离散型随机变量均值与方差优秀教案.docx
《离散型随机变量均值与方差优秀教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散型随机变量均值与方差优秀教案.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
离散型随机变量均值与方差优秀教案
离散型随机变量的均值与方差
教学目标：
了解离散型随机变量的均值或期望的意义.会根据分布列求出均值或期望•理解公式“E（aE+b）二aEE+b”,以与“若E~B（n,p）,则EEP”；了解离散型随机变量的方差、标准差的意义.会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
教学重点、难点：
离散型随机变量的均值或期望的概念，与根据分布列求出均值或期望，了解方差公式“口皤+切二才Of,以与“若E〜玖mp）,则D&npQ—讥并会应用上述公式计算有关随机变量的方差；会根据期望、方差、标准差的大小解决实际问题。
复习：
1随机变量：
如果随机试验的结果可以用一个变量来表不，那么这样的变量叫做随机变量.随机变量常用希腊字母&n等表示.
2离散型随机变量:
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
若E是离散型随机变量，n=a^+b,a.b是常数.贝iJn也是离散型随机变量。
3分布列:
设离散型随机变量E可能取得值为匕
冷…，冷…,E取每一个值Xi（/=1,2,•••）的概率为p^=Xi）=Pii则称表为随机变量E的概率分布，
X1
•••
Xi
•••
P
A
Pz
•••
Pi
•••
简称E的分布列・
4分布列的两个性质:
（1）^0,/=1,2,•••；
（2）^+^+-=1.
5离散型随机变量的二〔oi...k...刀
项分布:
在-次随机试验中，pC悶CR严…即严…C；；p”q。
某事件可能发生也可能不
发生.在/?
次独立重复试验中这个事件发生的次数匕是一个随机变量•如果在一
次试验中某事件发生的概率是P,那么在刀次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是==（Xr=0,1,2,-,n,q=\-P）.
于是得到随机变量J的概率分布如下：
称这样的随机变量E服从二项分布，记作&〜B5,P）,其中久P为参数、并记C沁qz二处；门,p）.
6离散型随机变量的几何分布：
在独立重复试验中’某事件第一次发生时，所作试验的次数e也是一个正整•数的离散型随机变量•“&k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生•如果把k次试验时事件A发生记为A、事件A不发生记为A.p（a）=p.p（4）=q（q=i-p）.那么
p@=k）=P（AAA…疋人）=p（A）P（石）p（瓦）…P（石）P（4）=十'p伙二0J2…，
9=1-"）•于是得到随机变量E的概率分布..noz
123-k…
如下：
c，-
PP1吗q-p・…qk~'p…
称这样的随机变量E服从几何分布.
记作p）=q"'p,其中乞二0,丄,2,…，q=\-p•
离散型随机变量的均值
问题：
某商场为满足市场需求要将单价分别为丄8元/kg,24元/kg,36元/kg的3种糖果按3:
2;1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对每千克混合糖果定价才合理？
价格定为（丄8+24+36）/3二26（元/千克）；合理吗？
如何体现三种的比例？
平均在每lkg的混合糖果中.3种糖果的质量分别为l/2kg,l/3kg,l/6kg,所以
它是三种糖果价格的加权平均，其中丄/2,1/3,丄/6权数，在计算平均数时，权数可以表示总体中的各种成分所占的比例，权数越大的数据在总体中所占的比例越
大.它对加权平均数的影响也越大•加权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算.
1/2表示价格为18元/千克的糖果在混合糖果中所占比例，1/3表示价格为24元/千克的糖果在混合糖果中所占比例，1/6表示价格为36元/千克的糖果在混合糖果中所占比例.
“在搅拌均匀的混合糖果中，如果每一颗糖果的质量都相等,”那么在混合糖果中任取一颗糖果，取到每颗糖果的可能性相等，这样在混合糖果中任取一颗，取到的糖果恰好是价格为18元/千克的糖果的概率是多少？
恰好是价格为24元/千克的糖果的概率是多少？
恰好是价格为36元/千克的糖果的概率是多少？
在混合糖果中任取一颗，取到的糖果恰好是价格为丄8元/千克的概率是丄/2,恰好是价格为24元/千克的概率是1/3,恰好是价格为36元/千克的概率是1/6.
假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗糖果的原来
单价（元/千克），则X的分布列为：
因此权数恰好是随机变量X取每种价格的概率。
这样，每千克混合糖果的合理价格应为：
X
18
24
36
p
1/2
1/3
1/6
18xP（X=18）+24xP（X=24）+36xP（X=36）=23（元/千克）.
