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概率与数理统计公式大全

第1章随机事件及其概率

第二章随机变量及其分布

（1）离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量X的可能取值为X<（k=1,2,…）且取各个值的概率，即事件（X=Xk）的概率为

P（X=Xk）=pk,k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。

有时也用分布列的形

式给出：

P（X=xk）p1,p2O,pkQ。

显然分布律应满足下列条件：

送pk=1

（1）Pk亡0,k=人2^,

（2）k4。

（2）连续型随机变量的分布密度

设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f（x）,对任意实数x,有

F（x）二窗（x）dx

则称X为连续型随机变量。

f（X）称为X的概率密度函数或密度函数，简称概

率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1°f（x）Ro。

2°||f（x）dx=1。

（3）离散与连续型随机变量的关系

P（X=x）Ep（x^X址辭眉f（x）dx

积分元f（x）dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P（Xxk）pk在离

散型随机变量理论中所起的作用相类似。

（4）分布

设X为随机变量，x是任意实数，则函数

函数

F（x）

=P（X冒x）

称为随机变量

X的分布函数，本质上是一个累积函数。

P（a

Rb）=F（b）—F（a）可以得到X落入区间（a,b］的概率。

分布

函数F（x）表示随机变量落入区间（-a,x］内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°

F（x）胃1,;

2°

F（x）是单调不减的函数，即xiRx2时，有F（xi）^F（X2）；

3°

F事=limF（x）=0,F®=limF（x）=1;

4°

F（x］o）=F（x），即F（x）是右连续的；

5°

P（X=x）=F（x）-F（x-0）。

对于离散型随机变量，F（x）曷pk；

Xkg^

对于连续型随机变量，F（x）=U（x）dx。

二

（5）八大分布

0-1分布

P（X=1）=p,P（X=0）=q

二项分布

在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。

事件A发生

的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,昌，n。

kknk

P（X=k）二Pn（k）=CnPq,其中

q=1-p,0,p（1,k=0,1,2,n,

则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。

记为

X~B（n,p）。

当n=1时，P（X=k）=pkqj,k=0.1，这就是（0-1）分

布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布

设随机变量X的分布律为

-k

p（x=k）亠0,k=O,l|0,k!

则称随机变量X服从参数为$的泊松分布，记为X电凰）或者P（凰）。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=入，nis）。

超几何分布

CM?

cNn3k=o,i，・，i

P（X=k）=Mn，

CNl=min（M,n）

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H（n,N,M）。

几何分布

P（X=k）=qkJLp,k=1,2,3，凰，其中p>0,q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G（p）。

均匀分布

设随机变量X的值只落在［a,b］内，其密度函数f（x）在［a,b］1

上为常数，即

b-a

其他，

则称随机变量X在［a,b］上服从均匀分布，记为X~U（a,b）。

分布函数为

0,x

x—a

F（x）=厦f（x）dx=

、1,x>b。

当awX1

x2一x1

P（x^X园x2）-21。

b—a

指数分布

X”0,

f（x）=q0

10,XfO,

其中卜0，则称随机变量X服从参数为凰的指数分布。

X的分布函数为

「一斟Jo

F（x）冷'

1u,x<0。

记住积分公式：

*xne」dx=n!

正态分布

设随机变量X的密度函数为

彳Z2

f（x）=—e衍，Xgg，

寸2ttct

其中冒、岂〉0为常数，则称随机变量X服从参数为冒、

的正态分布或咼斯（Gauss）分布，记为X~N（‘，°）。

f（X）具有如下性质：

1°f（x）的图形是关于对称的；

2°当X=A时，f雇）为最大值；

若x~w乂，则x2的分布函数为

F（X）=*^诂dt

参数’0、。

-1时的正态分布称为标准正态分布，记为

X~N（0，1）G其密度函数记为

■（X）十e2

寸2竈,x

分布函数为

1X上

①（x）-一Me2dt。

（x）是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

①（-x）=1-①（x）且①（0）=丄。

如果X~N^CT2），则N（0,1）。

P（X10x||x2）=①！

2-唱—①卜-。

（6）分位数

下分位表：

P（X^^）=国；上分位表：

P（X〉勵屉。

（7）函数分布

离散型

已知X的分布列为

X,X2，凰xn,园

P1,P,凰pn,

丫二g（X）的分布列（yi=g（xj互不相等）如下：

p（Y=yi）?

