二项式展开.docx
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二项式展开
二项式展开定理
定理及基本概念
1.（ab）nCn0anCn1an1bCnranrbrCnnnn（nN*）；
2.项数：
一共n1项；
3.通项：
Tr1Cnranrbr；一定注意两点：
1）涉及“第几项”的时候，一定严格按照通项公式；
2）注意项数与系数r的关系。
4.二项式系数与各项系数之间的联系与区别。
二、性质
1.二项式系数的对称性：
CnrCnnr；
2.二项式系数和：
2n；
3.奇数项二项式系数和=偶数项二项式系数之和=2n1；
4.二项式系数最大项：
n
1）当n是偶数时，此时项数n1是奇数，中间项的二项式系数Cn2最大；
n1n1
2）当n是奇数时，此时项数n1是偶数，中间两项的二项式系数Cn2=Cn2最大。
5.系数最大项：
注意系数最大与二项式系数最大的区别。
基本题型解题思路及步骤
一、利用通项公式求某项系数
1.写出通项公式的时候注意：
1）所有的系数写在最前面，包括符号；
2）所有根式都写出分数次数形式；
3）明白什么是有理项；
4）注意r的取值范围。
2.只有一个式子：
写出通项公式，根据系数关系，确定满足条件的项。
3.有两个式子相乘：
1）分别用通项公式打开，组合后看满足条件的项；
2）只打开一个，观察另一个的形式，判断满足条件的项；一定注意系数；
3）有多个ri的，注意各自的取值范围和相互之间的关系。
赋值求系数和
1.常用的赋值是令x0,1,1，具体要通过所求的式子来判断赋值；
2.所有系数之和：
令x1；二项式系数之和：
2n；
3.所有系数绝对值之和：
令x1；变换原来式子里的符号，边为相加；再令x1；
4.求导和积分的形式。
三、对二项式定理的理解：
组合项、整除
1.二项式定理的a,b理解：
都表示一个整体；
2.根据所求的问题，对前面的a,b进行重新组合。
例题讲解
求某项的系数
19
1.求（x2）9展开式中第几项为常数项，并求常数项的值。
x
解：
直接用通项公式打开：
Tr1C9r（x）9r（x2）rC9r
（1）rx93r；（注意系数都放一起）
常数项即x的次数为0，也即：
93r0
r3；所以常数项为第4项；
且常数项为：
C93
（1）384
2.在二项式（3x）的展开式中，第四项的系数为56，求的系数。
3xx
解：
第四项的系数为56：
注意：
项数与展开式中r的取值的关系。
此时：
r3。
3Cn3=56，解得：
n8；
313r32
1
再利用通项公式：
Tr1C8r（x3）8r（x4）rC8rx12；
113r321
要求1的系数，所以：
13r321r2；
x122
12
故1前的系数为：
C8228
求二项式（3x2
展开式中常数项的值。
x
3.
405r
解：
r210r12r
Tr1C1r0（3x2）10r（12x2）r
C1r0（3）10r（12）rx2，所以r8；
常数项的值为：
C18032（12）8240556。
（一定严格按步骤来，注意系数的符号）
4.求二项式（x23x）8展开式中有理项的系数和。
解：
什么是有理项xk，当kZ时为有理项；
1124r
用通项公式打开：
Tr1C8r（x2）8r（2x3）rC8r
（2）rx6；
24r
要满足有理项，即：
Z且0r8,rZ，所以：
r0或r6
6
当r0时，C80
（2）01；当r6时，C86
（2）61792；
故：
有理项的系数和为1793。
5.求多项式（x1）6（x1）10展开后常数项。
x
解：
因为这里有两个式子，可以用两个展开式，所取的r1,r2的取值范围；
（x
x）
1
展开：
C6r1（x）6r1（x2）
r1；（x1）10展开
1
：
