8公倍数与最大公倍数教学.docx
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8公倍数与最大公倍数教学
8公倍数与最大公倍数[教学]
专题八公倍数与最小公倍数
知识概要
几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如:
4的倍数有4、8、12、16，„„，6的倍数有6、12、18、24，„„，4和6的公倍数有12、24，„„，其中最小的是12，一般记为[4、6]=12。
12、15、18的最小公倍数是180。
记为[12、15、18]=180。
在解有关最大公约数、最小公倍数的问题时，常用到以下结论:
（1）如果两个数是互质数，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。
例如8和9，它们是互质数，所以（8，9）=1，[8，9]=72。
（2）如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数。
例如18与3，18?
3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。
（3）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。
例如8和14分别除以它们的最大公约数2，所得的商分别为4和7，那么4和7是互质数。
）两个数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
例如12和（4
16，（12，16）=4，[12，16]=48，有4×48=12×16，即（12，16）×[12，16]=12×16。
最大公约数与最小公倍数的不同与相同点
通常我们用分解质因数的方法来求几个数的最小公倍数。
用分解质因数的方法来求两个数的最小公倍数，用这两个数共有的质因数去除，一直除到所得商是互质数为止，然后把所有的除数和最后两个数连乘起来。
用短除法求三个数的最小公倍数的方法和求两个数的最小公倍数的方法一样，但是要除到两两互质为止。
三个数是最小公倍数必须包括三个数全部共有的质因数和每两个数共有的质因数，以及各自独立的质因数。
基本训练
1（按照从小到大的顺序，写出50以内6与8的倍数，公倍数和最小公倍数
（1）6的倍数有（）。
（2）8的倍数有（）。
（3）6和8的公倍数有（）。
（4）6与8的最小公倍数是（）。
（5）把6与8的倍数和公倍数分别填在下面的圈里。
6的倍数8的倍数
6和8的公倍数2（填空题
（1）30的质因数有（），42的质因数有（），30和42共有的质因数有（）。
30独有的质因数有（），42独有的质因数有（）。
（2）写出24在199以内所有的倍数:
（）。
（3）一个数既是8的倍数，又是12的倍数，这个数最小是（）。
）在括号里填上合适的质数（4
14=（）+（）16=（）+（）+（）+（）
18=（）+（）=（）+（）
24=（）+（）+（）=（）+（）+（）
3（判断题
（1）如果A?
B=3，我们就说A是B的倍数。
（）
（2）12的倍数有无数个。
（）
（3）两个数公倍数的个数是无限的。
（）（4）任何自然数只有最大的因数，没有最大的倍数。
（）
（5）25以内6的所有倍数是12，18，24。
（）4（把下面每一组中两个数的最小公倍数写在?
里（）
324
6957810
5（找出每组数的最小公倍数填,,,里
和,[],15和10[]6和9[]
12和8[]8和10[]6和4[]
6（直接在（）里写出最大公因数，在[]里写出最小公倍数
7和21（）[]3和7（）[]
99和1（）[]13和5（）[]
11和12（）[]6和8（）[]
7（用分解质因数的方法求下面各组数的最大公因数和最小公倍数
）18和24
（2）45和80（3）36和12（1
（4）91和26（5）63和54（6）39和52
8（求下面每组数的最小公倍数
（1）6，8和10
（2）9，5和18（3）12，16和8
（4）12，16和24（5）20，15和30（6）32，24和18
9（求15，30和40的最小公倍数有下面两种不同的算法，哪个对,不对的错在哪里,
（1）10153040
31534514
15，30和40的最小公倍数是10×3×5×4=600.
（2）
5153040
2368
3334
114
15，30和40的最小公倍数是5×2×3×4=120.
