一次函数.docx
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一次函数
解：
（1）r、s是变量，π是常量；
（2）t、s是变量，v是常量.
教师点拨：
π是圆周率，是定值，是常量，半径r每取一个值都有唯一的s
5.若等腰三角形底角度数值为x，则顶角度数值y与x的关系式是y=-2x＋180，变量是x，y，常量是-2，180.
6.在△ABC中，它的底边长是a，底边上的高是h，则三角形的面积S=
ah，当底边a的长一定时，在关系式中的常量是
，a，变量是S，h.
7.已知水池里有水200m3，每小时向水池里注水20m3，设注水时间为x小时，水池里共有水ym3，用含x的式子表示y，则y=20x+200，其中变量为x，y，常量为20，200.
8.汽车油箱里有40L汽油，在行驶过程中每小时耗油0.2L，据此回答下列问题：
（1）汽车行驶1h后，油箱里还有39.8L汽油，行驶6h后油箱里还有38.8L汽油；
（2）这一变化过程中共有几个量？
其中哪些是变量？
哪些是常量？
解：
略.
（3）设汽车的行驶时间为xh，油箱里的剩余油量为QL，请用含x的式子表示Q；
解：
Q＝-0.2x＋40.
（4）这辆汽车最多能行驶多少小时?
解：
200小时.
9.写出下列各问题中的数量关系，并指出各个关系式中的常量和变量.
（1）购买单价为5元的钢笔n支，共花去y元；
（2）全班50名同学，有a名男同学，b名女同学；
（3）汽车以60km/h的速度行驶了th，所走过的路程为skm.
解：
略.
10.人的心跳速度通常与人的年龄有关，如果a表示一个人的年龄，b表示正常情况下每分钟心跳的最高次数，经过大量试验，有如下的关系：
b=0.8（220-a）.
（1）上述关系中的常量与变量各是什么？
（2）正常情况下，一名15岁的学生每分钟心跳的最高次数是多少？
解：
（1）常量0.8，220，变量a,b；
（2）164.
课堂小结
常量和变量是普遍存在的，它们只是相对于某个变化过程而言的两个概念，因此对它们的差别应紧扣定义及相应的实际背景.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
14.1.2函数
1.认识变量中的自变量与函数.
2.进一步理解掌握确定函数关系式.
3.会确定自变量的取值范围.
阅读教材P95-97的“归纳与思考”，独立完成下列问题：
知识准备
在计算器上按照下面的程序进行操作：
填表：
x
1
3
-4
0
101
y
7
11
-3
5
207
思考:
在上述的程序中，存在的2个变量是x和y，当x变化时，y也随之变化，当x确定后，y有唯一的一个值与其对应.
知识探究
总结归纳：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个变化值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数.
自学反馈
下列是关于变量x、y的关系式：
①4x+y=10;②y=±x;③y=x2;④3x-y2=4，表示y是x的函数的是①③.
教师点拨：
根据函数的定义进行判断.
阅读教材P97-98的“探究及例1”，独立完成下列问题：
知识探究
（1）用总长为60m的篱笆转成长方形场地，长方形面积S（m2）与一边长l（m）之间的关系式为S=-l2＋30l，自变量l的取值范围是0＜l＜30；
（2）一般地，对于一个已知的函数，自变量的取值范围是使这个函数有意义的一切值；对于一个实际问题，自变量的取值必须使实际问题有意义.
活动1学生独立完成
例1下列变量之间不是函数关系的是（D）
A.正方形的边长与面积
B.长方体的底面积与体积（高一定）
C.等腰三解形的底边一定，高与面积
D.长方形的长与面积
教师点拨：
判断两个变量之间是否存在函数关系，首先看是否有两个变量，然后看这两个变量是否是每一个自变量对应唯一值.
例2某火力发电厂，贮存煤1000吨，每天发电用煤50吨，设发电天数为x，该电厂开始发电后，贮存煤量为y（吨）.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）为了保障电厂正常发电，工厂每天将从外地运回煤45吨，请写出按此方案执行时，y与x之间的函数关系式，并求出发电30天时，电厂贮存煤多少吨？
解：
（1）y=-50x+1000；
（2）y=-5x+1000，
当x=30时，y=-5×30+1000=850.
∴当发电30天时，电厂贮存煤850吨.
