第三章第五节.docx

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第三章第五节

第三章第五节

第五节　研究洛伦兹力

[学习目标]　1.通过实验，观察阴极射线在磁场中的偏转，认识洛伦兹力.2.会用左手定则判断洛伦兹力的方向.3.掌握洛伦兹力公式的推导过程，会计算洛伦兹力的大小．

一、洛伦兹力的方向

[导学探究]　如图1所示，电子由阴极向阳极运动（向右运动）过程中发生了向下偏转，试问：

图1

（1）什么力使电子在运动过程中向下偏转？

该力的方向如何？

（2）当磁场方向改变时，电子束运动的径迹弯曲的方向是否改变？

电子所受洛伦兹力与磁场方向、电子运动方向存在什么关系？

答案　

（1）洛伦兹力　向下

（2）改变，电子所受洛伦兹力与磁场方向垂直，与电子运动方向垂直，满足左手定则．

[知识梳理]

1．洛伦兹力：

磁场对运动电荷的作用力称为洛伦兹力．

2．阴极射线：

在阴极射线管中，从阴极发射出来的电子束称为阴极射线．

3．实验表明：

当运动电荷的速度方向与磁场方向平行时，运动电荷受到的洛伦兹力为零．当运动电荷的速度方向与磁场方向垂直时，运动电荷受到的洛伦兹力的方向既与磁场方向垂直，又与速度方向垂直．

4．左手定则：

伸开左手，使大姆指跟其余四个手指垂直，且处于同一平面内，把手放入磁场中，让磁感线垂直穿入手心，四指指向为正电荷运动的方向，那么，拇指所指的方向就是正电荷所受洛伦兹力的方向．运动的负电荷在磁场中所受的洛伦兹力，方向跟沿相同方向运动的正电荷所受力的方向相反．

二、洛伦兹力的大小

[导学探究]　如图2所示，磁场的磁感应强度为B.设磁场中有一段长度为L的通电导线，横截面积为S，单位体积中含有的自由电荷数为n，每个自由电荷的电荷量为q且定向运动的速率都是v.

图2

（1）导线中的电流是多少？

导线在磁场中所受安培力多大？

（2）长为L的导线中含有的自由电荷数为多少？

每个自由电荷所受洛伦兹力多大？

答案　

（1）I＝nqvS　F安＝ILB＝nqvSLB

（2）N＝nSL　f＝

＝qvB

[知识梳理]

1．洛伦兹力与安培力的关系

（1）安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现．而洛伦兹力是安培力的微观本质．

（2）洛伦兹力对电荷不做功，但安培力却可以对导体做功．

2．洛伦兹力的大小：

f＝qvBsinθ，θ为电荷运动的方向与磁感应强度方向的夹角．

（1）当电荷运动方向与磁场方向垂直时：

f＝qvB；

（2）当电荷运动方向与磁场方向平行时：

f＝0；

（3）当电荷在磁场中静止时：

f＝0.

[即学即用]

1．判断下列说法的正误．

（1）运动电荷在磁场中一定受洛伦兹力．（　×　）

（2）同一电荷，以相同大小的速度进入磁场，速度方向不同时，洛伦兹力的大小也可能相同．（　√　）

（3）洛伦兹力同电场力一样，可对运动电荷做正功或负功．（　×　）

（4）判断电荷所受洛伦兹力的方向时应同时考虑电荷的电性．（　√　）

2.如图3所示，两平行板之间有互相垂直的匀强电场和匀强磁场．一个带正电的粒子（不计重力）沿直线从左向右匀速穿过，则粒子受到的洛伦兹力的方向为________，A板带_____电．

图3

答案　竖直向上　正

一、洛伦兹力的大小和方向

例1

　如图4所示，各图中的匀强磁场的磁感应强度均为B，带电粒子的速率均为v，带电荷量均为q.试求出图中带电粒子所受洛伦兹力的大小，并指出洛伦兹力的方向．

图4

答案　

（1）qvB　垂直v指向左上方

（2）

qvB　垂直纸面向里

（3）不受洛伦兹力

（4）qvB　垂直v指向左上方

解析　

（1）因v⊥B，所以f＝qvB，由左手定则可知洛伦兹力方向垂直v指向左上方．

（2）v与B的夹角为30°，将v分解成垂直磁场的分量和平行磁场的分量，v⊥＝vsin30°，f＝qvBsin30°＝

qvB.方向垂直纸面向里．

（3）由于v与B平行，所以不受洛伦兹力．

（4）v与B垂直，f＝qvB，方向垂直v指向左上方．

计算洛伦兹力的大小时，应注意弄清v与磁感应强度B的方向关系.当v⊥B时，洛伦兹力f＝qvB，当v∥B时，f＝0，当v与B成θ角（0°＜θ＜90°）时，应将v（或B）进行分解取它们垂直的分量计算.