10（填空题
（1）合数a的最小因数是（），最大因数是（），最小倍数是（）。
（2）一个数能同时被2，3，5整除，这个数最小是（）。
（3）自然数a除自然数b，所得的商是15，这两个数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
（4）a=2×3×5，b=2×5×11，a和b的最小公倍数是（），最大公因数是（）。
（5）两个质数的最小公倍数是111，这两个数是（）和（）。
11（27，45，81的最小公倍数是最大公因数的多少倍,
12（填表后观察两个数的积同它的最大公因数与最小公倍数的积是什么关系,
两个数两个数的积两个数的最大公因数与最小公倍数的积
15和6的最大公因数是（）
15和615×6=15和6的最小公倍数是（）
它们的积是（）
18和30的最大公因数是（）
18和3018×30=18和30的最小公倍数是（）
它们的积是（）
16和25的最大公因数是（）
16和2516×25=16和25的最小公倍数是（）
它们的积是（）
14（解决问题
（1）人民公园是1路和3路汽车的起点站。
1路汽车每3分钟发车一次，3路汽车每5分钟发车2次。
这两路汽车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车,
（2）某汽车站停着甲、乙、丙三辆汽车，一天它们同时开出车站，已知甲车3天回站一次，乙车4天回站一次，丙车5天回站一次。
至少要过几天，这三辆车再次在车站会合,如果开出这一天是星期二，那么下次会合是星期几,
（3）三位好朋友，每人相隔不同的天数到少年宫活动一次，甲3天一次，乙4天一次，丙5天一次。
这一次三人是星期六在少年宫相逢，至少还要多少天三人才能在少年宫相逢,相逢时是星期几,
（4）有一块长方形的纸板，它的长和宽分别是8厘米和6厘米。
至少要多少块这样的长方形，才可以拼成一个正方形,试画出图形,
（5）一个自然数分别除以3、7，余数都是2.求适合条件的最小数。
（6）两个数的最大公因数是15，最小公倍数是45.求这两个数的积。
（7）校园内有一条192米长的路，原来在这条路旁每隔8米放了一盆花，现在要改成每隔6米放一盆花。
有多少盆花可以放在原来的位置上不动,
（8）有一批砖，每块长45厘米，宽30厘米。
至少要用多少块这样的砖才能铺成一块正方形砖地,
（9）已知两个数的最大公因数是15，这两个数的积是675.求这两个数的最小公倍数。
提高训练
1（填空题
（1）一个数既是7的倍数，又是56的因数，这个数可能是（）。
（2）一个数既是12的倍数，又是15的倍数，在200以内这样的数有（）个，最小的是（），最大的是（）。
（3）200以内12，18和24的公倍数有（），其中最小的一个是（）。
（4）在自然数中，最小的合数加上最小的奇数，和是（），最小的质数加上最大一位数，和是（）。
（5）385是三个连续质数的乘积，这三个质数分别是（），（），（）。
（6）一个数是4的倍数，又有约数6，还能整除36，这个数是（）。
（7）互质的两个数的积是60，那么这两数可能是（）和（）或
（）和（）。
（8）有四个小朋友，他们的年龄恰好分别相差1岁，
他们的年级的乘积是360，其中最
大的一个（）岁。
（9）10以内所有质数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
（10）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是45，如果甲数是9，则乙数是（）;如果甲数是45，则乙数是（）。
（11）三个连续奇数的和是21，这三个连续奇数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
（12）有两个互质数，又是合数，它们的最小公倍数是90，这两个数分别是（）和（）。
（13）一个不能被3，6，9整除的数，如果加上8，就能被3，6，9整除了，这个数最小是（）。
（14）甲数=a×b×c,乙数=a×c×d，这两数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
（15）有两个不同的两位数，它们的和是50，它们的最大公因数是5，这两个数分别是（）和（）。
（16）两个啮合的齿轮，一个有21个齿，另一个有30个齿。
其中某一对指定的齿，从第一次相啮到第二次相啮，每个齿轮各要转动（）周。
（17）已知a,b的最大公因数是12，最小公倍数是72，且a,b不成倍数关系，求a,b各是（）。
（18）甲数是乙数的三分之一。
甲、乙两数的最大公因数是54，乙数是（）。
（19）一排电线杆，原来每两根之间的距离是30米，现在改为45米。
如果起点的一根电线杆不移动，至少再隔（）又有一根电线杆不需要移动。
（20）一筐苹果（100多个）按每份3个分，多1个;每份5个分，多3个;每份7个分，少2个，这筐苹果有（）个。
2（解决问题
（1）有一叠练习本，数量为40~50本，不论是分给6个同学，还是8个同学，都不好
分完，这叠练习本共有多少本,
（2）一袋奶糖，每4颗一份，余2颗;如果每5颗一份或6颗一份，仍然余2颗，这袋奶糖至少有多少颗,
（3）暑假期间王老师每4天来学校一次，李老师每8天来学校一次，张老师每6天来学校一次，如果7月15日他们三人同一天返校，下一次三人同一天返校是几月几日,
（4）有一种电子表，每到整点响一次铃，每过9分亮一次灯，如果中午12时整它既响铃又亮灯，问:
下一次既响铃又亮灯是几时,
（5）排练团体操时，若队伍变成8行、12行、15行、20行都能成为长方形，那么最少需要多少人参加团体操,
（6）从甲地到乙地，原来每隔50米安放一根电线，加上两端两根共有53根，现在改成每隔100米安装一根电线杆，除两端两根不需要移动外，中途还有几根可以不必移动,
（7）有一堆苹果，可以平均分给2、3、4、5、6个小朋友，这堆苹果至少有多少个,
（8）一架机器上有两个相连接的齿轮，一个有28个齿，一个有16个齿。
其中两个指定的齿从第一相遇到第二次相遇，两个齿轮各转了多少周,
（9）一个自然数除以6余5，除以7余6，除以8余7求合适条件的最小数。
（10）a与18的最大公因数是6，最小公倍数是36，a等于几,
拓展训练
1（填空题
（1）如果a,b,c是不同的自然数，A=a×b×c，那么A至少有（）个因数。
（2）在1，2，3，…1998这1998个数中，既不能被8整除，又不能被12整除的数共有（）个。
（3）在222…2?