教师点拨：
电厂贮存的煤量与原贮存量，每天发电的用煤量，每天从外地运回的煤量，以及发电天数有关.
例3求下列函数中自变量x的取值范围.
（1）y=3x-1
（2）y=
（3）y=
（4）y=
解：
（1）x取任意实数；
（2）依题意得x+2≠0.
∴x≠-2；
（3）依题意得x-2≥0.
∴x≥2；
（4）依题意得
∴x≥-1且x≠0.
教师点拨：
求函数中自变量x的取值范围，就是求使关系式有意义的x的取值范围.
活动2跟踪训练
1.下列变量间的关系：
①人的身高与年龄；②矩形的周长与面积；③圆的周长与面积；④商品的单价一定，其销售额与销售量，其中是函数关系的有③④.
教师点拨：
一是明确已知两个变量是什么；二是看两个变量之间是否存在一一对应关系.
2.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，自变量是时间.
教师点拨：
每取一个时间点，有一个唯一的体温值与之对应，所以自变量是时间.
3.下列四个关系式：
①y=
;②
=x;③2x2-y=0;④2x-y2=0，其中y是x的函数的是①③.
4.在函数y=
中，当函数值y=1时，自变量x的值是2；当自变量x=1时，函数y的值是
.
教师点拨：
已知函数关系式与两个变量中一个变量的值，可以求出另一个变量的值.
5.蓄水池中原有水800m3，每小时从中放出60m3的水.
（1）写出池中的剩余水量Q（m3）与放水时间t（h）之间的函数关系式；
（2）写出自变量t的取值范围；
（3）12h后，池中还有多少水？
解：
（1）Q＝-60t＋800；
（2）O≤t≤
；（3）80m3.
教师点拨：
实际问题中的函数关系，自变量除了要使函数关系式本身有意义，还要满足实际意义.此题要根据函数Q的取值范围0≤Q≤800来确定自变量t的取值范围.
课堂小结
1.判断变量之间是否存在函数关系，主要抓住两点：
一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；自变量的每一个确定的值，函数都有且只有一个值与之对应.
2.确定自变量取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意使实际问题有意义.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
14.1.3函数的图象
第1课时
1.学会用列表、描点、连线画函数图象.
2.学会观察、分析函数图像信息.
阅读教材P99-101的“思考及例2”，独立完成下列问题：
知识探究
（1）已知函数y=x+1，按要求完成以下步骤：
①当x=-3，x=-2，x=-1，x=0，x=1，x=2，x=3时，求出对应的y的值；
②将每一对值都写成（x，y）这的形式，当作一个点的坐标，在直角坐标系中描出这些点，并将它们依次连接起来；
③指出描出的图象的形状.
（2）归纳①：
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别做为点的横、纵坐标，那么平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
归纳②：
当函数图象从左向右上升时，函数值随自变量由小变大而由小变大；当图象从左向右下降，函数值随自变量由小变大而由大变小.
教师点拨：
明确已知自变量和函数值中的任意一个量可根据解析式求出另一个量，同时可在坐标系中找到与之对应的点，如果已知函数的图象上的某一点的横纵坐标，代入解析式两边可使等式成立.
自学反馈
（1）下列各点在函数y=x+2的图像上的有A、B、C、D.
A.（1，3） B.（-2，0） C.（4.1，6.1）
D.（-6，-4） E.（-5，3）
（2）蜡是非晶体，在加热过程中先要变软，然后逐渐变稀，然后全部变为液态，整个过程温度不断上升，没有一定的熔化温度，如下图所示，四个图象中表示蜡熔化的是（C）
教师点拨：
可用排除法，应该温度不断上升，可排除B、D，而A的图象显示温度有一断时间出现恒定不变，与题意不符，故排除.
阅读教材P102-103的“例3及思考”，独立完成下列问题：
知识探究
描点法画函数图像的一般步骤：
（1）列表；
（2）描点；（3）连线.
活动1学生独立完成
例1一位旅行者在早晨8点从城市出发到乡村，第一小时走了5千米，然后他上坡，1小时走了3千米，以后就休息30分钟；休息后事平均每小时走4千米，在中午12时到达乡村，他离开城市的距离s跟出发的时间之间的函数关系如图所示，根据图回答：
（1）旅行都9时、10时30分、11时离开城市的距离分别为_____________;
（2）他停下来休息时，离开城市的距离是__________；
（3）乡村离城市有_________千米路程；
（4）旅行者离开城市6千米、10千米、12千米、14千米的时间分别为__________.