二、带电粒子在匀强磁场中的直线运动

1．带电粒子在匀强磁场中做直线运动的两种情景

（1）速度方向与磁场平行，不受洛伦兹力作用，可做匀速直线运动，也可在其他力作用下做变速直线运动．

（2）速度方向与磁场不平行，且除洛伦兹力外的各力均为恒力，若轨迹为直线则必做匀速直线运动．带电粒子所受洛伦兹力也为恒力．

2．速度选择器的工作原理

（1）装置及要求

如图5，两极间存在匀强电场和匀强磁场，二者方向互相垂直，带电粒子从左侧射入，不计粒子重力．

图5

（2）带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qE＝qvB，即v＝

.

（3）速度选择器的特点

①v的大小等于E与B的比值，即v＝

.可知速度选择器只对选择的粒子速度有要求，而对粒子的质量、电荷量大小及带电正、负无要求．

②当v＞

时，粒子向f方向偏转，F电做负功，粒子的动能减小，电势能增大．

③当v＜

时，粒子向F电方向偏转，F电做正功，粒子的动能增大，电势能减小．

例2

　（多选）在图6中虚线所示的区域存在匀强电场和匀强磁场．取坐标如图所示，一带电粒子沿x轴正方向进入此区域，在穿过此区域的过程中运动方向始终不发生偏转，不计重力的影响，电场强度E和磁感应强度B的方向可能是（　　）

图6

A．E和B都沿x轴方向

B．E沿y轴正向，B沿z轴正向

C．E沿z轴正向，B沿y轴正向

D．E、B都沿z轴方向

答案　AB

解析　本题没有说明带电粒子的带电性质，为便于分析，假定粒子带正电．A选项中，磁场对粒子作用力为零，电场力与粒子运动方向在同一直线上，运动方向不会发生偏转，故A正确；B选项中，电场力方向向上，洛伦兹力方向向下，当这两个力平衡时，粒子运动方向可以始终不变，B正确；C选项中，电场力、洛伦兹力都沿z轴正方向，将做曲线运动，C错；D选项中，电场力沿z轴方向，洛伦兹力沿y轴方向，两力不可能平衡，粒子将做曲线运动，D错．如果粒子带负电，仍有上述结果．

针对训练　一个带正电的微粒（重力不计）穿过如图7所示的匀强磁场和匀强电场区域时，恰能沿直线运动，则欲使微粒向下偏转时应采用的方法是（　　）

图7

A．增大电荷质量

B．增大电荷量

C．减小入射速度

D．增大磁感应强度

答案　C

解析　微粒在穿过这个区域时所受的力为：

竖直向下的电场力Eq和竖直向上的洛伦兹力qvB，且此时Eq＝qvB.若要使微粒向下偏转，需使Eq＞qvB，则减小速度v、减小磁感应强度B或增大电场强度E均可．

三、带电体在匀强磁场中的运动问题

例3

　一个质量为m＝g的小滑块，带有q＝5×10－4C的电荷量，放置在倾角α＝30°的光滑斜面上（绝缘），斜面固定且置于B＝T的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，如图8所示，小滑块由静止开始沿斜面滑下，斜面足够长，小滑块滑至某一位置时，将要离开斜面（g取10m/s2）．求：

（计算结果保留两位有效数字）

图8

（1）小滑块带何种电荷？

（2）小滑块离开斜面时的瞬时速度多大？

（3）该斜面长度至少多长？

答案　

（1）负电荷　

（2）m/s　（3）m

解析　

（1）小滑块在沿斜面下滑的过程中，受重力mg、斜面支持力FN和洛伦兹力f作用，如图所示，若要使小滑块离开斜面，则洛伦兹力f应垂直斜面向上，根据左手定则可知，小滑块应带负电荷．

（2）小滑块沿斜面下滑的过程中，由平衡条件得f＋FN＝mgcosα，当支持力FN＝0时，小滑块脱离斜面．设此时小滑块速度为vmax，则此时小滑块所受洛伦兹力f＝qvmaxB，

所以vmax＝

＝

m/s≈3.5m/s.

（3）设该斜面长度至少为l，则临界情况为：

小滑块从斜面顶端开始下滑，刚滑到斜面底端时恰好脱离斜面．因为下滑过程中只有重力做功，由动能定理得

mglsinα＝

mv

－0，

所以斜面长至少为l＝

＝

m＝m.

