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微弱信号的检测提取及分析方法
基于多重自相关的微弱信号检测及提取方法研究
StudyonWeakSigusodialSignalBasedonMulti-layerAutocorrelation
目录
一摘要
二选题背景与目的
三实验特点与原理
3.1高斯白噪声
3.1.1概念：
5
3.1.2基本数字特征及其Matlab实现：
5
3.2检测及提取方法的原理
3.2.1自相关检测方法6
3.2.2多重自相关法7
3.3本实验采取的微弱信号检测及提取的方法
四实验设计与实现
4.1高斯白噪声的产生与数字特征
4.1.1产生8
4.1.2均值8
4.1.3方差9
4.1.4均方值9
4.1.5自相关函数9
4.1.6频谱（傅里叶变换）：
10
4.1.7功率谱密度：
10
4.2原始正弦信号的产生与数字特征
4.2.1产生10
4.2.2均值10
4.2.3方差11
4.2.4均方值11
4.2.5自相关函数11
4.2.6频谱（傅里叶变换）11
4.2.7功率谱密度12
4.3混合信号的产生与提取
4.3.1混合信号产生12
4.3.2混合信号的部分数字特征12
4.3.3信号的提取与分析14
五实验结论
六参考文献
七附件
analysis.mextract.m
一摘要
摘要：
对高斯白噪声的主要数字特性进行了分析，并通过对在高斯白噪声环境下的正弦信号的检测与提取。
并利用Matlab工具，通过wgn函数生成高斯噪声，通过多重自相关方法，对高斯白噪声环境下的正弦信号进行分析与提取，并给出仿真结果。
关键字：
随机信号，弱信号检测提取，多重自相关
二选题背景与目的
2.1选题背景
在随机信号处理的许多应用场合，噪声中信号的检测是一个重要的课题，尤其是微弱信号检测。
微弱信号检测的目的是从强背景噪声中提取有用信号，或用一些新技术和新方法来提高检测系统输出信号的信噪比。
对噪声中正弦信号参量估计研究领域已有很多种方法，比如自相关法、多重自相关法、互相关法以及互功率谱法等。
这些方法已在实际中得到广泛的应用，但这些方法都有各自的优缺点，并不是某一种方法就能适用于所有的场合，也没有一种方法所检测得到的各个参数效果都是最佳的。
比如，有的方法如自相关检测就要求检测对象必须满足高斯条件的假设，并且在观测信号的信噪比显著下降时，系统的检测性能也会随之急剧下降。
2.2选题目的
1.了解随机信号分析理论如何在实践中应用，掌握随机弱信号的检测及分析的几种方法。
2.掌握随机信号的基本数字特征及其Matlab实现。
包括：
均值，方差，均方值，相关函数，频谱和功率谱密度。
3.掌握微弱信号的检测提取及分析方法。
三实验特点与原理
3.1高斯白噪声
3.1.1概念
白噪声（Whitenoise）：
是一种功率谱密度为常数的随机信号或随机过程。
相对的，其他不具有这一性质的噪声信号被称为有色噪声。
理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。
实际上，我们常常将有限带宽的平整信号视为白噪声，以方便进行数学分析。
白噪声的数学期望为0。
其自相关函数为狄拉克δ函数。
需要指出，相关性和概率分布是两个不相关的概念。
“白色”仅意味着信号是不相关的，白噪声的定义除了要求均值为零外并没有对信号应当服从哪种概率分布作出任何假设。
因此，白噪声分为“高斯白噪声”，“泊松白噪声”，“柯西白噪声”等。
高斯白斯噪声（GaussianWhitenoise）：
是一种具有正态分布（NormalDistribution）（也称作高斯分布（GaussianDistribution））概率密度函数的噪声。
也就是说，高斯噪声的值遵循高斯分布或者它在各个频率分量上的能量具有高斯分布。