—般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X
Ai
•••
•••
Xn
则
E（X）二+X2P2+兀3卫3+…+…为〉值或数学期望.简称期望.
称
P
P'
a
•••
Pi
•••
Q”
〈的均
均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
均值或期望的一个性质;若
Y=aX+b,a,b是常数X是随机变量，则Y也是随机变量，因为：
Xi
•••
Xi
•••
Xj
H
axi+b
axz+b
•••
axi+b
•••
axi+b
P
4
P2
•••
Pi
•••
Pi
P（Y=aXi+b）=P（X=Xi）,i=l,21,,,,n.
所以Y的分布列为：
于是E（Y）=（axi+b）p【+（ax2+b）p2+•+（axt+（axn+b）pn
=+x2p2+…+呂几+…）+b（“]+%+・・+几+…）=aE{X）+by
由此，我们得到了期望的一个性质E（aX+b）=aE（X）+b
思考：
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？
问题的本质：
选择方差大的好还是方差小的好？
如果其他班级选手的射击成绩都在9环左右，本班候选人成绩只有8环，要想取胜或不输，选手必须超常发挥。
一般来讲，方差大的，超常发挥的可能性越大，因此，应该派甲去；并且通过发布列可以计算甲取胜或不输的概率（大于等于9环）。
如果其他班级选手的射击成绩都在7环左右，要想取胜或不输，本班选手的射击成绩稳定在8环比较好.因此，选择派乙去；他的成绩的方差比较小，成绩更集中于8环，取胜的可能性更大；通过发布列可以计算乙取胜或不输的概率（大于等于7环）。
例丄在篮球比赛中，罚球命中得丄分，不中得0分。
如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他他罚球丄次得分X的均值（期望）是多少。
解：
因为P（X=1）=0.7,P（X=0）=0.3,
所以E（X）=lxP（X=l）+0xP（X=0）=1x0.74-0x03=0.7
一般地.如果随机变量X服从二点分布，那么E（X）=lxp+Ox（l-p）=p于
是有
若X服从二点分布.则E（X）=p.
女口果X~B（n,p）,那么由kC：
=k・“zM吕，可得
k:
（n-Ar）!
（k-1）!
[（h-l）-（k-1）]!
nitn-1
*■0k«1kaaO
即：
•••P（X=k）=C：
pkQ_pYi=c：
pW
E（X）=OxC：
；〃V十丄xc；p%"“+2xC；沪严+…+斤+-+/?
xC；；p\/°.
.r9/\/✓"'O・、（>i厂•1.、】门几―21i/*■*&—】1（/f—1）—1）11厂•“一In—I0\
..E（X）=np（Cn^pq+C^}pq+•••+Cn^pq+…+Q-pq）
=np（p+q）"~l=np.故若X~玖门、p）,贝^E（X）=np.
随机变量的均值与样本的平均值有什么联系与区别？
随机变量的均值是一个常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的，因此，样本的平均值是随机变量；对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越老越接近于总体的均值，因此，我们常用样本的平均值来估计总体的均值。
例2.—次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确。
每题选对得5分，不选或选错不得分，满分丄00分。
学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从各个选项中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次测验中的成绩的均值。
解：
设学生甲和乙在这次单元测验中选对的题数分•别为X」,X2t则
X】〜B（20,0.9）,X=~B（20,0.25）,
AE（X1）=20x0.9=1&E（X2）=20x0.25=5•
由于答对每题得5分学生甲和乙在这次测验中的成绩分别是5X」和5X?
•所以，他们在测验中的成绩的均值分别是：
E（5X]）=5E（XJ=5x18=90,E（5X2）=5E（X2）=5x5=25,
学生甲在这次单元测试中的成绩一定是90分吗？
他的成绩均值90分的含义是什么？
90表示随机变量X的均值；甲的成绩是一个随机变量，比如取值可能为0,5,
10,-95,100；他的均值为90分的含义是：
在多次类似的考试中，他的平均成绩大约是90分。
例3.根据气象预报.某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为
0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元遇到小洪水时要损失10000元•为保护设备，有以下3种方案：
方案1:
运走设备，搬运费为3800元.
方案2:
建保护围墙，建设费为2000兀.但围墙只能防小洪水•
方案3:
不采取措施，希望不发生洪水•
试比较哪一种方案好•
解•用X】、X：
和分别表ZF方案1,2,3的损失•
采用第丄种方案，无论有无洪水，都损失3800元，即Xa=3800.
采用第2种方案，遇到大洪水时，损失2000+60000=62000元；没有大洪水时，损失2000元即x屮2000,仃大洪水：
「2000,无大洪水.
[60000,有大洪水；同样，采用第3种方案.有X3-10000,有小洪水；
0,无洪水.