分析带电体在匀强磁场中运动应注意的问题

1．注意受力情况和运动情况的分析．带电体在磁场中速度变化时洛伦兹力的大小随之变化，并进一步导致压力、摩擦力的变化，物体在变力作用下将做变加速运动．

2．注意规律的选用和临界状态分析．分析带电体的运动，注意利用牛顿运动定律和平衡条件分析各物理量的动态变化．

例4

　（多选）如图9所示，质量为m的带电绝缘小球（可视为质点，不计空气阻力）用长为l的绝缘细线悬挂于O点，在悬点O下方有匀强磁场．现把小球拉离平衡位置后从A点由静止释放，则下列说法中正确的是（　　）

图9

A．小球从A至C和从D至C到达C点时，速度大小相等

B．小球从A至C和从D至C到达C点时，细线的拉力相等

C．小球从A至C和从D至C到达C点时，加速度相同

D．小球从A至C和从D至C过程中，运动快慢一样

答案　ACD

解析　由题意可知，当进入磁场后，才受到洛伦兹力作用，且力的方向与速度垂直，所以只有重力做功，则小球从A至C和从D至C到达C点时，速度大小相等，加速度相同，从A至C和从D至C过程中，运动快慢也一样，A、C、D正确；由于进出磁场的方向不同，由左手定则可知，洛伦兹力方向不同，所以细线的拉力大小不同，故B错误．

1．下图中，电荷的速度方向、磁场方向和电荷的受力方向之间关系的正确的是（　　）

答案　C

解析　选项A、B中电荷速度方向与磁感线方向平行，不受洛伦兹力，故选项A、B错误；由左手定则知C选项正确；选项D中负电荷受洛伦兹力向上，故D错误．

2．（多选）如图10所示为速度选择器装置，场强为E的匀强电场与磁感应强度为B的匀强磁场互相垂直．一带电荷量为＋q，质量为m的粒子（不计重力）以速度v水平向右射入，粒子恰好沿直线穿过，则下列说法正确的是（　　）

图10

A．若带电粒子带电荷量为＋2q，粒子将向下偏转

B．若带电粒子带电荷量为－2q，粒子仍能沿直线穿过

C．若带电粒子速度为2v，粒子不与极板相碰，则从右侧射出时电势能一定增加

D．若带电粒子从右侧水平射入，粒子仍能沿直线穿过

答案　BC

解析　粒子恰好沿直线穿过，电场力和洛伦兹力均垂直于速度，故合力为零，粒子做匀速直线运动；根据平衡条件，有：

qvB＝qE，解得：

v＝

，只要粒子运动方向不变且速度大小为

，就能沿直线匀速通过选择器，故A错误，B正确，若带电粒子速度为2v，电场力不变，洛伦兹力变为原来的2倍，故会偏转，克服电场力做功，电势能增加，故C正确；若带电粒子从右侧水平射入，电场力方向不变，洛伦兹力方向反向，故粒子一定偏转，故D错误．

3.带电油滴以水平速度v0垂直进入磁场，恰做匀速直线运动，如图11所示，若油滴质量为m，磁感应强度为B，则下述说法正确的是（　　）

图11

A．油滴必带正电荷，电荷量为

B．油滴必带正电荷，比荷

＝

C．油滴必带负电荷，电荷量为

D．油滴带什么电荷都可以，只要满足q＝

答案　A

解析　油滴水平向右做匀速直线运动，其所受的洛伦兹力必向上且与重力平衡，故带正电荷，其电荷量为q＝

，A正确，C、D错误；比荷

＝

，B错误．

4.如图12所示，a为带正电的小物块，b是一不带电的绝缘物块（设a、b间无电荷转移），a、b叠放于粗糙的水平地面上，地面上方有垂直于纸面向里的匀强磁场．现用水平恒力F拉b物块，使a、b一起无相对滑动地向左做加速运动，则在加速运动阶段（　　）

图12

A．a对b的压力不变B．a对b的压力变大

C．a、b物块间的摩擦力变大D．a、b物块间的摩擦力不变

答案　B

解析　a、b整体受总重力、拉力F、向下的洛伦兹力qvB、地面的支持力FN和摩擦力f，竖直方向有FN＝（ma＋mb）g＋qvB，水平方向有F－f＝（ma＋mb）a，f＝μFN.在加速阶段，v增大，FN增大，f增大，加速度a减小．对a受力分析，a受重力mag、向下的洛伦兹力qvB、b对a向上的支持力FN′、b对a向左的静摩擦力f′，竖直方向：

