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高斯光束研究可编辑修改word版
高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象
摘要：
随着信息技术和纳米技术的迅速发展，要求光信息存储器件中的最小信息位尺寸、大规模集成电路和微电子技术中的光刻线宽和光学显微镜的分辨率等均能达到纳米量级（<100nm），而由于光衍射本身的限制，无法达到实际需求。
非线性薄膜材料的研究，通过选择非线性强的光学薄膜材料，调节激光能量和控制薄膜厚度及结构，在非线性薄膜结构的出射面能使光斑尺寸进一步下降，实现纳米光斑。
该光斑通过近场耦合作用在信息存储薄膜或光刻薄膜上，从而实现纳
米信息存储、纳米光刻或纳米成像。
本文主要研究高斯激光束通过非线性均匀绝缘介质后光强的改变。
由电磁场基本原理，推导出高斯光束是缓变振幅条件下波动方程的近似解，研究其在介质突变面处的反射透射。
重点研究高斯激光束在非线性介质中的传播问题，这一过程中有自聚焦现象。
研究过程主要采用数值计算方法用差分方程代替偏微分方程研究问题的数值解。
比较光强的变化。
关键词：
高斯光束，非线性，自聚焦，差分方程
一、引言
随着信息技术和纳米技术的迅速发展，要求光信息存储器件中的最小信息位尺寸、大规模集成电路和微电子技术中的光刻线宽和光学显微镜的分辨率等均能达到纳米量级（<100nm），而由于光衍射本身的限制，无法达到实际需求。
而通过非线性薄膜材料的研究，通过选择非线性强的光学薄膜材料，调节激光能量和控制薄膜厚度及结构，在非线性薄膜结构的出射面能使光斑尺寸进一步下降，实现纳米光斑。
该光斑通过近场耦合作用在信息存储薄膜或光刻薄膜上，从而实现纳米信息存储、纳米光刻或纳米成像。
实验中我们常常采用高斯光束作为光源进行问题研究。
高斯光束是波动方程在缓变振幅下的一个特解，非线性介质的折射率随光强的变化而变化，因而高斯光束通过非线性介质发生自聚焦和衍射现象，从而改变能量分布。
本文主要研究光强的变化，通过具体数值建立数学模型，采用差分方程代替偏微分方程以求得问题的数值解，研究光束通过非线性介质后能量的变化。
二、预备知识
（一）波动方程
波动理论认为，光是一定频率范围内的电磁波，其运动规律可用Maxwell方程组来描述：
⎧
∂
⎪∇⨯E=-B
⎪∂t
⎪∇⋅D=
⎨
∂
⎪∇⨯H=J+D
（1-1）
⎪∂t
⎪∇⋅
⎩⎪B=0
其中，
上式中为电场强度，为电位移，为磁场强度，为磁感应强度，一般情况下
EDHB
他们都是矢量且为时间空间坐标的函数，还满足物质方程：
⎪D=0E+P
⎧
⎪
⎨B=0（H+M）
⎪
⎪⎩J=E
（1-2）
式中P为电极化强度，J为电流密度，为自由电荷密度，为电导率，M为磁化
强度。
0
=8.854⨯10-14AS/Vcm真空中的介电常数
0
=1.257⨯10-8VS/Acm真空中的磁导率
在线性极化情况下
式中为介质的线性极化率。
P=0E
M
在非磁，各向同性均匀介质中，=0
，在区域=0
j=0中，由（1-1）的第
二式、（1-2）中第一式，有∇⋅E＝0，将（1-2）第二式代入（1-1）第一式，等式两边取旋度，
有
∂
（E）=-0∂t∇⨯H
（1-3）
由（1-1）第三式、（1-2）第一、三式可得
∂∂
∇⨯H=E+0
E+P
∂t∂t
（1-4）
将（1-4）代入（1-3），由∇⨯（∇⨯E）=∇（∇⋅E）-∆E可得
∂
∂2
∂2
∇（∇⋅E）-∆E=-E-E-P
因为∇⋅E＝０，（1-5）整理后可得
0∂t
00∂t2
0∂t2
（1-5）
∂
∂2
∂2
∆E-E-
E-
P=0
0∂t
对于无损介质（等效于=0）有
00∂t2
0∂t2
（1-6）
式中c为真空中的光速：
∆
1∂2
-
c2∂t2
1
c2
∂2
∂t2=0
（1-7）
c2=
（1-6）、（1-7）为线性光学的基本方程。
1
00
（1-8）
（二）赫姆霍茨方程
激光光学中常用复数E（公式中用E代替方便输入）表示电场强度：
E=1
*
E+E
2
（2-1）
E（x,y,z,t）=E（x,y,z）e
介质的电极化强度也可以用复数表达式：
it
（2-2）
1
*
P=（+）
（2-3）
（x,y,z,t）=（）
0Ex,y,z,t
（2-4）
（x,y,z）=（）
0Ex,y,z