的?
中最小填（），就能使这个数能被3整除。
（4）形如19901990…1990138且能被11整除的最小自然数n是（）。
（5）一个六位数的各位数字都不相同，最左边一个数字是3，且此六位数是11的倍数，这样的六位数中的最小的数是（）。
（6）一个六位数，首位数移到末位，使新的六位数是原数的3倍，则原数是（）。
（7）把1，2，3…，10个自然数围成一个圆（如图），使得任意
相邻的两个数的和都小于15的素数。
这10个数依次是1，2，
（），（），（），（），
（），（），（），10.
（）=8…………8（8）（）?
（）=9…………9
（）=10………..10（9）某班全班50人，上体育课时，男生横着正好站成两排，前排同学报数。
先1，2，3，1，2，3，…报，再1，2，3，4，1，2，3，4，…报，最后1，2，3，4，5，6，1，2，3，4，5，6，…报。
三次报数，末尾的同学都报2，这个班有男生（）人。
（10）一个六位数，它能被9和11整除，去掉这个六位数的首尾两个数字，中间的四个数字是1997，那么这个六位数是（）。
2（选择题
（1）将1996加一个整数，使和能被9和11整除，加的整数要尽可能小。
那么加的整数是（）。
A.99B.115C.83D.36
（2）一个不能被4，6，11整除的三位数，如果加上7就能被4，6，11整除，这样的三位数的个数是（）。
A.4B.5C.6D.7
（3）老师在黑板上写下三个数:
108，396，A，让同学们求它们的最小公倍数。
小马虎误将108当作180进行计算，结果竟然与正确答案一致。
已知A是一个四位数，那么A=
（）。
A.1800B.5940C.5900D.1820
（4）已知甲、乙两数的最大公因数是b×c,最小公倍数是a×b×b×c×d。
如果甲数是a×b×c,那么乙数是（）。
A.b×c×dB.b×b×cC.a×b×c×dD.b×b×c×d
（5）已知两个自然数的和是54，它们最小公倍数与最大公因数的差为114.这两个自然数是（）。
A.12,42B.16,38C.20,34D.24,30
3（解决问题
（1）围一个圆形广场跑一圈是800米，兄弟两人围广场同时从圆圈上A点相背起跑，兄每分钟跑200米，弟每分钟跑160米。
相遇后继续跑下去，多少分钟后又在A点相遇,
（2）某工厂加工配套的机器零件，要经过三道工序。
第一道工序平均每人每小时做20件，第二道工序平均每人每小时做16件，第三道工序平均每人每小时做24件，现有1332
名工人。
问每道工序各安排多少人算合理的安排,
（3）在一根木棍上，有三种刻度线。
第一种刻度线将木棍分成十等分;第二种将木棍分成十二等分;第三种将木棍分成十五等分。
如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段,
（4）一次会餐时，每两人合用1只碗，每3人合用1只菜碗，每4人合用一只汤碗，会餐共用了65只碗。
问参加会餐的人数是多少,
（5）在400米的环形跑道周围每隔10米放一盆花，放完后又每隔8米放一盆花。
原来放花的地方不再放花，一共放了多少盆花,
（6）王师傅在某个特殊岗位上工作，他每上8天班后，就连续休息2天。
如果这个星期六和星期日休息。
那么，至少再过几个星期日后他才能又在星期日休息,
（7）用长6厘米，宽4厘米的长方形铁片，摆成一个正方形（中间没有空隙）。
至少要用多少块这种长方形铁片,
（8）倩倩到商店买了6块橡皮，5支铅笔，3本练习本和7支圆珠笔，已知每支铅笔1角8分，每支圆珠笔4角5分，倩倩给售货员10元，售货员找给倩倩5.1元。
请马上说:
“阿姨您算错了。
”倩倩怎么知道算错的,
（9）有一堆鸭梨。
如果三个三地数，最后多2个;如果五个五个地数，最后多4个;如果七个七个地数，最后多6个。
这堆鸭梨至少有多少个,
（10）有一堆苹果。
如果5个装一个袋，最后多3个;如果每6个装一个袋，最后多4个;如果每7个装一个袋，最后缺2个。
那么这堆苹果至少有几个,
（11）两个数的和是50，它们的最大公因数是5，求这两个数。
BA
（12）在一个圆圈上有几十个孔（如右图）。
