数学压轴题.docx

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数学压轴题

（2007•河南）如图，对称轴为直线x=

的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？

若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：

二次函数综合题．

压轴题．

分析：

（1）已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A、B两点坐标代入求解即可．

（2）平行四边形的面积为三角形OEA面积的2倍，因此可根据E点的横坐标，用抛物线的解析式求出E点的纵坐标，那么E点纵坐标的绝对值即为△OAE的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE的面积与x的函数关系式进而可得出S与x的函数关系式．

①将S=24代入S，x的函数关系式中求出x的值，即可得出E点的坐标和OE，OA的长；如果平行四边形OEAF是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形OEAF是否为菱形．

②如果四边形OEAF是正方形，那么三角形OEA应该是等腰直角三角形，即E点的坐标为（3，-3）将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E点．

解答：

解：

（1）因为抛物线的对称轴是x=

，

设解析式为y=a（x-

）2+k．

把A，B两点坐标代入上式，得

，

解得a=

，k=-

．

故抛物线解析式为y=

（x-

）2-

，顶点为（

，-

）．

（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=

（x-

）2=

，

∴y＜0，

即-y＞0，-y表示点E到OA的距离．

∵OA是OEAF的对角线，

∴S=2S△OAE=2×

×OA•|y|=-6y=-4（x-

）2+25．

因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（6，0），

所以自变量x的取值范围是1＜x＜6．

①根据题意，当S=24时，即-4（x-

）2+25=24．

化简，得（x-

）2=

．

解得x1=3，x2=4．

故所求的点E有两个，

分别为E1（3，-4），E2（4，-4），

点E1（3，-4）满足OE=AE，

所以平行四边形OEAF是菱形；

点E2（4，-4）不满足OE=AE，

所以平行四边形OEAF不是菱形；

②当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，

此时点E的坐标只能是（3，-3），

而坐标为（3，-3）的点不在抛物线上，

故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．

点评：

本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的性质、菱形和正方形的判定等知识．综合性强，难度适中．

1、

（2009•河北），，、、，，′处，且′在外部，则阴影部图形周长

3

．

考点：

翻折变换（折叠问题）；轴对称的性质．

分析：

由题意得AE=AE′，AD=AD′，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．

解答：

解：

将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，

所以AD=A′D，AE=A′E．

则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，

=BC+BD+CE+AD+AE，

=BC+AB+AC，

=3cm．

点评：

折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．

1、

（2009•娄底），如图所示办公楼迎街墙面上垂挂一长为30米宣传条幅AE，张明同学站离办公楼地面C处测得条幅顶端A仰角为50°，测得条幅底端E仰角为30度．问张明同学是离该办公楼水平距离多远地方进行测量？

（精确到整数米）

（参考数据：

sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）

考点：

解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

专题：

计算题．

分析：

首先分析图形，根据题意过D点作DF⊥AB于F点构造直角三角形．利用其公共边构造方程求解．

解答：

解：

作DF⊥AB于F点．

在Rt△DEF中，设EF=x，则DF=$\sqrt{3}$x．

在Rt△ADF中，tan50°=$\frac{30+x}{{\sqrt{3}x}}$≈1.20，

∴30+x=$\sqrt{3}$x×1.20，

x≈27.8，

∴DF=$\sqrt{3}$x≈48．

答：

张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的．

点评：

本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．

5、

（2009•株洲）1，，°，

，，、、，且使得四边形是矩形．设的长为x，矩形的面积为y，已知y是x的函数，其图象是过（12，6）的抛物线的一部分（2所示）．

（1）求的长；

（2）当为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值．

为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：

张明：

图2的抛物线过（12，6）图1表示什么呢？

李明：

因为抛物线的（x，y）是表示图1的长与矩形面积的对应关系，那么，（12，6）表示当12时，的长与矩形面积的对应关系．

赵明：

对，我知道纵坐标6是什么意思了！

孔明：

哦，这样就可以算出，这个问题就可以解决了．请根据述对话，帮他们解答这个问题．

考点：

二次函数综合题．

专题：

阅读型．

分析：

（1）由于y是x的函数且过（12，36）点，即AP=12时，矩形的面积为36，可求出PQ的长，进而在直角三角形BPQ中得出BP的值，根据AB=AP+BP即可求出AB的长．

（2）与

（1）类似，可先用AP表示出BP的长，然后在直角三角形BPQ中，表示出PQ的长；根据矩形的面积计算方法即可得出关于y，x的函数关系式．然后可根据得出的函数的性质求出矩形的最大面积以及此时对应的x的值．

解答：

解：

（1）当AP=12时，AP•PQ=36，

∴PQ=3，

又在Rt△BPQ中，tanB=

，

∴

∴PB=4．

∴AB=16．

（2）若AP=x，则PB=16-x，PQ=

（16-x），

∴y=

（16-x）x，

整理得y=-

（x-8）2+48．

∴当x=8时，y最大值=48．

点评：

本题结合三角形、矩形的相关知识考查了二次函数的应用，用数形结合的思路求得相应的函数关系式是解题的关键．

3、

20•包头，，，，

/由B向C运动，同时，QCA由C向A运动

①若Q运动与运动相等，经过后，B与CQ是否全等，请说明理由；

②若Q运动与运动不相等，当Q运动多少时，能够使B与CQ全等？

2若Q②运动从C出发，原来运动从B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间与Q第一次哪条边相遇？

考点：

全等三角形的判定；一元一次方程的应用；全等三角形的性质．

专题：

几何图形问题．

分析：

（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．

②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；

（2）根据题意结合图形分析发现：

由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等边三角形的两个边长．

解答：

解：

（1）①∵t=1秒，

∴BP=CQ=3×1=3厘米，

∵AB=10厘米，点D为AB的中点，

∴BD=5厘米．

又∵PC=BC-BP，BC=8厘米，

∴PC=8-3=5厘米，

∴PC=BD．

又∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴△BPD≌△CQP．

②∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，

又∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，则BP=PC=4，CQ=BD=5，

∴点P，点Q运动的时间

秒，

∴

厘米/秒；

（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，

由题意，得

x=3x+2×10，

解得

秒．

∴点P共运动了

×3=80厘米．

∵80=2×28+24，

∴点P、点Q在AB边上相遇，

∴经过

秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．

点评：

此题主要是运用了路程=速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．

1、

，，、、，，（　　）

A、$2-\sqrt{3}$

B、$2+\sqrt{3}$

C、$2+\sqrt{5}$

D、$\sqrt{5}-2$

考点：

一元二次方程的应用；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．

专题：

几何图形问题．

分析：

由于四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，所以首先根据已知条件可以证明△ABE≌△ADF，再根据全等三角形的性质得到BE=DF，设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1-x，那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出BE．

解答：

解：

∵四边形正方形ABCD，

∴∠B=∠D=90°，AB=AD，

∵△AEF是等边三角形，

∴AE=EF=AF，

∴△ABE≌△ADF，

∴BE=DF，

设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1-x，

在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，

在Rt△ADF中，FE2=CF2+CE2，

∴AB2+BE2=CF2+CE2，

∴x2+1=2（1-x）2，

∴x2-4x+1=0，

∴x=2±$\sqrt{3}$，而x＜1，

∴x=2-$\sqrt{3}$，

即BE的长为=2-$\sqrt{3}$．

故选A．

点评：

此题主要考查了正方形、等边三角形的知识，把求线段长放在正方形的背景中，利用勾股定理列出一元二次方程解决问题．