3.1.2基本数字特征及其Matlab实现
基本数字特征有：
均值：
高斯白噪声的均值为0；可用函数mean实现。
其意义为直流分量。
方差：
高斯白噪声的方差为1；可用函数var实现。
其意义为信号绕均值的波动程度
均方值：
高斯白噪声的均方值为1；可用sum（y.*conj（y））/length（y）实现，其中y为白噪声信号。
其意义为信号的平均能量
相关函数：
高斯白噪声的自相关函数为狄拉克δ函数；可用xcorr函数实现。
其意义为波形自身不同时刻的相似程度。
频谱：
可用fft函数实现。
其意义为信号的频域特征。
其意义为在频域上了解信号的特征
功率谱密度：
高斯白噪声的功率谱密度为一常数，可用其频谱的傅里叶变换实现。
其意义是随机信号的各个样本在单位频带内的频谱分量消耗在一欧姆电阻上的平均功率的统计均值。
3.2检测及提取方法的原理
因为噪声总是会影响信号检测的结果，所以信号检测是信号处理的重要内容之一，低信噪比下的信号检测是目前检测领域的热点，而强噪声背景下微弱信号的提取又是信号检测的难点，其目的就是消除噪声，将有用的信号从强噪声背景中提取出来，或者用一些新技术和新方法来提高检测系统输出信号的信噪比。
噪声主要来自于检测系统本身的电子电路和系统外的空间高频电磁场干扰等，通常从两种不同的途径来解决：
①降低系统的噪声，使被测信号功率大于噪声功率，达到信噪比S/N>1。
②采用相关接收技术，可以保证在被测信号功率<噪声功率的情况下，仍能检测出信号。
在电子学系统中，采用低噪声放大技术，选取适当的滤波器限制系统带宽，以抑制内部噪声和外部干扰，保证系统的信噪比大大改善，当信号较微弱时，也能得到信噪比>1的结果。
但当信号非常微弱，比噪声小几个数量级甚至完全被噪声深深淹没时，上述方法就不会有效。
当我们已知噪声中的有用信号的波形时，利用信号和噪声在时间特性上的差别，可以用匹配滤波的方法进行检测。
但当微弱信号是未知信号时，则无法利用匹配滤波的方法进行检测。
经过分析，白噪声为一个具有零均值的平稳随机过程，所以，我们在选取任一时间点，在该点前一段时间内将信号按时间分成若小段后，然后在选取时间点处将前面所分的每小段信号累加，若为白噪声信号，则时间均值依然为零，但当噪声中存在有用信号时，则时间均值不为零，由此特性，就可对强噪声背景中是否存在微弱信号进行判定。
白噪声信号是一个均值为零的随机过程。
任意时刻是一均值为0的随机变量。
所以，将t时刻以前的任一时间段将信号分成若干小段并延时到t时刻累加，得到的随机变量均值依然为0。
而混有微弱信号，将t时刻以前的信号分断延时，并在t时刻点累加，得到的不再是均值为零的随机变量。
所以，我们可以在t时刻检测接收到的强噪声的信号的均值，由其均值不为零可判定强噪声信号中混有有用信号。
利用白噪声信号在任一时间t均值为零这一特性，将强噪声信号分段延时，到某一时刻累加，由此时刻所得的随机变量的均值是否为零来判断t时刻以前的信号中是否含有有用信号。
利用这种检测方法可以在不知微弱信号的波形的情况下，对强噪声背景中的微弱信号进行有效的检测。
而对微弱信号检测与提取有很多方法，常采用以下方法进行检测，这些检测方法都可以在与信号处理相关书籍和论文中查找到。
3.2.1自相关检测方法
传统的自相关检测技术是应用信号周期性和噪声随机性的特点，通过自相关运算达到去除噪声的检测方法。
由于信号和噪声是相互独立的过程，根据自相关函数的定义，信号只与信号本身相关与噪声不相关，而噪声之间一般也是不相关的。
假设信号为s（t），噪声为n（t），则输入信号
x（t）=s（t）+n（t）
（1）
其相关函数为:
Rx（τ）=E[x（t）·x（t+τ）]
=Rs（τ）+E[s（t）·n（t+τ）]+E[s（t+τ）·n（t）]+Rn（τ）
（2）