解：
（1）距离分别为5千米、8千米、10千米；
（2）停下休息时，离开城市的距离是8千米；
（3）乡村离城市有14千米路程；
（4）时间分别为9点20分，11点，11点半，12点.
教师点拨：
通过此题的训练使学生熟练掌握通过函数图象，结合题目所给信息解决实际问题，此类题首先要弄清楚横纵轴分别表示什么实际意义，再结合图象弄清楚每段图象分别表示的实际意义.
例2作出函数y=
的图象.
解：
（1）列表.
x
-6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
6
y
1
1.5
2
3
6
-6
-3
-2
-1.5
-1
（2）描点、连线，如图.
教师点拨：
画函数图象要经列表、描点、连线三个步骤，列表时自变量取值要有代表性（自变量不可以只取正数，也不可以只取负数），自变量不为0，表示图象不是连续的，在自变量为0时，图象断开，分为两段.
活动2跟踪训练
1.某证券交易所提供的某种股票一周内的涨跌的情况如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）此种股票在星期二收盘时，每股多少元？
（2）星期几涨幅最大？
（3）从星期几股票开始下跌？
解：
（1）36元；
（2）星期三；（3）星期五.
教师点拨：
首先弄清图象横、纵坐标表示什么；注意图象上的最高点和最低点；从左到右上升线表示函数随自变量的增大而增大，从左到右下降线表示函数随自变量的增大而减小，水平线表示函数不随自变量的变化而变化.
2.如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用y（元）与托运行李的重量x（千克）的关系，由图中可知行李的质量只要不超过2千克，就可以免费托运.
3.下列各点中在函数y=3x+1的图象上的是（D）
A.（1，-2） B.（-1，-4）
C.（2，0） D.（0，1）
4.若点（2，-3）在函数y=
的图象上，则k=-6.
5.某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，下图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（A）
A.修车时间为15分钟
B.学校离家的距离为2000米
C.到达学校时共用时间20分钟
D.自行车发生故障时离家距离为1000米
6.甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间的关系如图所示，由图可以知道：
（1）这是一次100米赛跑；
（2）甲、乙两人先到达终点的是甲；
（3）在这次赛跑中甲的速度为
米/秒，乙的速度为8米/秒.
7.已知函数y=2x-1
（1）试判断点A（-1，3）和点B（
）是否在此函数的图象上；
（2）已知点（a，a+1）在此函数图象上，求a的值.
解：
（1）A点不在，B点在；
（2）a＝2.
教师点拨：
判断点是否在函数的图象上，就是把横纵坐标分别代入表达式的左右两边看等式是否成立.
8.下列各曲线中哪些表示y是x的函数？
① ② ③ ④
解：
①，②，③
教师点拨：
在x轴上任取一点，看与之对应的y值，如果是唯一的，就是函数关系，反之则不是，多取几点.（可在x轴上取一点做x轴的垂线，看它与图象的交点）
课堂小结
学生尝试小结：
这节课你学到了什么?
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
第2课时
1.总结函数三种表示方法，了解三种表示方法的优缺点.
2.会根据具体情况选择适当方法.
阅读教材P105-106的“例4”，独立完成下列问题：
知识探究
（1）函数的表示方法：
解析式法、图像法、列表法.
（2）三种函数表示方法的优缺点：
①__________法能明显地显示出自变量与其对应的函数值，但具有______性；
②__________法形象直观，但画出的图象是近似的局部的，往往不够准确；
③__________法的优点是简单明了，但它在求对应值时，往往需要复杂的计算才能得出.
自学反馈
（1）用列表法与解析式法表示n边形的内角和m（单位：
度）是边数n的函数；
（2）用解析式法与图象法表示等边三角形的周长l是边长a的函数.
教师点拨：
列表法时要注意所取值要有一定的代表性，一般取整数点，便于描点画图.
活动1学生独立完成
例1已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为ycm，一腰长为xcm.
（1）确定y与x之间的函数关系式；
（2）确定x的取值范围；
（3）画出函数的图象.
