届一轮复习人教A版第一部分 专题六 复数计数原理概率随机变量及其分布学案.docx

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届一轮复习人教A版第一部分专题六复数计数原理概率随机变量及其分布学案

专题六　复数、计数原理、概率、随机变量及其分布

第一讲

复数、计数原理、二项式定理

一、基础知识要记牢

（1）复数的模：

复数z＝a＋bi的模|z|＝.

（2）复数相等的充要条件：

a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）．

特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0（a，b∈R）．

（3）复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简．

二、经典例题领悟好

例1]　

（1）（2017·全国卷Ⅲ）设复数z满足（1＋i）z＝2i，则|z|＝（　　）

A.B.C.D．2

（2）（2017·浙江高考）已知a，b∈R，（a＋bi）2＝3＋4i（i是虚数单位），则a2＋b2＝________，ab＝________.

解析]　

（1）因为z＝＝＝i（1－i）＝1＋i，所以|z|＝.

（2）∵（a＋bi）2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，

∴∴或

∴a2＋b2＝5，ab＝2.

答案]　

（1）C　

（2）5　2

1.复数的相关概念及运算的技巧

（1）解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键.

（2）复数相等的问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解．

（3）复数代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则优化运算过程．

2．与复数几何意义、模有关问题的解题技巧

（1）只要把复数z＝a＋bi（a，b∈R）与向量对应起，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．

（2）有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质.

三、预测押题不能少

1．

（1）若复数（1－i）（a＋i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，1）B．（－∞，－1）

C．（1，＋∞）D．（－1，＋∞）

解析：

选B　因为z＝（1－i）（a＋i）＝a＋1＋（1－a）i，

所以它在复平面内对应的点为（a＋1,1－a），

又此点在第二象限，

所以解得a＜－1.

（2）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．

解析：

由＝＝－i是实数，得－＝0，所以a＝－2.

答案：

－2

一、基础知识要记牢

1．

（1）分类计数原理：

完成一件事情有n类方法，只需用其中一类就能完成这件事．

（2）分步计数原理：

完成一件事情共分n个步骤，必须经过这n个步骤才能完成．缺少任何一步不能完成这件事．

2．区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．

3．排列数、组合数公式：

（1）A＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）＝；

（2）C＝＝.

二、经典例题领悟好

例2]　

（1）（2017·浙江高考）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．（用数字作答）

（2）（2017·天津高考）用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答）

解析]　

（1）法一：

分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C－C＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．

法二：

不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，而没有女生的选法有AC种，故至少有1名女生的选法有AC－AC＝840－180＝660（种）．

（2）一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有CCA＝960（个），四个数字都是奇数的四位数有A＝120（个），则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1080（个）．

答案]　

（1）660　

（2）1080

解排列组合综合应用题的解题流程

三、预测押题不能少

2．

（1）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（　　）

A．12种B．18种

C．24种D．36种

解析：

选D　因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有＝6种，再分配给3个人，有A＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36（种）．

（2）某班主任准备请2018届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．（用数字作答）

解析：

若甲、乙同时参加，不同的发言顺序有2CAA＝120种；若甲、乙有一人参加，不同的发言顺序有CCA＝960种．由分类加法计数原理知，共有120＋960＝1080种不同的发言顺序．

答案：

1080

一、基础知识要记牢

（1）通项与二项式系数：

Tr＋1＝Can－rbr（r＝0,1,2，…，n），其中C叫做二项式系数．

（2）各二项式系数之和：

①C＋C＋C＋…＋C＝2n.

②C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.

二、经典例题领悟好

例3]　

（1）（2017·温州模拟）在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为（　　）

A．15B．45C．135D．405

（2）（2017·浙江高考）已知多项式（x＋1）3（x＋2）2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.

解析]　

（1）令n中x为1，得各项系数和为4n，展开式的各项二项式系数和为2n.

∵各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，

∴＝64，解得n＝6，

∴二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·3r·x

，

令6－r＝3，解得r＝2，故展开式中含x3项的系数为C·32＝135.

（2）由题意知a4为含x的项的系数，根据二项式定理得a4＝C×12×C×22＋C×13×C×2＝16，a5是常数项，所以a5＝C×13×C×22＝4.