对于具有各态历经性的过程，可以利用样本函数的时间相关函数来替代随机过程的自相关函数。
3.2.2多重自相关法
多重自相关法是在传统自相关检测法的基础上，对信号的自相关函数再多次做自相关。
即令：
（3）
式中，
是
和E[s（t+τ）·n（t）]的叠加；
是E[s（t）·n（t+τ）]和
的叠加。
对比式
（1）、（3），尽管两者信号的幅度和相位不同，但频率却没有变化。
信号经过相关运算后增加了信噪比，但其改变程度是有限的，因而限制了检测微弱信号的能力。
多重相关法将
当作x（t），重复自相关函数检测方法步骤，自相关的次数越多，信噪比提高的越多，因此可检测出淹没于强噪声中的微弱信号，如图5-1所示。
图5-1多重自相关
3.3本实验采取的微弱信号检测及提取的方法
微弱信号不仅意味着信号的幅度小，而且主要指的是被噪声淹没的信号。
提取微弱信号时，其关键因素在于提高信噪比。
所以我们首先要进行滤波，利用滤波器的频率选择特性，可把滤波器的通带设置得能够覆盖有用信号的频谱，所以滤波器不会使有用信号衰减或使有用信号衰减很少。
而噪声的频带通常较宽，当通过滤波器时，通带外的噪声功率受到大幅度衰减，从而使信噪比得以提高。
另外，我们使用sin信号，在高斯白噪声的环境下，提取该信号。
本次实验中，我们采用多次自相关的方法来提取信号。
将混合信号经多次自相关后，我们便能够得到所需信号。
四实验设计与实现
4.1高斯白噪声的产生与数字特征
4.1.1高斯白噪声的产生
调用函数wgn；语句如下：
y=wgn（1,10000,0）;
这样，我们就产生了一个1行，10000列的服从高斯分布的随机数序列，即高斯白噪声。
如下图所示，为我们声称的高斯白噪声。
4.1.2均值：
调用函数mean;语句如下：
meany=mean（y）;%均值
我们便能够得到白噪声的均值。
由于我们采样点的个数有限（10000个），所以在误差范围内，我们认为其均值符合预期（理论值：
0）。
实验如图所示。
4.1.3方差：
调用函数var;语句如下：
vary=var（y）;%方差
我们便能够得到白噪声的方差为1.0055。
在误差范围内，我们认为其均值符合预期（理论值：
1）。
4.1.4均方值：
调用函数sum；语句如下：
rmsy=sum（y.*conj（y））/length（y）;%均方值
我们知道：
均方值=方差+均值^2;此时所得的均方值为1.0054，在误差范围内，我们认为其均值符合预期（理论值：
1）。
4.1.5自相关函数：
调用函数cory；语句如下：
[cory,t]=xcorr（y,'unbiased'）；%自相关函数
由图像我们可以知道，其自相关函数为狄拉克δ函数，符合预期。
但在非0处出现了波纹。
这是值得引起我们注意的。
4.1.6频谱（傅里叶变换）：
调用函数fft；语句如下：
fy=fft（y）;
ym=abs（fy）;
f=（0:
length（fy）-1）'*fs/length（fy）;%傅里叶变换
其中，ym为将y作傅里叶变换后函数的振幅，fs=10000Hz为采样频率。
4.1.7功率谱密度：
语句如下：
yd=ym.*conj（ym）/fs;
l=（0:
length（yd）-1）'*fs/length（yd）;%功率谱密度
由图可知，功率谱密度出现扰动，与预期的常数有所差别，但其扰动并不剧烈。
因此在误差范围内，我们还是认为其符合预期。
4.2原始正弦信号的产生与数字特征
4.2.1产生：
调用函数cos；语句如下：
t=0:
1/500:
1;
y=cos（2*pi*10*t）;%正弦信号
我们就产生了一个频率为10Hz的正弦信号。
其中，采样频率fs=500Hz；
4.2.2均值：
调用函数mean;语句如下：
meany=mean（y）;%均值
我们便能够得到正弦信号的均值为0.0020。
