在教学中，既要重视从特殊到一般的探索学习过程的教学，又要重视数学理性思维的培养．教学中不要直接命题、定理、公式进行证明，可通过学生的自主合作探究，揭示它们的规律，发现结论，然后再从理论上进行证明．从中发现和探索数学知识的思想方法．教学中应当引导学生以一般的数学（代数）变换思想为指导，加强对三角函数式特点的观察，在类比、特殊化、化归等思想方法上多作引导，同时要注意体会三角恒等变换的特殊性．