C1r02（x2）10r
2
（1）r2
1
22
r23r1
所以：
（x
1）6（x1）10展开后：
x
C6r1C1r02
（1）r2x
2（0r1
6,0r210）
所以：
22
r23r10，所以：
r1
4,r210或r1
5,r27或r1
6,r24；
当r1
4,r2
10时，C64C1100
（1）10
15；
当r1
5,r2
7时，C6C10
（1）
720；
当r1
6,r2
4时，C66C140
（1）4
210；
所以常数项为：
15210720495。
6.求展开式（13x）4（12x）3中，x2的系数。
解：
（13x）4展开：
C4r1（3x）r1；（12x）3展开：
C3r2（2x）r2；
所以：
（13x）4（12x）3展开：
C4r1C3r23r1
（2）r2xr1r2，其中：
0r14,0r23；
r10r11r12
所以：
1或1或1；
r22r21r20
故系数为：
C40C3230
（2）2C41C1331
（2）1C42C3032
（2）06
7.已知（1xx2）（x13）n（2n8）的展开式中没有常数项，则n的值为。
x3
解：
（x13）n展开：
Cnr1（x）nr1（x3）r1Cnr1xn4r1；
x
由题意可知，展开式中没有常数项。
则n4r10,n4r11,n4r12，
所以：
n4r1,n4r11,n4r12，所以：
n5。
31
8.求（x3）7（2x）6中，x1的系数。
3xx
9.求（x23x1）9（x2）5的展开式中，x2前的系数为
23783
10.求（x1）（x1）2（x1）3（x1）7（x1）8的展开中x3的系数。
系数最值
1.在（ab）2n的展开式中，二项式系数最大的项是第几项。
解：
展开式式中一共有：
2n1项。
所以中间项为：
第n1项。
一定要时刻注意项数与次数的关系。
21n
2.在（x2）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为
x
解：
只有第4项二项式系数最大，所以一共有7项，所以：
n6。
通项公式：
Tr1C6r（x2）6r
（1）rC6rx123r，常数项r4，所以：
C6415。
x
1n
3.已知（2x）n，若展开式中第5，第6与第7项二项式系数为等差数列，求展开式中二2
项式系数最大项的系数是多少
解：
通项公式为：
Tr1Cnr
（1）nr（2x）rCnr22rnxr；
二项式系数为等差数列，所以：
2Cn5Cn4Cn6，解得n7或n14；
当n7时，二项式系数最大是第4项和第5项，故：
T4C7326735，T5C742170；
47257当n14，二项式系数最大是第8项，故：
T8C1743432。
注意题目的问题：
是二项式系数最大项的系数！
4.求（12x）7的展开式中系数最大的项
解：
通项公式为：
Tr1C7r（2x）rC7r2rxr，各项系数的通项为：
C7r2r
则：
C7r2r
C7r2r
r1r1
C72r1解得：
r
C7r12
5；
所以系数最大项为第6项；T6C7525x5672x5。
6
5.求（32x）6的展开式中系数最小的项是第几项
三、赋值
1n
1.若（x32）n的展开式中偶数项系数和为256，求n的值。
3x2
解：
令x1，得所有项的系数和（11）n0；
故2n2256512n9。
注意“各项系数和”与“二项系数和”的联系与区别；
注意“减号”与“加号”的联系与区别。
2.
1
若（3x
n的展开式中所有奇数项的系数和为1024，求它的中间项。
解：
由题可知所有奇数项的系数和即为所有奇数项的二项式系数和为
1024；
所以：
2n21024n11，所以中间项第6,7项；
所以：
61
T6462x4，T7462x15。
3.