由于我们采样点的个数有限（500个），所以在误差范围内，我们认为其均值符合预期（理论值：
0）。
4.2.3方差：
调用函数var;语句如下：
vary=var（y）;%方差
我们便能够得到正弦信号的方差为0.5020。
在误差范围内，我们认为其均值符合预期（理论值：
0.5）。
4.2.4均方值：
调用函数sum；语句如下：
rmsy=sum（y.*conj（y））/length（y）;%均方值
我们知道：
均方值=方差+均值^2;此时所得的均方值为0.5010，在误差范围内，我们认为其均值符合预期（理论值：
0.5）。
4.2.5自相关函数：
调用函数cory；语句如下：
[cory,t]=xcorr（y,'unbiased'）；%自相关函数
由图像我们可以知道，其自相关函数为振幅为0.5，频率仍为10Hz的正弦函数，符合预期：
A’=A^2/2=0.5（原信号的振幅A=1）,w’=w。
4.2.6频谱（傅里叶变换）：
调用函数fft；语句如下：
fy=fft（y）;ym=abs（fy）;
f=（0:
length（fy）-1）'*fs/length（fy）;%傅里叶变换
其中，ym为将y作傅里叶变换后函数的振幅，fs=500Hz为采样频率。
由图可知，其频谱函数在10Hz处出现脉冲。
符合预期：
在10Hz出现狄拉克δ函数。
4.2.7功率谱密度：
语句如下：
yd=ym.*conj（ym）/fs;
l=（0:
length（yd）-1）'*fs/length（yd）;%功率谱密度
由图可知，功率谱密度在10Hz处出现脉冲，说明信号的大部分能量集中在10Hz附近。
当频率为wc=10Hz时，我们得到ym（max）=250，yd（max）=125，验证得：
125=yd=ym^2/fs=250^2/500，其中fs=500Hz为采样频率，符合预期。
4.3混合信号的产生与提取
4.3.1混合信号产生：
我们先产生一个纯净的正弦信号，再产生一个高斯白噪声，最后根据加性噪声原理，我们得到了混合信号，语句如下：
x=0:
1/1000:
1;
yc=cos（2*pi*10*x）;%频率为10Hz的原始正弦信号
yn=2*wgn（1,1001,1）;%高斯白噪声
yo=cos（2*pi*10*x）+2*wgn（1,1001,1）;%混合信号（加性白噪声）
根据微弱信号定义，我们判定该混合信号为一微弱信号。
4.3.2混合信号的部分数字特征：
这里，我们仅列出四个具有对比意义的数字特征，包括：
均值，自相关函数，频谱函数，功率谱密度。
为便于比较，我们将原始信号和混合信号的各数字特征图像整理在一起。
‘
观察图像，我们可以得到以下三个结论：
A:
由于原始信号和高斯白噪声不相关，且它们的均值都为0，所以混合信号的均值也为0，这是符合预期的。
B:
直观地看，混合信号的自相关函数既有原始信号的特点，同时又有白噪声的特点：
首先表现在0处出现了狄拉克δ冲击函数，其次表现在非0处的扰动为正弦扰动。
C:
无论是频谱还是功率谱，无论是原始信号还是混合信号，我们都能看到其中心频率wc=10Hz。
所不同的是：
原始信号在偏离中心频率处不具有能量，而混合信号在整个频域内都具有能量，只不过绝大部分能量集中在中心频率处，这是符合我们预期的。
4.3.3信号的提取与分析：
在提取信号前，我们先构建一个低通滤波器。
由于噪声在整个频域内都具有能量，而原始信号只在中心频率wc附近具有能量，所以滤去高频分量后，我们便能够提取出的更高品质的信号。
语句如下：
[n,Wn]=buttord（wp,ws,rp,rs）;%构建buttord型低通滤波器
[b,a]=butter（n,Wn）;
y=filter（b,a,yo）;%将混合信号yo通过该滤波器得到滤波后的信号y
其中，wp=fp/（0.5*Fs）,ws=fs/（0.5*Fs）。