小林像玩跳棋那样，从A孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回A孔。
他先试着每隔2孔跳一步，结果只能回答B孔;他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔;最后他每隔6孔跳一步，正好跳回A孔。
这个圆上共有多少个孔,
（13）拖拉机前轮直径64厘米，后轮直径96厘米，拖拉机开动后，前轮至少转多少圈，才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地,
（14）水星绕太阳一周需88天，金星绕太阳一周需225天，假设某一时刻，太阳、水星和金星在同一直线上，问:
这三个星体至少过多少天才能又在同一直线上,
（15）甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分钟、1分15秒和1分30秒。
问:
三人同时从起点出发，多少时间后他们又在起点相会,
（16）学校开运动会，在400米环形操场边上每隔16米插一杆彩旗，共插了25杆。
后来又增加了一些彩旗，就把彩旗的间隔缩短了，起点的彩旗不动，重新插完后发现，一共有5杆彩旗没动。
问:
现在彩旗的间隔是多少米,
（17）大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留
下60个脚印。
问:
这个花圃的周长是多少米,
（18）长方形砖长42厘米、宽26厘米，用这种砖铺成一块正方形地，至少需要多少块砖,
（19）一支队伍不超过1000人，列队时按2人、3人、4人、5人和6人一排，最后一排都缺1人，改为7人一排时正好。
问:
这支队伍共有多少人,
（20）一支队伍不超过8000人，列队时按4人、5人、6人、7人和8人一排，最后一排都缺3人，改为11人一排时最后一排只有3人。
问:
这支队伍共有多少人,
（21）加工某机器零件需经过三道工序，第一道工序每个工人每小时可以完成8个，第二道工序每个工人每小时可以完成12个，第三道工序每个工人每小时可以完成9个。
要使均衡生产（指各道工序在同一时间内所加工的零件数相同），三道工序至少各分配多少人
（22）文化补习班的教材不够，暂时每两人用一本语文课本，每三人用一本数学课本，每四人用一本外语课本，全班共用了91本课本。
问:
全班有多少人,
竞赛训练
1（四个连续奇数的最小公倍数是33915，这四个数中最大的一个数是多少,（吉林省小学数学邀请赛试题）
2（三个自然数的最大公约数是10，最小公倍数是100，满足要求的三数组共有几组,（“我爱数学”少年夏令营试题）
13（书架上有50~~100本书，其中20%是科教书，是故事书。
书架上共有多少本书,7
（江西省小学数学竞赛六年级试题）
4（有很多方法能将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不相同）的和，对于每一种分法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这些最大公约数中的最大值是（）。
（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）
5（满足被3除余1，被4除余2，被5除余3，被6除余4的最小自然数是（）。
（“我爱数学”少年夏令营试题）
计算训练
1384—523=2682—880=3506—2392=4837—1056=
6206—1152=4005—403=6059—659=32683—1026=
3567—1285=58307—56262=4325—2846=9326—567=
120—80+20=200—95—5=84+50+16=78+128—78=
25+78+22=164—98—2=200—62—138=180+20—150=
4=2310×5=1122×2=2133×3=1231×
3130×4=5502×6=7850×2=1621×3=
1875×2=3400×5=6500×2=7500×4=
26?