于是’
E（Xi）=3800,
E（XJ=62OOOxP（X2=62000）+2OOOOOxP（X2=2000）
=62000x0.01+2000x（1-0.01）=2600,
E（X3）=60000xP（X3=60000）+10OOOxP%二丄0000）+0xP（X3=0）
=60000x0.01+10000x0.25=3100.
采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2.
值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的•一般地，我们可以这样来理解“平均损失”:
假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小.由于洪水是否发生以与洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策.采用方案2也不一定是最好的.
例4随机拋掷一枚骰子，求所得骰子点数X的均值.
解:
JP（X=。
=1/6/=1,2,・・・,6,・・・E（X）=lxl/6+2xl/6+…+6xl/6=3.5・
例5有一批数量很大的产品，其次品率是15%,对这批产品进行抽查，每次抽取丄件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过丄0次•求抽查次数X的期望（结果保留三个有效数字）.
解：
抽查次数X取l^X^lO的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15,取出正品的概率是0.85,前k-丄次取出正品而第k次（k=l,2,10）取出次品的概率：
P（X=£）=0.852x0.15（k=l,2,•••,10）
需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：
P（X=10）=0.859.由此可得X的概率分布如下：
X
1
2
3
45
6
7
8
9
10
D
0.1
0.1270.108
0.090.078
0.066
0.056
0.048
0.040
0.231
r
5
5
4
23
6
6
1
9
6
根据以上的概率分布,
可得X的期望
E（X）=1x0.15+2x0.1275+--+10x0.2316=5.35.
例6某城市出租汽车的起步价为20元，行驶路程不超出4km时租车费为丄0元，若行驶路程超岀4km,则按每超出Ikm加收2元计费（超出不足Ikm的
部分按Ikm计）•从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km•某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的「不同以与途中停车时间要转换成行车路程（这个城市规定，每停车5分钟按Ikm路程计费），这个司机一次接送旅客的行车路程X是一个随机变量•设他所收租车费为Y・
（1）求租车费Y关于行车路程X的关系式；
（II）如表为随机变量X的分布列，求所收租车费Y
X
15
16
17
18.
P
0.1
0.5
0.3
0.1
的数学期望•
（III）已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了丄5km，问出租车在途中因故停•车累计最多几分钟？
解：
（1）依题意得Y二2（X-4）十10,即Y=2X+2；
（II）E（X）=15x0.1+16x0.5+17x0.3+18x0.1=16.4,
•••Y二2X+2,••・£（y）=2£Y+2=34.8（元）故所收租车费Y的均值为34.8
元•
（III）由38=2X4-2,得X=18,5x（18-15）=15,所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟。
练习：
丄口袋中有5只球，编号为丄，2,3,4,5,从中任取3球，以X表示取出球的最大号码，则E（X）二（C）
A.4；B.5；C.4.5；D.4.75.
2设有m升水，其中含有大肠杆菌门个•今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为X,求X的数学期望.
分析：
任取丄升水.此升水中含一个大肠杆菌的概率是1/m,事件“X二”发生.即〃个大肠杆菌中恰有乞个在此升水中，由〃次独立重复实验中事件4（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生斤次的概率计算方法可求出23进而可求E（X）.
解：
记事件A:
“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P（A）=l/m•
••・yA（X=A）=^A）=C„k（l/m）xU-（^=0,1,2,-.,/?
）.
•*.故E（X）=/?
xi/m=n/m•
小结：
（丄）离散型随机变量的均值（期望），反映了随机变量取值的平均水平；
（2）求离散型随机变量X的均值的基本步骤：
①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取各个值的概率.写出分布列；③根据分布列，由均值（期望）的定义求出钳.
⑶公式E（aX+b）=aEX+b.⑷服从二项分布的随机变量的均值（期望）:
E（X）=np
♦
练习：
丄一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中冋时取出2个，则其中
今七
个数的数学期望是（用数字作答）
解：
令取取黄球个数X（X-0、丄、2）则X的要布列为：
于是E（X）=0x3/10+lx3/5+2xl/10=0.8,故知红球个数於
X
0
1
2
p
3/10
3/5
1/10
］数学期望为1.2o
2学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作.事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为5、3、p3,求试验中三台投影仪产生故障的数学期望.
解：
设X表示产生故障的仪器数.A表示第1台仪器出现故障（1=1.2、3）
瓦表示第1台仪器不出现故障，则：
P（X=l）=p（ArA2•Ay）+p（A,■/\2-Ay）+p（Aj•A2As）
=P1（1-pj（2-pj+p,（丄-P1）（1-p3）+p3（l-P1）（1-P2）
二P】+P2+Pr_2p4_2pp_2p初+3P4P3
p（X=2）=p（ArArA）+p（ArA?