若有某些g（xf相等,^^则应将对应的?

pj相加作为g（xi）的概率。

连续型

先利用X的概率密度fx（x）写出Y的分布函数FY（y）=P（g（X）<

y），再利用变上下限积分的求导公式求出fY（y）。

第三章二维随机变量及其分布

（1）联合离散型分布

如果二维随机向量■（X,Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称R为离散型随机量。

设.=（X，Y）的所有可能取值为（x「yj）（i,j=12上），

且事件｛=（Xi，yj）｝的概率为pj,,称

P｛（X,Y）=（x「yj）｝二pj,j=1,2」）

为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。

联合分

布有时也用下面的概率分布表来表示：

\^Y

X^\

卩12

p1j

p21

P22

A-I

pi1

Pij

A-l

这里pj具有下面两个性质:

连续型

对于二维随机向量0=（X,Y），如果存在非负函数

f（x,y）^^S，使对任意一个其邻边

分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D-{（X,Y）|a

有

P{（X,Y）eD}=|f（x,y）dxdy,

则称R为连续型随机向量；并称f（x,y）为呂=（X，Y）的分布

密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f（x,y）具有下面两个性质：

（1）f（x,y）>O;

（2）金屢Hf（x,y）dxdy=1.

（2）二维

随机变量

普（X=x,Y=

y）屮（X=xIY=y）

的本质

（3）联合

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

分布函数

F（x,y）=P{X冒x,Y0y}

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函

数是一个以全平面为其定义域，以事件

{（昌凰）I團膚x,丫凰）Ey}的概率为函数值的一个实值函

数。

分布函数

F（x,y）具有以下的基本性质：

（1）O^F（x,y）』；

（2）F（x,y）

分别对x和y是非减的，即

当X2>X1时，有

F（X2,y）>F（X1,y）;当护屮时，有F（x,y2）>F（x,y1）;

（3）F（x,y）

分别对x和y是右连续的，即

F（x,y）=F（x”O,y）,F（x,y）=F（x,y』O）;

（4）F^9

S=fy）=f（xB9=o,f=1.

（5）对于x1

F（X2,y2）-

FMyj—F（X1,y2）.F（X1,yJ^O.

（4）离散

=y）圖P（x凰X凰x丹dx，圍yRdy）屠f（x，y）dxdy

型与连续

P（X=x,Y

型的关系

（5）边缘分布

离散型

X的边缘分布为

=P（X=Xi）*卩皿日瘪；

Y的边缘分布为

j=P（Y=yj）李Pj（i,j=1,2H）。

连续型

X的边缘分布密度为

fx（x）（X,y）dy;

Y的边缘分布密度为

fY（y）（x,y）dx.

（6）条件分布

离散型

在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为

Pij

P（Y=yj|X=xj=丄；

Pi?

在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为

Pij

P（X二人|丫二yj）=」，

连续型

在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

「1、f（x,y）

f（X1y）—「、；

fY（y）

在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

f（y|x）严

fx（X）

（7）独立性

一般型

F（X,Y）=Fx（x）FY（y）

离散型

Pj二Pi?

有零不独立

连续型

f（x,y）=fx（x）f丫（y）

直接判断，充要条件：

1可分离变量

2正概率密度区间为矩形

二维正态分布

f（xy）1「（區卜歯曲

f（x,y）:

7e,

p=o

随机变量的

函数

若Xi,X2,…XmXm+i,…X相互独立，h,g为连续函数，则：

h（Xi,X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。

特例：

若X与Y独立，则：

h（X）和g（Y）独立。

例如：

若X与Y独立，则：

3X+1和5Y-2独立。

（9）二维正态分布

设随机向量（X,Y的分布密度函数为

12喝|團丄

f（xy）_1。

比耐肓丿_—

其中P』＜TiaO,6》°，申怎1是5个参数，则称（X,Y服从二维正态分

布，

记为（X，Y）〜N（P凰時迂卜

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分

布，

即X〜N層,包2）,丫~N*2.）.

但是若X〜N（片E；）,Y~N（P2@；）,（X,Y）未必是二维正态分布。

（10）函数

分布

Z=X+Y

根据定义计算：

FZ（z）=P（zRz）=P（X卜歆）

对于连续型，fz（z）=凰f（x,z-x）dx

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（P刚HRct；）。

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

H=Hc||，宀Rci2—2

Z=max,min（

X1,X2,…Xn）

若X1,xQXn相互独立，其分布函数分别为Fx1（x），Fx2（x^|Fxn（x），则Z=max,min（X1,X2，…Xn）的分布函数为：

Fmax（X）=Fx1（X）?

Fx2（X）PFxn（x）

Fmin（X）=1-[1-Fx1（x）]?