式中带“*”量为共轭量。
利用（2-1）—（2-5）式可将（1-7）式化为
（2-5）
D
22
式中为复折射率
E（x,y,z）+kE（x,y,z）=0
（2-6）
在标量场假设下，（2-6）式成为
=
1+
（2-7）
∆E（x,y,z）+2k2E（x,y,z）=0
在真空中，=1，于是有
∆E（x,y,z）+k2E（x,y,z）=0
（2-8）、（2-9）式都称为赫姆霍茨方程。
（三）高斯光束表达式推导
由前面分析可知稳态传输电磁场满足赫姆霍茨方程
∆E（x,y,z）+k2E（x,y,z）=0
式中E（x,y,z）与电场强度的复表式E（x,y,z,t）间有关系：
E（x,y,z,t）=E（x,y,z）eit
（2-8）
（2-9）
（3-1）
（3-2）
由数理方程基本知识可知，平面波和球面波都是（3-1）式的特解。
高斯光束则
不同，它不是（3-1）式的精确解，而是在缓变振幅近似下的一个特解。
设
E（r,z）=
在SVA（缓变振幅）近似下有
∂A
A（r,z）e-ikz
（3-3）
∂zkA
∂2A
∂z2
k∂A
∂z
（3-4）
利用（3-4）式可将（3-1）式在柱坐标（r,,z）下写为
∂2A+1∂A+1
∂2A-
∂A=
∂r2r∂rr2
∂2
2ik∂z0
（3-5）
在旋转对称情况下A与无关，（3-5）式简化为如下的抛物方程
∂2A+1∂A-∂A=
∂r2
r∂r
2ik∂z0
（3-6）
为了求得（3-6）式的一个特解，可设在z=0处有一振幅为
A（r,z）
z=0
=A（r,0）=
r2
A0e0
（3-7）
的高斯光束，然后求在任意处z的A（r,z）。
式中A0为振幅常数，如果只考虑相对值，
则可由归一化条件求出。
定义为z=0处场振幅减小到最大值1的r值，称为腰斑
0e
（或光腰，束腰），它是高斯光束光斑半径的最小值。
设试探解为
2
-f2（z）2
A（r,z）=
A0f1
（z）e0
（3-8）
式中f1（z）、f2（z）为待定函数，满足
f1（0）=
将（3-8）式微分后代入（3-6），整理得到
f2（0）=1
（3-9）
⎡2f2（z）f（z）ikf'（z）f（z）⎤⎡2f（z）f（z）'⎤
21+21
42
r2-12
2
+
ikf1
（z）⎥=0
⎣00⎦⎣0
⎦（3-
由（3-10）对任意r成立条件得到下面两个关系式
10）
⎧2f2（z）'
⎪2+ikf2
⎪0
⎨
（z）=0
⎪2f1（z）f2（z）+ikf'（z）=0
⎪21
0
d
（3-11）
式中'表示dz。
微分方程组（3-11）在边界条件为（3-9）式时的解为
f（z）=f（z）=1=1
12
1-i
2z
k2
1-iz
Z
00（3-12）
式中
称为共交参数。
于是我们证明了，形如
Z0=
1k2
2
2
=0
r2
2
-0z
（3-13）
A（r,z）=
A0
1-iz
1-i
eZ0
0（3-14）
的高斯光束是赫姆霍茨方程（3-1）在SVA近似下的一个特解。
其物理意义为：
如果在z=0处有一形如（3-7）式的高斯光束，则它将以（3-14）式非均匀高斯球面波的形式在空间传播。
（3-14）式可改写为
-r2-⎡kr2⎤
A2（z）i⎢2R（z）-⎥
（）
A（r,z）=00e
z
式中
⋅e⎢⎣⎥⎦
（3-15）
⎛z⎫2
（z）=0
1ç÷
⎝0⎭
——高斯光束的光斑半径
R（z）=z
⎛z+Z0⎫——
高斯光束的等相面曲率半径
0çZz⎪
⎝0
=tan-1z——
Z0
⎭
高斯光束的相位因子
（3-16）
利用（3-16）式可将E（r,z）改写为
r2-⎧⎪⎡r2
⎤⎫⎪
A-2
i⎨k⎢2R（z）+z⎥-⎬
E（r,z）=
00e
（z）⋅e
⎩⎪⎢⎣
⎦⎥⎪⎭
（z）
相位部分
振幅部分
（3-17）
r2-⎧⎪⎡r2⎤⎫⎪
A-2
i⎨k⎢2R（z）+z⎥--t⎬
E（r,z,t）=00e
（z）⋅e
⎩⎪⎢⎣
⎦⎥⎪⎭
（z）
（3-18）
三、问题研究：
相位部分
振幅部分
下面研究高斯光束在非线性薄膜介质中的折射系数透射系数的计算问题。
计算中物理量取常用单位。
如上图所示，为了使问题简单化，我们假设高斯光束垂直入射介质，非线性薄膜
介质绝缘，面积无穷大，厚度为h。
折射率表达式为：
（r,I）=0+II
式中I为入射光光强。
在波动光学中，光强为振幅的平方。
0、I为常数。
（4-1）
