2.已知复数z＝，其中i是虚数单位，则|z|＝________．
3.已知双曲线C的方程为－y2＝1，则其离心率为________．
4.根据如图所示的伪代码，最后输出i的值为________．
T←1
i←2
WhileT<6
T←2T
i←i＋2
EndWhile
Printi
（第4题）
5.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生人数为15，则抽取的样本容量为________．
6.口装中有形状、大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4.若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________．
7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若a6＝2a2，则＝________．
8.若函数f（x）＝cos（ωx－）（ω>0）的图象关于直线x＝对称，则ω的最小值为________．
9.已知正实数a，b满足a＋b＝1，则－的最小值为________．
10.已知偶函数f（x）的定义域为R，且在[0，＋∞）上为增函数，则不等式f（3x）>f（x2＋2）的解集为____________．
11.过直线l：
y＝x－2上任意一点P作圆C：
x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最小时，△PAB的面积为________．
12.已知点P在曲线C：
y＝x2上，曲线C在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点．若OP⊥OQ，则点P的纵坐标为________．
13.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，以AB为直径在△ABC外作半圆O，P为半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上．若·＝，则·的最小值为________．
14.已知e为自然对数的底数，函数f（x）＝ex－ax2的图象恒在直线y＝ax上方，则实数a的取值范围是________．
二、解答题：
本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）
如图，在三棱锥PABC中，过点P作PD⊥AB，垂足为D，点E，F分别是PD，PC的中点，且平面PAB⊥平面PCD.求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）CE⊥AB.
16.（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
（1）求角A的大小；
（2）若cos（B＋）＝，求cosC的值．
17.（本小题满分14分）
某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．
（1）若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；
（2）当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？
18.（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1（－2，0），A2（2，0），右准线方程为x＝4.过点A1的直线交椭圆C于x轴上方的点P，交椭圆C的右准线于点D.直线A2D与椭圆C的另一交点为G，直线OG与直线A1D交于点H.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若HG⊥A1D，试求直线A1D的方程；
（3）如果＝λ，试求λ的取值范围．
19.（本小题满分16分）
已知函数f（x）＝x2＋（2－a）x－alnx，其中a∈R.
（1）如果曲线y＝f（x）在x＝1处的切线斜率为1，求实数a的值；
（2）若函数f（x）的极小值不超过，求实数a的最小值；
（3）对任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[4，8]，使得f（x1）＝f（x2）成立，求实数a的取值范围．
20.（本小题满分16分）
已知数列{an}是各项都不为0的无穷数列，对任意的n≥3，n∈N，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝λ（n－1）a1an恒成立．
（1）如果，，成等差数列，求实数λ的值；
（2）已知λ＝1.
①求证：
数列{}是等差数列；
②已知数列{an}中，a1≠a2.数列{bn}是公比为q的等比数列，满足b1＝，b2＝，b3＝（i∈N）．求证：
q是整数，且数列{bn}中的任意一项都是数列{}中的项．
2019届高三模拟考试试卷
数学附加题
（满分40分，考试时间30分钟）
21.【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A.（选修42：
矩阵与变换）
已知矩阵A＝，其逆矩阵A－1＝，求A2.
B.（选修44：
坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l上两点M，N的极坐标分別为（2，0），（2，），求直线l被曲线C截得的弦长．
C.（选修45：
不等式选讲）
已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝2，求证：
＋＋≥1.
【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：
y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点．
（1）求线段AF的中点M的轨迹方程；
（2）已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程．
23.已知数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝a－an＋1对任意n∈N恒成立．求证：
（1）an＋1＝anan－1an－2…a2a1＋1（n∈N）；
（2）an＋1>nn＋1（n∈N）．
参考答案及评分标准
1.（0，1） 2.1 3. 4.8 5.55 6. 7. 8. 9.11 10.（－2，－1）∪（1，2） 11.
12.1 13.－ 14.（－2e－1，0]
15.证明：
在三棱锥PABC中：
（1）因为点E，F分别是PD，PC的中点，所以EF为△PCD的中位线，（2分）
则有EF∥CD.（3分）
又EF
平面ABC，CD
平面ABC，所以EF∥平面ABC.（7分）
（2）因为平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面PCD＝PD，AB⊥PD，AB
平面PAB，
所以AB⊥平面PCD.（11分）
又CE
平面PCD，所以AB⊥CE.（14分）
16.解：
（1）由正弦定理＝＝，且＝，（1分）
得＝，（2分）
则有sinA＝2－cosA，即sinA＋cosA＝2，2sin（A＋）＝2，
故sin（A＋）＝1.（4分）
因为A∈（0，π），则A＋∈（，），所以A＋＝，即A＝.（6分）
（2）在△ABC中，因为A＝，则B∈（0，），B＋∈（，），所以sin（B＋）>0.