答案]　

（1）C　

（2）16　4

解决此类问题的5个关键

（1）Tr＋1表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；

（2）Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；

（3）公式中a，b的指数和为n，且a，b不能颠倒位置；

（4）要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；

（5）对二项式（a－b）n展开式的通项公式要特别注意符号问题.

三、预测押题不能少

3．

（1）二项式（x＋）n（n∈N）的展开式中只有一项的系数为有理数，则n的可能取值为（　　）

A．6B．7C．8D．9

解析：

选B　由题意，展开式中项的系数为C·3

·2

，由系数为有理数，知n－r是2的倍数，r是3的倍数，易知n＝7，r＝3时满足题意．故选B.

（2）若n的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则n＝________；该展开式中的常数项为________（用数字作答）．

解析：

由题意，得2n＝64⇒n＝6，由二项展开通项公式可知Tr＋1＝Cx2（6－r）－r＝Cx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，故常数项为C＝15.

答案：

6　15

知能专练（十九）]

一、选择题

1．（2017·全国卷Ⅱ）（1＋i）（2＋i）＝（　　）

A．1－iB．1＋3i

C．3＋iD．3＋3i

解析：

选B　（1＋i）（2＋i）＝2＋i2＋3i＝1＋3i.

2．（2017·全国卷Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是（　　）

A．i（1＋i）2B．i2（1－i）

C．（1＋i）2D．i（1＋i）

解析：

选C　A项，i（1＋i）2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；

B项，i2（1－i）＝－（1－i）＝－1＋i，不是纯虚数；

C项，（1＋i）2＝2i,2i是纯虚数；

D项，i（1＋i）＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.

3．（2017·云南模拟）在10的二项展开式中，x4的系数为（　　）

A．－120B．－60

C．60D．120

解析：

选A　10的展开式的通项Tr＋1＝Cx10－r·r＝（－1）rCx10－2r，令10－2r＝4，得r＝3，所以该二项展开式中x4的系数为－C＝－120.

4．旅游体验师小李受某旅游站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方案有（　　）

A．24种B．18种

C．16种D．10种

解析：

选D　若甲景区在最后一个体验，则有A种方案；若甲景区不在最后一个体验，则有AA种方案．所以小李旅游的方案共有A＋AA＝10（种）．

5．（2017·全国卷Ⅰ）（1＋x）6展开式中x2的系数为（　　）

A．15B．20

C．30D．35

解析：

选C　（1＋x）6展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以（1＋x）6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30.

6．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有（　　）

A．288种B．144种

C．72种D．36种

解析：

选B　首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法有C种；其次将获得同一道题目的2位教师选出，选法有C种；最后将选出的3道题目分配给3组教师，分配方式有A种．由分步乘法计数原理，知满足题意的情况共有CCA＝144（种）．

7．（2017·长沙调研）5的展开式中x2y3的系数是（　　）

A．－20B．－5

C．5D．20

解析：

选A　5展开式的通项Tr＋1＝C5－r·（－2y）r＝C·5－r·（－2）r·x5－r·yr，令r＝3，得x2y3的系数为C·2·（－2）3＝－20.

8．学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有（　　）

A．70种B．140种

C．840种D．420种

解析：

选D　从9名同学中任选3名分别到A，B，C三地进行社会调查有CA种安排方法，3名同学全是男生或全是女生有（C＋C）A种安排方法，故选出的同学中男女均有的不同安排方法有CA－（C＋C）A＝420（种）．

9．（2017·合肥质检）已知（ax＋b）6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与－18，则（ax＋b）6的展开式中所有项系数之和为（　　）

A．－1B．1

C．32D．64

解析：

选D　由二项展开式的通项公式可知x4项的系数为Ca4b2，x5项的系数为Ca5b，则由题意可得解得a＋b＝±2，令x＝1，得（ax＋b）6的展开式中所有项的系数之和为（a＋b）6＝64，故选D.

10．（2017·全国卷Ⅲ）（x＋y）（2x－y）5的展开式中x3y3的系数为（　　）

A．－80B．－40

C．40D．80

解析：

选C　当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含x2y3的项，即C（2x）2（－y）3，当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即C（2x）3（－y）2，所以x3y3的系数为C×23－C×22＝10×（8－4）＝40.

二、填空题

11．（2018届高三·金丽衢十二校联考）设a∈R，若复数z＝（i为虚数单位）的实部和虚部相等，则a＝________，||＝________.

解析：

依题意，得＝＝