这里，我们设fp为通带截止频率15Hz，fs为阻带截止频率30Hz，Fs为采样频率1000Hz，rp=3dB，rs=10dB。
接下来，我们用多次自相关法从滤波后的信号y中提取出原始信号。
语句如下：
[y,l]=xcorr（y,'unbiased'）;%对y作一次无偏差的自相关得到y
由于作一次自相关后，信号的振幅变为原来的0.5倍（A’=A^2/2=0.5，A=1），
所以我们认为y1=2*y10才是我们所得到的作一次自相关后的原始信号。
将所得到的y1信号再作一次自相关：
[yy,ll]=xcorr（y1,'unbiased'）;%对y作一次无偏差的自相关得到yy；
同理，由于振幅变化，我们认为y2=2*y20才是我们所得到的作二次自相关后的原始信号。
从图像可知，经过二次自相关后，我们就已经能够得到比较高品质原始信号。
观察图像，我们可以得到以下二个结论：
A:
经滤波、两次自相关后提取出的信号基本达到我们的预期。
虽然其振幅有所缩小，但其保持了良好的中心频率，而且均值，方差变化不大。
B:
从提取信号的频谱可以看出：
其中心频率附近仍有扰动。
对比原始信号频谱发现，此振动只能来源于噪声。
所以我们提取出的信号仍包含部分噪声。
这也是值得引起我们注意的。
五实验结论
5.1实验小结
1.在本实验中，我们分别产生了高斯白噪声和正弦信号，并且分析了它们的均值，方差，均方值，自相关函数，频谱和功率谱等六大数字特征。
2.在本实验中，我们将一个高斯白噪声加到一个正弦信号上，使混合信号成为一个微弱信号，并观察其基本其数字特征。
然后，我们又将混合信号通过低通滤波器，再经过两次自相关，从而提取出的原始信号。
通过原始信号和混合信号数字特征的对比，通过原始信号和提取出的信号数字特征的对比，我们共得到了五点结论（见实验内容部分）。
3.通过本实验，我们掌握了微弱信号的一般检测提取方法——多次自相关法。
微弱信号的方法还有很多，但我们认为这是比较简单实用的一种方法。
5.2问题分析：
1.白噪声的自相关函数应为狄拉克δ函数。
但我们在实验中发现，其自相关函数在非0处出现了波纹。
分析：
在我们的知识范围内，我们认为，造成此现象的原因有二：
一是采样点数是有限的，二是系统误差。
除此之外，我们还未能找到更好的解释。
在这点上，我们希望得到老师的帮助。
2.提取信号时，经过两次自相关后，虽有算法抵消了由自相关带来的振幅衰减，但最终提取出的信号振幅仍有所衰减。
分析：
我们将混合信号通过低通滤波器后，虽然信噪比有大幅提高，但从其频谱不难看出：
该信号仍包含一定的噪声。
这也是符合预期的。
所以在恢复由自相关带来的振幅衰减时，我们的算法不能是简单的扩大2倍（考虑到原始信号的振幅为1）。
经过两次自相关后，仅仅由扩大2倍这一算法带来的误差就能够明显地体现出来了。
3.滤波器在本次实验中是否为必须的？
分析：
在实际应用中，增加滤波器这一器件后，会带来新的噪声，这是显而易见的。
所以滤波器在本次实验中是否为必须的，这一问题具有重大的现实意义。
由于本次实验的混合信号产生于原始正弦信号与高斯白噪声的简单相加，我们知道原始信号的相关性较好，且频率成分单一，而噪声却是不相关的，所以我们在不通过滤波器的情况下直接对混合信号作多次自相关，我们发现：
当自相关次数达到三次后，滤波与否对本次信号提取的贡献不明显。
由此我们得出如下结论：
在保证自相关次数的条件下，滤波器是不必须的。
当然，在实际应用中，考虑到信号频率成分的不单一，考虑到噪声的宽频谱，先对混合信号进行滤波处理，只保留有用的频率分量，从而尽可能提高信噪比，这是很有必要的。
4.随机信号的数字特征的物理意义及其相互联系。
分析：
查阅相关文献，我们可以知道：
A.如果随机信号表示接收机的输出电压，那么它的数学期望（均值）就是输出电压的瞬时统计平均值。