因为cos（B＋）＝，所以sin（B＋）＝＝.（8分）
在△ABC中，A＋B＋C＝π，（9分）
所以cosC＝cos（π－A－B）＝－cos（A＋B）＝－cos（B＋）（10分）
＝－cos[（B＋）＋]＝－cos（B＋）cos＋sin（B＋）sin
＝－×＋×＝.（14分）
17.解：
设圆锥形容器的底面半径为r米，高为h米，母线为l米，侧面积为S平方米，容积为V立方米，则V＝36π.
（1）由r＝6，得V＝πr2h＝36π，得h＝3，（1分）
所以S＝πrl＝πr＝6π＝18π.（2分）
又底面积为πr2＝36π（平方米），（3分）
故该容器的表面积为（18π＋36π）＝18（2＋）π（平方米）．（4分）
答：
该容器的表面积为18（2＋）π平方米．（5分）
（2）因为V＝πr2h＝36π，得r2＝＝，其中h>0，
所以S＝πrl＝πr＝π＝π＝π＝π.（8分）
记f（h）＝＋h，令f′（h）＝－＋1＝＝0，得h＝6.（10分）
当h∈（0，6）时，f′（h）<0，f（h）在（0，6）上单调递减；
当h∈（6，＋∞）时，f′（h）>0，f（h）在（6，＋∞）上单调递增．（12分）
所以，当h＝6时，f（h）最小，此时S最小．（13分）
答：
当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省．（14分）
18.解：
（1）由椭圆C的左、右顶点分别为A1（－2，0），A2（2，0），右准线方程为x＝4，得
a＝2，＝4，故c＝1，b2＝a2－c2＝3.（2分）
所以椭圆C的方程为＋＝1 ①.（3分）
（2）设直线A1D：
y＝k（x＋2）（k>0） ②，则与右准线x＝4的交点D（4，6k）．
又A2（2，0），所以设直线A2D：
y＝3k（x－2），联立①，得
解得G（，），（5分）
则直线OG的斜率为kOG＝ ③.
因为OG⊥A1D，故·k＝－1.又k>0，解得k＝，（7分）
则直线A1D的方程为y＝（x＋2）．（8分）
（3）由
（2）中③可设直线OG：
y＝x，联立②，得
解得H（，）．（10分）
联立①②，得解得P（，）．（12分）
因为＝λ，所以（xH＋2，yH）＝λ（xP＋2，yP），则yH＝λyP，
λ＝＝f（k）＝＝＝＝.（14分）
因为f（k）在（0，＋∞）上为减函数，（15分）
所以λ∈（，）．（16分）
19.解：
因为f（x）＝x2＋（2－a）x－alnx，所以f′（x）＝.（1分）
（1）因为曲线y＝f（x）在x＝1处的切线斜率为1，
所以f′
（1）＝2（2－a）＝1，解得a＝.（2分）
（2）①当a≤0时，f′（x）>0在（0，＋∞）上恒成立，即f（x）在（0，＋∞）上单调递增，
故函数f（x）不存在极值．（3分）
②当a>0时，令f′（x）＝0，得x＝.
x
（0，）
（，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
f（x）
极小值
（5分）
则f（x）min＝f（）＝a－－aln≤.因为a>0，则－－ln≤0.
令g（a）＝－－ln＝＋ln2－－lna，则g′（a）＝－－<0，
则g（a）在（0，＋∞）上单调递减．（7分）
又g
（2）＝0，所以g（a）≤g
（2）＝0，则a≥2，则实数a的最小值为2.（8分）
（3）记f（x）在[1，2]上的值域为A，在[4，8]上的值域为B，
“任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[4，8]，使得f（x1）＝f（x2）成立”等价于“AB”．
①当≤1或≥8，即a≤2或a≥16时，由
（2）知f（x）在[1，8]上为单调函数，不合题意；（9分）
②当1<≤2，即2（2）知f（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，故f（）∈A，但f（）B，不合题意；（10分）
③当2<≤4，即4（2），f
（1）]，B＝[f（4），f（8）]，由AB，
得则解得（11分）
因为0因为e>2.7，计算得e3>24，则e>e3>24，即>ln24＝4ln2，即7>8ln2，
也即21>24ln2，则－8＝>0，即>8.
所以≤a≤8.（13分）
④当4<<8，即8（1），得
a≤<＝11<16，则8综上，≤a≤.（16分）
20.
（1）解：
因为n≥3且n∈N*时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝λ（n－1）a1an恒成立，
所以n＝3时，
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