第二章 推 理 与 证 明 2.docx

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第二章推理与证明2

第二章推理与证明

合情推理（第一课时）

编写:

刘斌审核:

梅龙友

掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

●教学重点：

归纳推理及方法的总结。

●教学难点：

归纳推理的含义及其具体应用。

●教具准备：

与教材内容相关的资料。

●教学过程：

一.问题情境

（1）原理初探

引入：

“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！

”

提问：

大家认为可能吗？

他为何敢夸下如此海口？

理由何在？

探究：

他是怎么发现“杠杆原理”的？

从而引入两则小典故：

（图片展示-阿基米德的灵感）

：

一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？

B：

修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？

正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。

思考：

整个过程对你有什么启发？

启发：

在教师的引导下归纳出：

“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

归纳推理的发展过程

（2）皇冠明珠

追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠—“歌德巴赫猜想”。

链接:

思考：

其他偶数是否也有类似的规律？

讨论：

组织学生进行交流、探讨。

检验：

2和4可以吗？

为什么不行？

归纳：

通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。

3.数学建构

●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理（简称归纳）.

注:

归纳推理的特点;

简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

●归纳推理的一般步骤：

4.师生活动

例1前提：

蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.

结论：

所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

例2前提：

三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……

结论：

凸n 边形的内角和是（n—2）×1800。

例3

探究：

上述结论都成立吗？

强调：

归纳推理的结果不一定成立！

——“一切皆有可能！

”

5.提高巩固

探索：

先让学生独立进行思考。

活动：

“千里走单骑”　—　鼓励学生说出自己的解题思路。

活动：

“圆桌会议”　—　鼓励其他同学给予评价，对在哪里？

错在哪里？

还有没有更好的方法？

【设计意图】：

提供一个舞台,让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。

【一点心得】：

在“千里走单骑”和“圆桌会议”的探究活动中，教师一定要以“鼓励和表扬”为主，面带微笑，消除学生的恐惧感，提高学生的自信心．

能力培养（例2拓展）

思考：

怎么求

？

组织学生进行探究，寻找规律。

归纳：

由学生讨论，归纳技巧，得到技巧

和

。

技巧②:

有整数和分数时,往往将整数化为分数.

技巧③:

当分子分母都在变化时,往往统一分子（或分母）,再寻找另一部分的变化规律.

6.课堂小结

（1）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。

通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

（2）归纳推理的一般步骤：

通过观察个别情况发现某些相同的性质从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）

证明

7.课堂练习：

课本30页第1、2题

反思：

类比推理（第2课时）

编写：

张文端审核：

余毅

●教学目标：

通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问

题的发现中去。

类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。

●教学重点：

了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

●教学难点：

用类比进行推理，做出猜想。

●教具准备：

与教材内容相关的资料。

●教学过程：

一．问题情境

从一个传说说起：

春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.

他的思路是这样的：

茅草是齿形的；

茅草能割破手.

我需要一种能割断木头的工具；

它也可以是齿形的.

这个推理过程是归纳推理吗？

二．数学活动

我们再看几个类似的推理实例。

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：

猜想不等式的性质：

（1）a=ba+c=b+c;

（1）a＞ba+c＞b+c;

（2）a=bac=bc;

（2）a＞bac＞bc;

（3）a=ba2=b2;等等。

（3）a＞ba2＞b2;等等。

问：

这样猜想出的结论是否一定正确？

例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.

圆的定义：

平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.

球的定义：

到一个定点的距离等于定长的点的集合.

圆球

弦←→截面圆

直径←→大圆

周长←→表面积

面积←→体积

圆的性质

球的性质

圆心与弦（不是直径）的中点的连线垂直于弦

球心与截面圆（不是大圆）的圆点的连线垂直于截面圆

与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长

与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大

圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

经过切点且垂直于切面的直线必经过球心

☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

类比推理的一般步骤：

⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

⑶检验猜想。

即

例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:

试通过类比,写出在空间中的类似结论.