解：
（1）依题意，得y=12-2x.
（2）
∴自变量x的取值范围是3＜x＜6.
（3）列表：
x
3
4
5
5.5
6
y
6
4
2
1
0
描点、连线，其图象如图所示.
教师点拨：
根据等腰三角形的周长确定底边长y与腰长x间的函数关系式；在确定自变量的取值范围时，注意两腰长之和小于周长，组成三角形要保证底边长小于两腰之和；画函数图象分三个步骤进行，在描点时要注意空心圆圈和实心圈点的区别.
例2下列各点中哪些在函数y=2x-3的图象上？
A.（1，-2） B.（-2.5，-8）
C.（0，-2） D.（101，99）
解：
点B在该函数图像上.
教师点拨：
平面上的点，若横、纵坐标满足函数的解析式，则这个点就在这个函数的图象上.
活动2跟踪训练
1.一辆汽车与一辆摩托车分别从A、B两地去同一城市，它们离A地的路随时间变化的图象如图所示，则下列结论错误的是（C）
A.摩托车比汽车晚到1hB.A、B两地的路为20km
C.摩托车的速度为45km/hD.汽车的速度为60km/h
教师点拨：
弄清楚横纵轴分别表示量，图象上的点分别表示的实际意义.
2.某消防水池蓄水900m3，一次消防演习时每分钟抽水15m3去灭火，抽水时间为t（分），池中的剩余水量为V（m3）.①写出剩余水量V与时间t的函数关系式；②写出自变量t的取值范围；③画出此函数的图象；④火被扑灭，演习结束，这时池中还有水525m3，这次演习抽水灭火用了多少分钟？
解：
①V＝-15t＋900；②0≤t≤60；③略；④25分钟.
教师点拨：
根据消防池中的剩余水量等于原有水量减去抽出水量建立函数关系式，抽水时间t与剩余水量V都是非负数，可确定t的取值范围.
3.y=ax+b的图象过点（0，-2）和点（1，1），求这个函数的解析式.
解：
y=3x-2.
课堂小结
1.通过函数的解析式列表，画出图象，根据图表读出其中的信息来解决实际问题，体现了数学中的一个重要思想方法——数形结合思想.
2.平面上的点，若横、纵坐标满足函数的解析式，则这个点就在这个函数的图象上，否则就不在函数的图象上.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
14.2一次函数
14.2.1正比例函数
1.认识正比例函数的意义.
2.掌握正比例函数解析式特点.
3.理解正比例函数图象性质及特点.
阅读教材P110-111的“思考及归纳”，独立完成下列问题：
知识探究
归纳：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
自学反馈
下列函数中，y是x的正比例函数的是（C）
A.y=4x+1 B.y=2x2C.y=-
x D.y=
教师点拨：
根据正比例函数的定义去判定.
阅读教材P111-112的“例1”，独立完成下列问题：
知识探究
归纳：
（1）正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，也称它为直线y=kx；
（2）画y=kx的图象时，一般选原点和任意一点画直线，简称两点法.
自学反馈
下列图象中，是正比例函数y=2x的图象的是（B）
教师点拨：
正比例函数必过原点，据此可排除A、C、D.
阅读教材P112-113的“归纳与思考”，独立完成下列问题：
知识准备
在同一坐标系中，画出下列函数的图象
（1）y=
x
（2）y=-
x
教师点拨：
可利用两点法来画图象.
知识探究
归纳：
（1）当k>0时，直线y=kx依次经过第____象限，从左向右______，y随x的增大而________.
（2）当k<0时，直线y=kx依次经过第_______象限，从左向右______，y随x的增大而________.
教师点拨：
根据正比例函数解析式的比例系数的取值判断该函数图象位置，也可以根据正比例函数图象的位置判断该函数比例系数的取值.
自学反馈
若函数y=kx（k≠0）的图象经过P（-2，6），则k=-3，图象经过二，四象限.
教师点拨：
将P点的坐标代入解析式可求出k值，再根据正比例函数图象的性质判断出图象的所经过的象限.
活动1学生独立完成
例1
（1）若函数y=（k-1）x|k|（k为常数）为正比例函数，求k的值；
（2）y与x2成正比例函数，且x=-1时，y=6，求y与x的关系式.
解：
（1）∵y=（k-1）
（k为常数）为正比例函数，
解得k=-1.