FN′＝mag＋qvB，水平方向：

f′＝maa.随着v的增大，FN′增大，选项A错误，B正确；加速度a在减小，所以a、b物块间的摩擦力变小，选项C、D均错误．

一、选择题（1～5题为单选题，6～10题为多选题）

1．大量的带电荷量均为＋q的粒子，在匀强磁场中运动，下列说法中正确的是（　　）

A．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同

B．如果把＋q改为－q，且速度反向但大小不变，与磁场方向不平行，则洛伦兹力的大小方向均不变

C．只要带电粒子在磁场中运动，它一定受到洛伦兹力作用

D．带电粒子受到的洛伦兹力越小，则该磁场的磁感应强度就越小

答案　B

解析　带电粒子在磁场中运动时受到的洛伦兹力不仅与其速度的大小有关，还与其速度的方向有关，当速度方向与磁场方向在一条直线上时，不受洛伦兹力作用，所以A、C、D错误；根据左手定则，不难判断B是正确的．

2．两个带电粒子以相同的速度垂直磁感线方向进入同一匀强磁场，两粒子质量之比为1∶4，电荷量之比为1∶2，则两带电粒子所受洛伦兹力之比为（　　）

A．2∶1B．1∶1C．1∶2D．1∶4

答案　C

解析　带电粒子的速度方向与磁感线方向垂直时，洛伦兹力f＝qvB与电荷量成正比，与质量无关，C项正确．

3．下列四副图关于各物理量方向间的关系中，正确的是（　　）

答案　B

解析　由左手定则可知，安培力的方向总是与磁感应强度的方向垂直，故A错误；磁场的方向向下，电流的方向向里，由左手定则可知安培力的方向向左，故B正确；由左手定则可知，洛伦兹力的方向总是与磁感应强度的方向垂直，应为垂直纸面向外，故C错误；通电螺线管内部产生的磁场的方向沿螺线管的轴线的方向，由题图D可知电荷运动的方向与磁感线的方向平行，不受洛伦兹力，故D错误．

4．电视显像管原理的示意图如图1所示，当没有磁场时，电子束将打在荧光屏正中的O点，安装在管径上的偏转线圈可以产生磁场，使电子束发生偏转．设垂直纸面向里的磁场方向为正方向，若使电子打在荧光屏上的位置由a点逐渐移动到b点，下列变化的磁场能够使电子发生上述偏转的是（　　）

图1

答案　A

解析　电子偏转到a点时，根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外，对应的B－t图的图线应在t轴下方；电子偏转到b点时，根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，对应的B－t图的图线应在t轴上方，A正确．

5.两个完全相同的带等量的正电荷的小球a和b，从同一高度自由落下，分别穿过高度相同的如图2所示的匀强电场和匀强磁场，然后再落到地面上，穿过电场和磁场的下落过程中，小球水平方向的分运动始终水平向右，设两球运动所用的总时间分别为ta、tb，则（　　）

图2

A．ta＝tbB．ta＞tb

C．ta＜tbD．条件不足，无法比较

答案　C

解析　a球进入匀强电场后，始终受到水平向右的电场力F电＝qE作用，这个力不会改变a球在竖直方向运动的速度，故它下落的总时间ta与没有电场时自由下落的时间t0相同．b球以某一速度进入匀强磁场瞬间它就受到水平向右的洛伦兹力作用，这个力只改变速度方向，会使速度方向向右发生偏转，又因为洛伦兹力始终与速度方向垂直，当速度方向变化时，洛伦兹力的方向也发生变化，不再沿水平方向．如图所示为小球b在磁场中某一位置时的受力情况，从图中可以看出洛伦兹力f的分力F1会影响小球竖直方向的运动，使竖直下落的加速度减小（小于g），故其下落的时间tb大于没有磁场时小球自由下落的总时间t0.综上所述，ta＜tb.

6.如图3所示，水平放置的平行板电容器两板间有垂直纸面向里的匀强磁场，开关S闭合时一带电粒子恰好水平向右匀速穿过两板间，重力不计．对相同状态入射的粒子，下列说法正确的是（　　）

图3

A．保持开关闭合，若滑片P向上滑动，粒子可能从下极板边缘射出

B．保持开关闭合，若将磁场方向反向，粒子仍可能沿直线射出

C．保持开关闭合，若A极板向上移动后，调节滑片P的位置，粒子仍可能沿直线射出

D．如果开关断开，调节滑片P的位置，粒子可能继续沿直线射出

答案　AC

解析　带电粒子匀速通过两板间，电场力和洛伦兹力相等．保持开关闭合，滑片P向上滑动，两板间电压减小，电场力减小，若粒子带负电，则粒子将向下偏转，A正确．若磁场反向，洛伦兹力也反向，粒子不能沿直线射出，B错误．开关闭合，A板向上移动后，调节滑片P的位置，可使电场强度不变，粒子仍可能沿直线射出，C正确．开关断开，电容器通过电阻放电，粒子不再受电场力作用，也就不能沿直线射出，D错误．