B.如果随机信号表示噪声电压，则其均方值和方差分别表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流功率统计平均值。
C.随机信号的均方值=方差+均值^2
D.随机信号的自相关函数和其功率谱密度是一傅里叶变换对。
5.观察对比频谱图和功率谱密度图可以发现，它们具有相似性，那么研究随机信号的数字特征时，它们都是必需的吗？
分析：
根据频谱和功率谱密度的定义，我们发现，一个随机信号，设为x（t），若它是时间t的非周期实函数，那么它存在傅里叶变换的条件有三个，分别是：
该信号在R上满足狄里赫利条件；该信号绝对可积；该信号总能量有限。
而功率谱密度的定义却没有这些限制。
也就是说，一个信号可能不存在傅里叶变换，但我们仍能用功率谱密度去描述它。
所以研究随机信号的数字特征时，分析它的频谱和功率谱密度都是必需。
六参考文献
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566-568.
[2]周凯波,豆成权,陈涛等.两种微弱正弦信号检测方法比较研究[J].武汉理工大学学报（信息与管理工程版）,2007,29（4）:
53-55.
[3]范晓志,王长广,黄晓红等.基于小波分析和多重自相关法的微弱信号检测技术[J].计算机应用与软件,2007,24（5）:
40-41,44.
[4]杨新峰,杨迎春,苑秉成等.强噪声背景下微弱信号检测方法研究[J].舰船电子工程,2005,25（6）:
123-125.
[5]马文平,李兵兵,田红心,朱晓明.随机信号分析与应用[M].科学出版社2006.09
七附件
7.1analysis.m
%混合信号
clearall;
figure
（1）;
x=0:
1/1000:
1;
y1=cos（2*pi*10*x）;
%y2=2.5*randn（size（x））;
y2=2*wgn（1,1001,1）;%WhiteGaussianNoise
y=y1+y2;
subplot（2,3,1）,plot（x,y1）,title（'Sinsignal'）;%正弦信号
subplot（2,3,2）,plot（x,y2）,title（'WhiteGaussian'）;%高斯白噪声
subplot（2,3,3）,plot（x,y）,title（'CompositeSignal'）;%混合信号
meany=mean（y）;
subplot（2,3,4）,plot（x,meany）,title（'AverageofMix'）;%混合信号的均值
stdy=std（y）;
subplot（2,3,5）,plot（x,stdy）,title（'StandardDevofMix'）;%混合信号的标准差
rmsy=sum（y.*conj（y））/length（y）;
subplot（2,3,6）,plot（x,rmsy）,title（'QuadraticMeanofMix'）;%混合信号的均方值
figure
（2）
meany=mean（y）;
subplot（221）,plot（x,meany）,title（'AverageofMix'）;
grid;%混合信号的均值
fy=fft（y）;
ym=abs（fy）;
f=（0:
length（fy）-1）'*1000/length（fy）;
subplot（222）,plot（f,ym）,axis（[01000800]）,title（'FFTofMix'）;
grid;%混合信号的傅里叶变换
[cory,t]=xcorr（y,'unbiased'）;
subplot（223）,plot（t/1000,cory）,ti
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