在（x
2）2006的二项式展开中，记含x的奇次幂的项之和为S，当x2时，求S
解：
令x
2，则（x2）2006（22）20060；令x的偶次幂的项之和为T；
2，则（22）200623009；
TS03008则：
TS0TTSS230009S23008。
题目如果改为：
x3时，S的值呢
还是要注意：
奇次幂和偶次幂，对于x取相反数的时候的影响。
nab
4.若二项式（3x）n中所有项的系数和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则的ba最小值为（B）解：
所有项的系数和即令x1，所以a2n；
所有项绝对值的和就是要把系数是负的变成正的，令x1，所以：
b4n；
所以：
ab1n2n5。
注意nN*。
ba2n2
5.若（x3）n展开式中各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x的一次项系数为
x
解：
由上一题可知，尝试令x1，发现不可行，原式没有意义；
发现（x3）n与（x3）n展开式中各项系数的绝对值相等；xx
3n
（x）的各项系数和；
x
3
故（x）n的绝对值之和等价于
x
所以：
令x1，4n1024n5；
（x3）n展开的通项公式：
x
153r
Tr1C5r（x2）5r（31）rC5r（3）rx2x
11
故x的一次项系数为：
C51（3）115。
上述两个例题就是求各项系数绝对值之和的两个思想。
5
6.（1x5y）5的展开式中不含x的项的系数和为
解：
不含x的项，可令x0；则题目等价于（15y）5的各项系数和；令y1，则（15y）5（4）51024。
要消除x，可以令x0。
59
7.设多项式展开：
（1x）5（32x）9
a0（x
1413
1）14a1（x1）13
a13（x1）a14，则
a0a1
a13（D）
A.39
B.2539
C.25
D.39
25
解：
观察右边的形式：
可令x
0，则
a0a1
a13a14
39；
此时，离目标多了一个a14；
再令x1，则a14
25
所以：
a0a1
a13
39
25。
8.若（12x）2009
a0
a1x
2009
a2009x
，则
a1
2
a2
22
a2009
22009
的值为
解：
观察所求的形式：
1，则a0
2
a1
2
a2
22
a2009
22009
0；
再令x0，则a0
1；
所以：
a1a22
222
a2009
22009
1。
9.已知x是函数f
4
（x）
asinx
cosx
图象的一条对称轴，
（1
2014
ax）
2014
iaix，i0
2014
则ai的为
i1
解：
由题意可知：
f（0）
f
（2）
令x0，则a0
1；
令x1，则a0
a2014
0；
所以：
a1
a20141。
2013
10.若（2x1）2013
a0a1x
a2013x
2013
，则a1a3
a2013的值。
解：
发现要求的是
x的奇数次幂的系数和；
令x
1，则a0
a20131；
令x
1，则a0
a1a2
a3a2012
a2013
2013
3；
所以：
a1a3
a2013
2013
13
2
11.
4
设（2x2）4
a0
a1x
4a4x
求（a0a2a4）2
2
（a1a3）2的值。
解：
（a0a2a4）
（a1
a3）2
（a0a1
a2a3a4）（a0
a1
a2a3a4）；
即：
（a0a2a4）
（a1
a3）2
（22）4（22）416
12.
2013
若（2x1）2013
a0
a1x
a2013x
2013，则12
a2
22a1
22013a1的值。
解：
发现所求的式子分母中都有
a1，所以：
a2
22a1
a2013
22013
a1a1
a2
22
a2013）
22013）
令x
12，则：
a0
a1a2
2
222
a2013
22013
0；
令x
0，则a0
1；
所以：
a1a2
2
222
a20131
220131
又a1
C2200113224026；
所以：
222a1
a2013
2013
2a1
a1
a12
a2
22
a2013）
22013）
1。
4026。
82
13.已知（12x）a0a1xa2x
8
a8x，则a12a2
8a8（D）
A.8
B.8
C.16
D.16
解：
发现求的形式，用常规的思想不好解，令x1不行；令
1也不行；
再观察发现ai前面的系数，正好是对应的x的次数；
所以两边都时求导，即：
[（12x）8]'（a0a1xa2x2
a8x8）'16（1
2x）7
a1
2a2x
8a8x7
此时，令x1，则：
16
a12a2
8a8。
14.