巩固提高

1．（2001年上海）已知两个圆①x2+y2=1:

与②x2+（y-3）2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-----------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．

直角三角形

 3个面两两垂直的四面体

∠C＝90°

3个边的长度a，b，c

2条直角边a，b和1条斜边c

 ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°

4个面的面积S1，S2，S3和S

3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S

3．（2004，北京）定义“等和数列”：

在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列

是等和数列，且

，公和为5，那么

的值为______________，这个数列的前n项和

的计算公式为________________

课堂小结

1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。

类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

2．类比推理的一般步骤：

①找出两类事物之间的相似性或者一致性。

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）

课堂练习:

课本30页第3、4题

反思：

演绎推理（第3课时）

编写：

张文端审核：

余毅

教学目标：

1.了解演绎推理的含义。

2.能正确地运用演绎推理进行简单的推理。

3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学重点：

正确地运用演绎推理进行简单的推理

教学难点：

了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学过程：

一．复习:

合情推理

归纳推理从特殊到一般

类比推理从特殊到特殊

从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。

类比――提出猜想

二．问题情境。

观察与思考

1所有的金属都能导电

铜是金属,

所以，铜能够导电

2.一切奇数都不能被2整除,

（2100+1）是奇数，

所以，（2100+1）不能被2整除.

3.三角函数都是周期函数,

tan

是三角函数,

所以，tan

是周期函数。

提出问题：

像这样的推理是合情推理吗？

．学生活动：

1.所有的金属都能导电←————大前提

铜是金属,←-----小前提

所以，铜能够导电←――结论

2.一切奇数都不能被2整除←————大前提

（2100+1）是奇数，←――小前提

所以，（2100+1）不能被2整除.←―――结论

3.三角函数都是周期函数,←——大前提

tan

是三角函数,←――小前提

所以，tan

是周期函数。

←――结论

三，建构数学

演绎推理的定义：

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．

１．演绎推理是由一般到特殊的推理；

２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括　

　⑴大前提---已知的一般原理；　　　　　　　　

⑵小前提---所研究的特殊情况；　　　　　　　

1论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．

三段论的基本格式

M—P（M是P）（大前提）

S—M（S是M）（小前提）

S—P（S是P）（结论）

3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:

若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.

四，数学运用

解：

二次函数的图象是一条抛物线（大前提）

例2.已知lg2=m,计算lg0.8

解

（1）lgan=nlga（a>0）---------大前提

lg8=lg23————小前提

lg8=3lg2————结论

lg（a/b）=lga-lgb（a>0,b>0）——大前提

lg0.8=lg（8/10）——－小前提lg0.8=lg（8/10）——结论

例3.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,

D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等

解：

（1）因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提

在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提

所以△ABD是直角三角形——结论

（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提

因为DM是直角三角形斜边上的中线,——小前提

所以DM=

AB——结论

同理EM=AB

所以DM=EM.

练习：

第35页练习第1，2，3，4，题

五回顾小结：

演绎推理具有如下特点:

课本第33页。

演绎推理错误的主要原因是

1．大前提不成立；2,小前提不符合大前提的条件。

课堂练习：

第35页练习第5题。

作业：

习题2。

1第4题。

反思：

推理案例赏识（第4课时）

编写：

张文端审核：

余毅

教学目标：

1.了解合情推理和演绎推理的含义。

2.能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理。

3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学重点：

了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别

教学难点：

了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的。

教学过程：

一复习合情推理和演绎推理的过程

二案例：

例一正整数平方和公式的推导。

提出问题

我们知道，前n个正整数的和为

（n）=1+2+3+…….+n=

n（n+i）

①

那么，前n个正整数的平方和

（n）＝

＝？

②

三，数学活动

思路1（归纳的方案）参照课本第36页－37页三表猜想

（n）＝

思考：

上面的数学活动是由哪些环节构成的？

在这个过程中提出了哪些猜想？

提出猜想时使用了哪些推理方法？

合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？

思路2（演绎的方案）

尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和。

2把正整数的平方和表示出来，参照课本棣37页

左右两边分别相加，等号两边的

（n）被消去了，所以无法从中求出

（n）的值，尝试失败了。

（2）从失败中吸取有用信息，进行新的尝试

（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式。

左右两边相加，

终于导出了公式。

思考：

上面的数学活动是由哪些环节构成的？

在这个过程中提出了哪些猜想？

提出猜想时使用了哪些推理方法？

合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用。

四，数学理论：

上面的案例说明：

（1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。

（2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用。

（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。

五，巩固练习：

阅读课本第39页

棱台体积公式的探求

通过阅读或查资料，寻找合情推理和演绎推理在数学推理在数学活动中的作用的案例，并回答问题：

1。

案例中的数学活动是由哪些环节构成的？

2。

在上这个过程中提出了哪些猜想？

3，提出猜想时使用了哪些推理方法？

4，合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？

六，教学小结：

（1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。

（2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用。

（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。

七，作业：

35页B组1、2、3

八，反思：