-A3）+p（A]-A2-A3）
=pip2（l一p3）+pip3（l一p2）+p2p3（l一P1）=P1P2+pip3+p2p3一3pip2p3
p（X=3）=p（ArA2-A3）=rPip2p3
••・E（X）=lxp（X=l）+2xp（X=2）+3xp（X=3）=pi+p2+p3.
充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望.
离散型随机变量的方差
复习：
均值（数学期望）是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值•对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究•其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.
回顾一组数据的方差的概念：
设在一组数据a-,x2,心中，F是它们的平均值，那么：
S，=-[（Xj-X）2+（X.-%）2+…+（xfl-X）2]n
叫做这组数据的方差.
一般地，若离散型随机变量e的概率分布为：
则称E（X）=xlpl+x2p2+-+x„pn+-为X的均值
X
X1
•••
Xn
•••
P
A
©
•・•
Pn
■
（数学期望）.
均值（期望）的一个性质：
E（aX+b）=aE（X）+b若X~B（n,p）,则EX=np.
问题：
要从甲、乙两名同学中挑出一名.代表班级参加射击比赛•根据以往的成
Xi
5
6
7
8
9
10
P
0.03
0.09
0.20
0.31
0.27
0.10
绩记录.甲同学击中目标靶的环数X」的分布列为：
乙同学击中目标靶的环数X,的分布列为：
应派哪位同学参赛？
x2
5
6
7
8
9
P
0.01
0.05
0.20
0.41
0.33
1如果仅从平均射击成绩比
较，能否区分甲、乙两名同学的射击水平？
E（XJ二8,E（X2）二8他们的°'20
0.10
均值相等.只根据均值无法区分这0価
—
叵1
H1
—
□D/OV1U
两名同学的射击水平。
2考察X」，X,的分布列图，甲、乙两人的射击水平有何差异？
比较两个图形，乙的成绩更集中于8环，他的成绩更稳定。
怎样刻画随机变量的稳定性？
样本方差反映了样本数据与样本平均
值的偏离程度，它可以刻画样本数据的稳定
X
•勺
“2
P
P\
P1
Pi
Pn
性，可以类比吗？
设离散型随机变量X的发布列为：
用（Xi-E（X））2描述了x£二丄2,…,n）相对于平均值E（X）的偏离程度，而
D（X）=f（乞-E（x））2pi
1.1
为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度。
称D（X）为随机变量X的方差，并称其算术根JD（X）为随机变量X的标准差。
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差和标准差数值越小，随机变量偏离于均值的平均程度越小。
随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
二者都是反映离散程度和稳定性的定量指标；
随机变量的方差是常数.样本的方差是随着样本的不同而变化的.因此样本的
n1
—
—
X
X1
xi
Xn
P
Pl
Pl
Pi
Pn
方差是随机变量•随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差，因此常用样本的方差来估计总体的方差。
上述甲、乙两名同学的方差分别为：
109
D（Xj=》（r-8）2p（X]=i）=1.50,D（X2）=2（i-8）2P（X2=i）=0.82
因此甲的成绩稳定性较差，乙的成绩稳定性较好，稳定在8环左右。
几个公式：
可以证明
丄、若X服从两点分布（即X~B（l,p））,则D（X）=p（1-p）.
2、若X则D（X）=np（l-p）.
3、D（aX+b）=a2O（X）.
注意点：
（1）随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量X的方差、标准差也是随机变量X的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相冋的单位.所以在实际问题中应用更广泛.
例丄.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.
解：
抛掷散子所得点数X的分布列为：
从而EX=lxl+2xl+3xl+4x|+5xl+6xl=3.5
X
1
2
3
4
5
6
P
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
DX=（1-3.5）2x-+（2-3.5）2x-+（3-3.5）2x-+（4-3.5）2x-
6666Jd（X）"17
+（5—3.5）2x丄+（6一3.5）2x丄心2.92
66
甲单位不同职位月工资XJ元
1200
1400
1600
1800
获得相应职位的概率P」
0.4
0.3
0.2
0.1
乙单位不同职位月工资X/元
1000
1400
1800
2000
获得相应职位的概率p2
0.4
0.3
0.2
0.1
例2•有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：
根据月工资的分布列，利用计算器可算得
E（Xa）=1200x0.4+1400x0.3+1600x0.2+1800x0.1=1400,
D（Xi）=（1200-1400）2x0.4+（1400-1400）2x0.3+（1600-1400）2xQ.2+（1800-1400）x0.1
=
升级会员 