2014
若（2x1）2014
a0a1x
2014
a2014x，则求
20141
i0i1ai
i的值。
解：
由上一题的解法，
发现每个要求的
ai前的系数正好是对应
x的次数加1；
联想到可求积分，即：
（2x
20141
1）2014
4030（2x1）2015C1；
（a0
a1x
2014
a2014x）
a0x
a12
x
2
a20142014
x
2015
C2；
则：
40130（2x1）2015C1
a0x
a1x2
2
a20142014
x
2015
C2；
令x
1，则1
4030
a0a1
a2014
2015
C2
C1；
令x
1
0，则40130C2C1；
所以：
a1
a021
a2014
201540302015
四、组合、整除
1.已知（1x）10a0a1（1x）a10（1x）10，则a8（）
A.5B.5C.90D.180
解：
二项式展开（ab）n中的a,b仅仅是字母的表示，可以代表一个整体；
观察右边的形式，可以发现（1x）应该是a,b中的一个；
（1x）10（1x）10[2（1x）]10；
所以a8C180
（2）2180。
也可根据次数，直接定位出a8的值。
21010
2.已知xxa0a1（x1）a10（x1），则a9的值。
解：
由题意发现，a9的值与x2无关；
且（1x）应该是a,b中的一个；
所以：
x10[（1x）1]10；
所以a9C11010。
55
a4=
3.将f（x）（x1）5表示为f（x）a0a1（x1）a5（x1）5，则a3
解：
由题意可知：
x1应该是a,b中的一个；
所以：
（x1）5[（x1）2]5；
所以：
a3a44C522C5130。
213
4.（x222）3展开式中的常数项为（C）
x
A.8B.12C.20D.20解法一：
由展开式的原理可知：
要出现常数项，要么都是常数，要么所以：
（2）3C13C21
（2）20。
解法二：
把三项中的两项看成一个整体，再利用二项式展开定理进行展开；（x2122）3[（x212）2]3，
xx
1
所以通项为：
C3r1
（2）3r1（x212）r1；
x2
又（x212）r1展开的通项为：
Crr12x2r14r2x1
1
所以：
（x2122）3的展开式为：
C3r1Crr12
（2）3r1x2r14r2（0r1x1
r20r21
所以常数项可能的情况为：
2或2；
x的次数和为0；
3,0r2r1）
r10r12
故常数项为：
（2）3
C32
C21
（2）20；
21
解法三：
（x22
2）3
12316[（x）]（x）；
x2
xx
故展开式的通项为：
C6r（
r62r
1）x；
所以常数项为r3；
C63
（1）320。
9432
5.（abc）9的展开式中，a4b3c2项的系数为
解：
由上题解法一思想：
在9个括号中，分别去取项；
则a4b3c2的系数为：
C94C531260。
6.求Cn16Cn26n1Cnn的值。
（用含有n的式子来表示）
解：
观察形势，发现与二项式展开的形式比较接近，但是6的次数不匹配；
所以C1n6Cn26n1Cnn1（Cn06Cn162Cn26nCnn1）；
nnn6nnnn
则可发现6肯定是a,b中的一个；
所以：
1（Cn06C1n62Cn26nCnn1）71；
66
也即：
12n1n71Cn6Cn6Cn。
6
7.证明：
32n28n9能被64整除。
解：
要证明能被64整数，希望原来的式子化简完后每个因式都能被64整除；
结合二项式展开定理的形式，希望a,b中的一个为64或64的某个因子；
32n2
9n
19（9）
n9（1
8）n；
则（1
8）n
1C1n
8Cn282
Cn3882
Cnn8n282；
所以：
32n
29（1
8）n9
9Cn18
9Cn2829Cn3882
9Cnn8
所以：
32n
28n
964n
9Cn282
9Cn38829Cnn8n
282；
所以3
2n2
8n9
能被64整除。
n282；
课后练习
219921
1.求（x2）9展开式中x9的系数。
2x2
16
2.求二项式（2x）6的展开式中第几项为常数项，并求出常数项的值。
第四项，20
2x
1
3.若（x2）n的展开式中，第5项为常数项，求n的值。
6
x
4.（3x1）5展开式中各项系数绝对值之和。
283
5.求（2x）（2x）2（2x）8展开式中x3的系数。
6.在（3x
1n
4）n展开式中，只有第
6项的二项式系数最大，则展开式中常数项为
7.已知函数f（x）
x32f'
（2）x，n
f'
（2），则（x
）n展开式中常数项是
C）
A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项
8.若（2x3）5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则a12a23a34a45a5101010
9.已知（1x）10a0a1（1x）a10（1x）10，求a8180
10.求Cn13Cn2
3n1Cnn
n
41
3
25
11.求（x23x2）5的展开式中x的一次项系数。
12.求（x
4
2）4的常数项。
13.设二项式（33x2
1
）n的展开式中各项系数和为
p，二项式系数和s，若ps512，
则n的值为
14.求证：
1234n1nn1
12CnCn2CnCn2CnCn32。
15.求718
被8除的余数。
x
16.求（
2
12）5的展开式中的常数项为
x
17.求证：
Cn12Cn2nCnnn2n1
18.求证：
Cn01Cn11Cn21Cnn1（2n11）
23n1n1
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