[1-Fx2（X）]|j1-Fxn（x）]

2分布

设n个随机变量Xi,X2，上，Xn相互独立，且服从标准正态分

布，可以证明它们的平方和

我们称随机变量W服从自由度为n的2分布，记为Wf-2（n）,

其中

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

2分布满足可加性：

设

丫-2（nJ,

则

Z八Y~2（njn2上nk）•

i吕

t分布

设X,Y是两个相互独立的随机变量，且

X~N（0,1）,Y~2（n）,

可以证明函数

、Y/n

的概率密度为

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T〜t（n）

ti_：

.（n）--r.（n）

第四章随机变量的数字特征

（1）

离散型

连续型

一维

期望

设X是离散型随机变量，其分布1

设X是连续型随机变量，其概率密

随机

期望就是平均值

度为f（x）,

律为P（X=Xk）=pk,

变量

的数

k=1,2,…,n,

E（X）=0xf（x）dx

字特

征

E（X）暑XkPk

（要求绝对收敛）

k吕

（要求绝对收敛）

函数的期望

Y=g（X）

E（Y）=Wg（Xk）Pk

E（Y）=0g（x）f（x）dx

k=1

-X

方差

D（X）=E[X-E（X）]，

D（X）*[Xk—E（X）]2pk

D（X）』[x-E（X）]2f（x）dx

标准差

矩

①对于正整数k，称随机变量X

①对于正整数

k,称随机变量X的

的k次幕的数学期望为X的k

k次幕的数学期望为X的k阶原点

阶原点矩，记为Vk,即

矩，记为Vk,

即

Vk=E（Xk）^HXikPi,

vk=E（Xk）=mjxkf（x）dx,

k=1,2,…

②对于正整数k，称随机变量X

②对于正整数

k,称随机变量X与

与E（X）差的k次幕的数学期

E（X）差的k次幕的数学期望为X

望为X的k阶中心矩，记为四，

的k阶中心矩，记为©k，即

即

E=E（X-

-E（X））k

■二E（X—E（X））

=』（人-E（X））kpi,

=Jjx—E（X））f（x）dx,

k=1,2,…

切比雪夫不等式

设随机变量X具有数学期望E（X）=□，方差

D（X）=/,则对于

任意正数&，有下列切比雪夫不等式

P（|x—H樹膚笃

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率

P（|x

rtytftxr,、-/•、一r*Li~t、人r，，—.—m—-•、、「,\

-層）

的一种估计，它在理论上有里要意乂。

（2）

（1）

E（C）=C

期

望

（2）

E（CX）=CE（X）

的

性

质

（3）

E（X+Y）=E（X）+E（Y）

E（送GXi）电CiE（Xi）

i=1i=1

（4）

E（XY）=E（X）E（Y），

充分条件：

X和Y独立；充要条件：

X和Y不相关。

（3）

（1）

D（C）=0；E（C）=C

方

差

（2）

D（aX）=aD（X）；E（aX）=aE（X）

的

性

（3）

D（aX+b）=aD（X）；

E（aX+b）=aE（X）+b

质

（4）

D（X）=E（X）-E（X）

（5）

D（X±Y）=D（X）+D（Y），充分条件：

X和Y独立；

充要条件：

X和Y不相关。

D（X

±Y）=D（X）+D（Y）±2E[（X-E（X））（Y-E（Y））]，无条件成立。

而E（X+Y）=E（X）+E（Y），无条件成立。

（4）

期望

方差

常分

见

布

0-1

分布B（1,p）

P（1-P）

的期望和

二项分布B（n,p）

nP（1-p）

方差

泊松分布pH）

几何分布G（p）

1-P

超几何分布H（n,M,N）

nM1m[Hn—nlj^B

均匀分布U（a,b）

aRb

（b-a）2

指数分布e©

-2

正态分布N霽2）

分布

t分布

n,c、

（n>2）

n-2

（5）

期望

二维

E（X）^XiPi?

E（X）二^xfx（x）dx

随机

i=1

变量

的数

E（Y）羽yjP?

E（Y）=JyfY（y）dy

字特

j壬

二

征

函数的期望

E[G（X,Y）]=

送送G（Xi,yj）Pij

^■fG（x,y）f（x,y）dxdy

方差

D（X）冒[人—E（X）]2pi?

D（X）二J[x—E（X）]2fx（x）dx

二

D（Y）韦[Xj-E（Y）]2p?

D（丫）=[|y-E（Y）]2fY（y）dy

协方差

对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩昌1为X与Y的协方

差或相关矩，记为・XY

或cov（X,Y），即

Rxy=E[（X-E（X））（Y-E（Y））].

与记号dxy相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为xx

与JCyy。