2=39?
3=88?
8=96?
2=
65?
5=30?
2=40?
4=46?
2=
综合训练
一、填空题
11111，，，，？
？
，1、,（）。
1，44，77，1010，132005，2008
2、祖父今年75岁，3个孙子的年龄分别是17岁、15岁和13岁，（）年后
3个孙子的年龄和等于祖父的年龄。
3、王雪读一本故事书，第一天读了8页，以后每天都比前一天多度3页，最后一天读了32页正好读完。
她一共读了（）天。
4、学校买来一些毽子，分给全校各班，如果每班16个，恰好分完;如果少给2个班，每班多分1个，还剩10个。
班级和毽子各（）个。
5、两城相距240千米，甲、乙两车同时从两城出发，相向而行。
甲车行完全程需4小时，乙车行完全程需6小时，两车出发后（）小时相遇。
6、花店有菊花、玫瑰、郁金香共78支，其中菊花是玫瑰的2倍多4支，玫瑰是郁金香的3倍少2支。
问这三种花各（）支。
7、两个数之和是444，大数除以小数商11，且没有余数，大数是（）。
8、某地的邮政编码可用ABCCDD表示，已知这六个数字的和是8，A与B的和等于2个D，A是最小的自然数。
这个邮政编码是（）。
9、从1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数中，任取3个数组成一组，使它的平均数是5，有（）种取法。
10、在一张长10厘米，宽8厘米的长方形纸的一边，减去一个边长3厘米的正方形，剩下纸的周长是（）厘米。
二、解答题
1、有五箱鸡蛋共重100千克，这五箱鸡蛋的重量恰是连续5个自然数，那么最重的一箱鸡蛋重多少千克,
2、甲水池有水5200立方米，乙水池有水2400立方米，如果甲水池里的水以每分钟44立方米的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的3倍。
3、把1296分为甲、乙、丙、丁四个数，如果甲数加上2，乙数减去2，丙数乘以2，丁数除以2，则四个数相等。
求这四个数各是多少,
4、有24个边长1厘米的正方形，用这24个正方形拼成长方形。
有多少种不同的拼法,拼成的长方形中，最长的周长是多少厘米,
参考答案
基本训练
1（
（1）6、12、18、24、30、36、42、48;
（2）8、16、24、32、40、48;（3）24、48;（4）24;（5）6的倍数:
6、12、18、30、36、42、24、48;8的倍数:
8、16、32、40、24、48;6和8的公倍数:
24、48;2（
（1）2、3、5;2、3、7;2、3;5;7;
（2）24、48、72、96、120、144、168、192;（3）24;（4）3、11;2、2、5、7;7、11、5、13;2、5、17、2、3、19;3（对、对、对、对、错;4（12、9、18;10、14、35;8、20、40;
5（30、30、18、24、40、12;6（7、21;1、21;1、99;1、65;1、132;2、24;7（
（1）6、72;
（2）5、720;（3）12、36;（4）13、182;（5）9、378;（6）13、156;8（
（1）120;
（2）90;（3）48;（4）48;（5）60;（6）288;9（错、对;10（
（1）1、a、a;
（2）30;（3）a、b;（4）330、10;（5）3、37;11（5倍;12（3、30、90;6、90、540;1、400、400;13（
（1）15分钟;
（2）60天、星期六;（3）60天、星期三;（4）12块;（5）23;（6）675;（7）8盆;（8）6块;（9）45;
提高训练
1（
（1）7、14、28、56;
（2）60、120、180;60;180;（3）72、144;144;（4）7、11;（5）5、7、11;（6）12;（7）4、15、12、5;（8）6;（9）1、210;（10）15、3;（11）1、315;（12）9、10;（13）10;（14）a×c;（15）15、35;（16）7周和10周;（17）24、36;（18）162;（19）90米;（20）103;2（
（1）49本;
（2）62颗;（3）8月8日;（4）15时;（5）120人;（6）25根;（7）60个;（8）4周和7周;（9）335;（10）12;
拓展训练
1（
（1）8;
（2）1666;（3）2;（4）5;（5）312576;（6）142857;（7）9、4、7、6、5、8、3;（8）360、44、39、35;（9）26;（10）219978;2（C、D、B、D、D;3（
（1）20分钟;
（2）392人、540人、360人;（3）34段;（4）60人;（5）80盆;（6）12个;（7）
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