实际上值还与z有关，但由于待研究的非线性介质薄膜厚度极小，简化问题，
我们默认非线性薄膜介质垂直方向值不随z的改变而改变。
我们将问题研究分为两个：
1、高斯光束在非线性薄膜上表面发生的反射透射
2、进入介质后光束的传播
（一）光束在介质上表面反射透射
光波是波长很短的电磁波，因此光的反射、折射现象就是电磁波在不同介质分界面上的反射、折射。
任何波动在两个不同介质分层面上的反射、折射都属边值问题，因此电磁波在两种不同介质分界面上的反射与折射是由电磁场E和B在分界面上所满足的边值关系确定的。
边值关系：
⎧
⎪n⋅（D2-D1）=
⎪n⨯（E2-E1）=0
⎨n⋅（B-B）=0
（4-2）
⎪21
⎩
⎪n⨯（H2-H1）=
式中n表示突变面（即分界面）的上的单位外法线。
如图，在z=0处平面为分界面的两种不同的均匀各向同性介质中，由（3-16）可知
R（0）→∞，=0入射波i，反射波r，折射波d的电场强度可表示为
⎧E（r,t）=E
⋅eit
⎪
i0
E
⎨（r,t）=E'⋅ei't
r0
⎪E（r,t）=E''⋅ei''t
（4-3）
-r2
⎩d0
式中E=Ae，E'、E''未知。
2
0000
因为在绝缘介质分层面上电荷面密度=0，电流面密度=0，因此在z=0分界面
上只需满足如下边值关系
⎪⎧⎡⎣Ed
-（Ei
+Er）⎤⎦t=0
⎨⎡H
-（H+H）⎤=0
（4-4）
⎪⎩⎣
dir⎦t
式中的下标t代表切向分量。
综上，要满足（4-4）条件，首先要求入射波，反射波，折
射波的相位在z=0平面上任何一点，任何时刻都要相同，即
z=0
[it=i't=i''t]
由此必有='=''，说明反射波，折射波与入射波频率相等。
（4-5）
接下来继续分析反射波，折射波的振幅。
由于z=0，入射的高斯光束表达式为
-r2
Ei（r,t）=A0e
0⋅eit
（4-6）
由此可得薄膜折射率为
-2r2
0
=+⋅Ie2
0I0
对r进行泰勒展开后取前两项，有
≈+⋅I
-2I⋅I0r2
0I02
0
即
≈n0
其中
（1+cr2）
n=+⋅I
c=-
2I⋅I0
00I0
（+⋅I）2
正入射情况下，有透射波d：
0I00
Ed（r,t）=
2E
+1i
（r,t）
（二）进入介质后光束的传播
当折射率为上述定义表示时，赫姆霍茨方程有
0
∆E+k2n2（1+cr2）2E=0
其中
（1+cr2）2
=1+2cr2+c2r4
≈1+2cr2
=1-Γ2r2
整理后，有
Γ2=-2c
0
∆E+k2n2（1-Γ2r2）E=0
（若考虑吸收，吸收系数定义为
0
a（r,z）=a（1+（z）r2）
设复折射率'=-ia
2k
，可将方程改为
0
∆E+k2n'2（1-Γ'2r2）E=0
n'=n-ia0
Γ'=-2c+ia0（-c）
）
其中002k，
设
n0k
E（r,z）=A（r,z）e-ikn0z
在SAV条件下，可得
∂2A+1∂A-
∂A-
22Γ2=
∂r2r∂r
2ikn0∂z
2kn0A0
设该方程解具有高斯函数形式
A-ikn0r2
A（r,z）=0e
s（z）
2q（z）
带入方程，对任意r成立，满足微分方程组
⎧dq
⎪dz
=1+Γ2q2
⎨1ds1
⎪=
根据边界条件
⎩⎪sdzq
q（z）
=s（z）
=q1
=iZ0
有
ì
⎪q1
q=
cosΓz+
1sinΓz
G
⎪-qΓsinΓz+cosΓz
í
⎪
⎪s=
1
sinΓz+q1cosΓz
îG
根据上式，我们得到了高斯光束在薄膜中的传播方程，下面讨论过程中电场表达式E均用此式表示。
通过折射率我们可知薄膜下表面反射系数为R1
=1-，透射系数为T11+
2
=1+
当第一次下表面反射波返回上表面的时候，有上表面反射系数R2=R1,透射系数
T2=T1，同时传播距离为2d，由此分析我们可知，第一次下表面透射波
E1（r,d）=
2
+1
⋅2
+1
⋅E（r,d）
第二次下表面透射波：
E2（r,d）=
2
11
+1
⋅R2TE（r,3d）
第N次下表面透射波：
En（r,d）=
2
+1
⋅R2nTE（r,（2n+1）d）
11
薄膜透射波有
Ed（r,d）=lim∑Ei（r,d）
n
n→∞
i=1
实验中，由于折射率的影响，几次后透射波会小到忽略不计，可以通过数值计
算来求出合理的答案
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