中考数学试题及解析福建福州解析版.docx

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中考数学试题及解析福建福州解析版

福建省福州市2021年中考数学试卷—解析版

一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分）

1、（2021•福州）6的相反数是（　　）

A、﹣6B、

C、±6D、

考点:

相反数。

专题:

计算题。

分析:

只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是﹣a．

解答:

解:

6的相反数就是在6的前面添上“﹣”号，即﹣6．

故选A．

点评:

本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

2、（2021•福州）福州地铁将于2021年12月试通车，规划总长约180000米，用科学记数法表示这个总长为（　　）

A、0.18×106米B、1.8×106米C、1.8×105米D、18×104米

考点:

科学记数法—表示较大的数。

专题:

计算题。

分析:

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

解答:

解:

∵180000=1.8×105；

故选C．

点评:

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3、（2021•福州）在下列几何体中，主视图、左视图与俯视图都是相同的圆，该几何体是（　　）

A、

B、

C、

D、

考点:

简单几何体的三视图。

专题:

应用题。

分析:

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

解答:

解:

A、球的主视图、左视图、俯视图都是圆形；故本选项正确；

B、圆柱的主视图是长方形、左视图是长方形、俯视图是圆形；故本选项错误；

C、六棱柱的主视图是长方形、左视图是长方形、俯视图是正六边形；故本选项错误；

D、圆锥的主视图是三角形、左视图三角形、俯视图是圆形；故本选项错误；

故选A．

点评:

本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义，是熟练解答这类题目的关键，培养了学生的空间想象能了．

4、（2021•福州）如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是（　　）

A、y=x2B、

C、

D、

考点:

反比例函数的图象；正比例函数的图象；二次函数的图象。

专题:

推理填空题。

分析:

根据图象知是双曲线，知是反比例函数，根据在一三象限，知k＞0，即可选出答案．

解答:

解:

根据图象可知:

函数是反比例函数，且k＞0，答案B的k=4＞0，符合条件，

故选B．

点评:

本题主要考查对反比例函数的图象，二次函数的图象，正比例函数的图象等知识点的理解和掌握，能熟练地掌握反比例的函数的图象是解此题的关键．

5、（2021•福州）下列四个角中，最有可能与70°角互补的角是（　　）

A、

B、

C、

D、

考点:

余角和补角。

专题:

应用题。

分析:

根据互补的性质，与70°角互补的角等于180°﹣70°=110°，是个钝角；看下4个答案，哪个符合即可；

解答:

解:

根据互补的性质得，70°角的补角为:

180°﹣70°=110°，是个钝角；

∵答案A、B、C都是锐角，答案D是钝角；∴答案D正确．

故选D．

点评:

本题考查了角互补的性质，明确互补的两角和是180°，并能熟练求已知一个角的补角．

6、（2021•福州）不等式组

的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A、

B、

C、

D、

考点:

在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。

专题:

数形结合。

分析:

分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集．

解答:

解:

解x+1≥﹣1得，x≥﹣2；解

x＜1得x＜2；∴﹣2≤x＜2．

故选D．

点评:

本题考查了利用数轴表示不等式解集得方法．也考查了解不等式组的方法．

7、（2021•福州）一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（　　）

A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根

C、只有一个实数根D、没有实数根

考点:

根的判别式；解一元二次方程-因式分解法。

专题:

计算题。

分析:

先把原方程变形为:

x2﹣2x=0，然后计算△，得到△=4＞0，根据△的含义即可判断方程根的情况．

解答:

解:

原方程变形为:

x2﹣2x=0，

∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．

故选A．

点评:

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0，（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac:

当△＞0，原方程有两个不相等的实数根；当△=0，原方程有两个相等的实数根；当△＜0，原方程没有实数根．

8、（2021•福州）从1，2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（　　）

A、0B、

C、

D、1

考点:

列表法与树状图法。

专题:

数形结合。

分析:

列举出所有情况，看积是正数的情况数占总情况数的多少即可．

解答:

解:

共有6种情况，积是正数的有2种情况，故概率为

，

故选B．

点评:

考查概率的求法；用到的知识点为:

概率=所求情况数与总情况数之比．得到积是正数的情况数是解决本题的关键．

9、（2021•福州）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，若∠AOB=120°，则大圆半径R与小圆半径r之间满足（　　）

A、

B、R=3rC、R=2rD、

考点:

切线的性质；含30度角的直角三角形；垂径定理。

分析:

首先连接OC，根据切线的性质得到OC⊥OB，再根据等腰三角形的性质可得到∠COB=60°，从而进一步求出∠B=30°，再利用直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可得到R与r的关系．

解答:

解:

连接OC，∵C为切点，∴OC⊥AB，

∵OA=OB，∴∠COB=

∠AOB=60°，∴∠B=30°，∴OC=

OB，∴R=2r．

故选C．

点评:

此题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

10、（2021•福州）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（　　）

A、2B、3C、4D、5

考点:

三角形的面积。

专题:

网格型。

分析:

根据三角形ABC的面积为2，可知三角形的底边长为4，高为1，或者底边为2，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果．

解答:

解:

C点所有的情况如图所示:

故选C．

点评:

本题考查了三角形的面积的求法，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏，难度适中．

二、填空题（共5小题，每题4分，满分20分；）

11、（2008•衢州）分解因式:

x2﹣25=　（x+5）（x﹣5）　．

考点:

因式分解-运用公式法。

分析:

直接利用平方差公式分解即可．

解答:

解:

x2﹣25=（x+5）（x﹣5）．

点评:

本题主要考查利用平方差公式因式分解，熟记公式结构是解题的关键．

常出的错误有:

x2﹣25=（x﹣5）2，x2﹣25=x（x﹣5）（x+5），x2﹣25=（x﹣5）2=（x+5）（x﹣5），要克服．

12、（2021•福州）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:

7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是

．

考点:

几何概率。

专题:

计算题。

分析:

根据几何概率的求法:

看陆地的面积占总面积的多少即为所求的概率．

解答:

解:

根据题意可得:

地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:

7，

即相当于将地球总面积分为10份，陆地占3份，所以落在陆地上的概率是

．故答案为

．

点评:

本题考查几何概率的求法:

首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．

13、（2021•福州）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，则∠A+∠B+∠C=　270　度．

考点:

直角梯形；平行线的性质。

专题:

计算题；几何图形问题。

分析:

根据平行线的性质得到∠A+∠B=180°，由已知∠C=90°，相加即可求出答案．

解答:

解:

∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，

∵∠C=90°，∴∠A+∠B+∠C=180°+90°=270°，

故答案为:

270．

点评:

本题主要考查对直角梯形，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出∠A+∠B的度数是解此题的关键．

14、（2021•福州）化简

的结果是　m　．

考点:

分式的混合运算。

专题:

计算题。

分析:

本题需先把（m+1）与括号里的每一项分别进行相乘，再把所得结果相加即可求出答案．

解答:

解:

=（m+1）﹣1=m

故答案为:

m

点评:

本题主要考查了分式的混合运算，在解题时要把（m+1）分别进行相乘是解题的关键．

15、（2021•福州）以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB=90°，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD=60°，点P在数轴上表示实数a，如图．如果两个扇形的圆弧部分（

和

）相交，那么实数a的取值范围是　﹣4≤a≤﹣2　．

考点:

圆与圆的位置关系；实数与数轴。

专题:

计算题。

分析:

两扇形的圆弧相交，界于D、A两点重合与C、B两点重合之间，分别求出此时PD的长，PC的长，确定a的取值范围．

解答:

解:

当A、D两点重合时，PO=PD﹣OA=5﹣3=2，此时P点坐标为a=﹣2，

当B、C两点重合时，PO=

=

=4，此时P点坐标为a=﹣4，

则实数a的取值范围是﹣4≤a＜﹣2．

故答案为:

﹣4≤a≤﹣2．

点评:

本题考查了圆与圆的位置关系，实数与数轴的关系．关键是找出两弧相交时的两个重合端点．

三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置.作图或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）

16、（2021•福州）

（1）计算:

；

（2）化简:

（a+3）2+a（2﹣a）．

考点:

整式的混合运算；实数的运算；零指数幂。

专题:

计算题。

分析:

（1）不为0的实数的绝对值大于0，不为0的0次幂为1，

（2）完全平方与代数式分解，后合并同类项即得．

解答:

（1）解:

原式=4+1﹣4=1

（2）解:

原式=a2+6a+9+2a﹣a2=8a+9

点评:

本题考查了整式的混合运算，

（1）负数的绝对值取其正数，不为0的数的0次幂为1，．

（2）完全平方分解，合并同类项，即得．

17、（2021•福州）

（1）如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AE交BD于点C，且BC=DC．求证:

AB=ED．

（2）植树节期间，两所学校共植树834棵，其中海石中学植树的数量比励东中学的2倍少3棵，两校各植树多少棵？

考点:

全等三角形的判定与性质；一元一次方程的应用。

专题:

应用题；证明题。

分析:

（1）根据已知条件可判断出△ABC≌△EDC，根据全等三角形的性质即可得出AB=ED，

（2）设励东中学植树x棵，可知海石中学植树2x﹣3颗，根据题意列出方程，解出x的值，即可得出结果．

解答:

（1）证明:

∵AB⊥BD，ED⊥BD

∴∠ABC=∠D=90°，

在△ABC和△EDC中

，

∴△ABC≌△EDC，

∴AB=ED；

（2）解:

设励东中学植树x棵，

依题意，得x+（2x﹣3）=834，

解得x=279，

∴2x﹣3=2×279﹣3=555，

答:

励东中学植树279棵，海石中学植树555棵．

点评:

本题考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形的对应边相等，以及列方程解应用题，难度适中．

18、（2021•福州）在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师计划安排60课时用于总复习，根据数学内容所占课时比例，绘制如下统计图表（图1～图3），请根据图表提供的信息，回答下列问题:

（1）图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为　36　度；

（2）图2、3中的a=　60　，b=　14　；

（3）在60课时的总复习中，唐老师应安排多少课时复习“数与代数”内容？

考点:

条形统计图；统计表；扇形统计图。

分析:

（1）先计算出“统计与概率”所占的百分比，再乘以360°即可；

（2）根据数与代数所占的百分比，求得数与代数的课时总数，再减去数与式和函数，即为a的值，再用a的值减去图3中A，B，C，E的值，即为b的值；

（3）用60乘以45%即可．

解答:

解:

（1）（1﹣45%﹣5%﹣40%）×360°=36；

（2）380×45%﹣67﹣44=60；

故答案为36，60，14；

60﹣18﹣13﹣12﹣3=14；

（3）依题意，得45%×60=27，

答:

唐老师应安排27课时复习“数与代数”内容．

点评:

本题是一道统计题，考查了条形统计图、扇形统计图和统计表，是基础知识要熟练掌握．

19、（2021•福州）如图，在平面直角坐标系中，A、B均在边长为1的正方形网格格点上．

（1）求线段AB所在直线的函数解析式，并写出当0≤y≤2时，自变量x的取值范围；

（2）将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，请在答题卡指定位置画出线段BC．若直线BC的函数解析式为y=kx+b，则y随x的增大而　增大　（填“增大”或“减小”）．

考点:

待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与几何变换。

专题:

数形结合；函数思想。

分析:

（1）根据一次函数图象知A（1，0），B（0，2），然后将其代入一次函数的解析式，利用待定系数法求该函数的解析式；

（2）根据旋转的性质，在答题卡中画出线段BC，然后根据直线BC的单调性填空．

解答:

（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+b

依题意，得A（1，0），B（0，2）

∴

解得

∴直线AB的函数解析式为y=﹣2x+2

当0≤y≤2时，自变量x的取值范围是0≤x≤1．

（2）线段BC即为所求．增大

点评:

本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象与几何变换．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得形象、直观，降低了题的难度．

20、（2021•福州）如图，在△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，连接OD．已知BD=2，AD=3．

求:

（1）tanC；

（2）图中两部分阴影面积的和．

考点:

切线的性质；正方形的判定与性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义。

专题:

计算题。

分析:

（1）连接OE，得到∠ADO=∠AEO=90°，根据∠A=90°，推出矩形ADOE，进一步推出正方形ADOE，得出OD∥AC，OD=AD=3，∠BOD=∠C，即可求出答案；

（2）设⊙O与BC交于M、N两点，由

（1）得:

四边形ADOE是正方形，推出∠COE+∠BOD=90°，根据

，OE=3，求出

，根据S扇形DOM+S扇形EON=S扇形DOE，即可求出阴影部分的面积．

解答:

解:

（1）连接OE，

∵AB、AC分别切⊙O于D、E两点，∴∠ADO=∠AEO=90°，

又∵∠A=90°，∴四边形ADOE是矩形，

∵OD=OE，∴四边形ADOE是正方形，

∴OD∥AC，OD=AD=3，∴∠BOD=∠C，

∴在Rt△BOD中，

，∴

．

答:

tanC=

．

（2）解:

如图，设⊙O与BC交于M、N两点，

由

（1）得:

四边形ADOE是正方形，∴∠DOE=90°，

∴∠COE+∠BOD=90°，

∵在Rt△EOC中，

，OE=3，∴

，

∴S扇形DOM+S扇形EON=S扇形DOE=

，

∴S阴影=S△BOD+S△COE﹣（S扇形DOM+S扇形EON）=

，

答:

图中两部分阴影面积的和为

．

点评:

本题主要考查对正方形的性质和判定，锐角三角函数的定义，扇形的面积，切线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．

21、（2021•福州）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，

①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位:

cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．

考点:

矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质。

专题:

几何综合题；动点型。

分析:

（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；

（2）①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；

②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．

解答:

（1）证明:

①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足为O，

∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴四边形AFCE为平行四边形，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE为菱形，

②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，

由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2，

解得x=5，

∴AF=5cm．

（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，

∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，

∴PC=5t，QA=12﹣4t，∴5t=12﹣4t，解得

，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，

秒．

②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．

分三种情况:

i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；

ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12；

iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12．

综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．

点评:

本题综合性较强，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用．

22、（2021•福州）已知，如图，二次函数y=ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l:

对称．

（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；

（2）求二次函数解析式；

（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

考点:

二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根；勾股定理。

专题:

计算题；代数几何综合题。

分析:

（1）求出方程ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上；

（2）根据点H、B关于过A点的直线l:

对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；

（3）解方程组

，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．

解答:

解:

（1）依题意，得ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），

解得x1=﹣3，x2=1，

∵B点在A点右侧，∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），

答:

A、B两点坐标分别是（﹣3，0），（1，0）．

证明:

∵直线l:

，

当x=﹣3时，

，

∴点A在直线l上．

（2）解:

∵点H、B关于过A点的直线l:

对称，

∴AH=AB=4，

过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，

则

，

，

∴顶点

，

代入二次函数解析式，解得

，

∴二次函数解析式为

，

答:

二次函数解析式为

．

（3）解:

直线AH的解析式为

，

直线BK的解析式为

，

由

，解得

，即

，则BK=4，

∵点H、B关于直线AK对称，

∴HN+MN的最小值是MB，

，

过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，

则QM=MK，

，AE⊥QK，

∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，

∵BK∥AH，

∴∠BKQ=∠HEQ=90°，

由勾股定理得QB=8，

∴HN+NM+MK的最小值为8，

答HN+NM+MK和的最小值是8．

点评:

本题主要考查对勾股定理，解二元一次方程组，二次函数与一元二次方程，二次函数与X轴的交点，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．