（2）设y=kx2（k≠0）
∵x=-1时，y=6，∴（-1）2k=6.
∴k=6.∴y=6x2.
教师点拨：
（1）y、x的次数为1，x系数不为0；
（2）根据正比例函数的定义，可设出一般形式，然后再把所给的值代入，转化成方程问题来解决.
例2根据下列条件求函数的解析式：
函数y=（k2-9）x2+（k+1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小.
解：
由题意，得k2-9=0.
∴k=3或k=-3.
∵y随x的增大而减小,
∴k+1<0.
∴k=-3.
∴y与x的函数关系式是y=-2x.
教师点拨：
此题考查了两个知识点，一是正比例函数的定义，二是正比例函数图象的性质.
活动2跟踪训练
1.下列函数中，是正比例函数的是（B）
A.y=
B.y=
C.y=3x+9 D.y=2x2
2.若函数y=-6x1-n是正比例函数，则n=0.
3.已知y与x+2成正比例，且x=1时，y=-6，求y与x的函数关系式.
解：
y=-2x-4
教师点拨：
此类正比例函数概念的考查问题，主要从自变量的指数为1，比例系数不为0两个方面来考虑.
4.关于函数y=-2x，下列判断正确的是（C）
A.图象必经过点（-1，-2）
B.图象经过第一、三象限
C.y随x的增大而减小
D.不论x为何值，总有y<0
5.某函数具有下列性质：
①它的图象是经过原点（0，0）的一条直线；②y值随x的值增大而减小，请你写出一个满足上述两个条件的函数解析式_________，该函数经过_________象限.
6.若函数y=（2m+6）x2+（1-m）x是正比例函数，则其解析式是y=4x，该图象经过一，三象限，y随x的增大而增大.当x1课堂小结
学生尝试小结：
这节课你学到了什么？
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
14.2.2一次函数
第1课时
1.理解一次函数的概念及其与正比例函数的关系.
2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式.
阅读教材P113-114的“思考及归纳”，独立完成下列问题：
知识探究
归纳：
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数.
自学反馈
（1）下列函数中是一次函数的是①,④.
①y=-8x ②y=
③y=5x2+6 ④y=-0.5x-1
（2）一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2米/秒.
①求小球速度v随时间t变化的函数关系式，它是一次函数吗？
②求第2.5秒时小球的速度.
解：
①v＝2t，是一次函数；②5m/s.
（3）汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y（单位：
升）随行驶时间x（单位：
时）变化的函数解析式，并写出自变量x的取值范围，y是x的一次函数吗？
解：
y=-5x+50（0≤x≤10），y是x的一次函数.
教师点拨：
根据题意写出相应的关系式，再根据一次函数定义来判断它是否是一次函数.
活动1学生独立完成
例1已知函数y=（k-2）x+2k+1，若它是正比例函数，求k的值，若它是一次函数，求k的值.
解：
若y=（k-2）x+2k+1是正比例函数，则2k+1=0，即k=
.
若y=（k-2）x+2k+1是一次函数，则k-2≠0，即k≠2.
教师点拨：
根据一次函数和正比例函数的定义，易求得k的值.
例2某电信公司的一种通话收费标准是：
不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费10元，另外，每通话1分缴费0.10元.
（1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系式；
（2）某用户本月通话120分钟，他是费用是多少元；
（3）若某用户本月预交了200元，那么该用户本月可以通话多长时间？
解：
（1）y=0.1x+10（x≥0）；
（2）当x=120时，y=22（元）；
（3）当y=200时，x=1900（分钟）.
教师点拨：
应缴话费=月租费+通话费，已知一次函数解析式和两个变量中的一个，可求出另一个变量.
活动2跟踪训练
1.下列说法错误的是（D）
A.正比例函数y=-2x也是一次函数B.函数y=3x-2是一次函数
C.函数y=2x2-2不是一次函数D.函数y=kx+b一定是一次函数
2.已知函数y=（m-1）
+3m表示一次函数，则m的值是（B）
A.1 B.-1 C.±1 D.0或-1
3.若函数y=ax-（3a-3）的图象过原点，则a=1，此时函数是正比例函数.
教师点拨：
一次函数和正比例函数一样要满足两个条件，一是指数为1，二是系
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