7.目前世界上有一种新型发电机叫磁流体发电机，如图4表示它的原理：

将一束等离子体（包含正、负离子）喷射入磁场，在磁场中有两块金属板A、B，于是金属板上就会聚集电荷，产生电压．以下说法正确的是（　　）

图4

A．B板带正电

B．A板带正电

C．其他条件不变，只增大射入速度，两板间电压增大

D．其他条件不变，只增大磁感应强度，两板间电压增大

答案　ACD

解析　根据左手定则，正离子进入磁场受到的洛伦兹力向下，A正确，B错误．最后，离子受力平衡有qBv＝q

，可得U＝Bvd，C、D正确．

8.如图5所示，在一绝缘、粗糙且足够长的水平管道中有一带正电荷的小球，管道半径略大于球体半径，整个管道处于方向与管道垂直的水平匀强磁场中；现给球施加一个水平向右的初速度v0，以后小球的速度随时间变化的图象可能正确的是（　　）

图5

答案　ACD

解析　给小球施加一个水平向右的初速度，小球将受到向上的洛伦兹力，还受重力、可能有向后的滑动摩擦力；若重力小于洛伦兹力，小球受到向下的弹力，则受到摩擦力，做减速运动，当洛伦兹力等于重力时，做匀速运动，故C正确．若重力大于洛伦兹力，小球受到向上的弹力，则受到摩擦力，将做减速运动，随洛伦兹力的减小，压力变大，摩擦力变大，加速度逐渐变大，最后速度为零，故D正确．若洛伦兹力等于小球的重力，小球将做匀速直线运动，故A正确．故选A、C、D.

9.质量为m、电荷量为q的带正电小球，从倾角为θ的粗糙绝缘斜面（μ

图6

A．小球在斜面上运动时做匀加速直线运动

B．小球在斜面上运动时做加速度增大，而速度也增大的变加速直线运动

C．小球最终在斜面上匀速运动

D．小球在斜面上下滑过程中，当小球对斜面压力刚好为零时的速率为

答案　BD

解析　据题意，小球运动过程中受到重力、支持力、摩擦力和垂直斜面向上的洛伦兹力，小球加速度大小为：

a＝gsinθ－

，小球做加速运动，则加速度也增加，小球最终将脱离斜面，故选项A、C错误，选项B正确；当小球对斜面压力为0时，有：

mgcosθ－qvB＝0，速度大小为：

v＝

，故选项D正确．

10.如图7所示，在一绝缘、粗糙且足够长的水平管道中有一带电荷量为q、质量为m的带电球体，管道半径略大于球体半径．整个管道处于磁感应强度为B的水平匀强磁场中，磁感应强度方向与管道垂直．现给带电球体一个水平初速度v，则在整个运动过程中，带电球体克服摩擦力所做的功可能为（　　）

图7

A．0B.

m（

）2

C.

mv2D.

m[v2－（

）2]

答案　ACD

解析　当小球带负电时，对小球受力分析如图甲所示，随着向右运动，速度逐渐减小，直到速度减小为零，所以克服摩擦力做的功为W＝

mv2.

当小球带正电时，设当洛伦兹力等于重力时，小球的速度为v0，则mg＝qv0B，即v0＝

.当v＝v0时，受力分析如图乙所示，重力与洛伦兹力平衡，所以小球做匀速运动，克服摩擦力做的功为W＝0；当v＜v0时，受力分析如图丙所示，管壁对小球有向上的支持力，随着向右减速运动，速度逐渐减小，支持力、摩擦力逐渐增大，直到速度减小到零，所以克服摩擦力做的功为W＝

mv2；当v＞v0时，受力分析如图丁所示，管壁对小球有向下的弹力，随着小球向右减速运动，洛伦兹力逐渐减小、弹力逐渐减小，摩擦力逐渐减小，直到弹力减小到零，摩擦力也为零，此时重力和洛伦兹力平衡，此后小球向右做匀速运动，所以克服摩擦力做的功为W＝

mv2－

mv

＝

m[v2－（

）2]，综上分析，可知A、C、D项正确．

二、非选择题

11.质量为m、带电荷量为＋q的小球，用一长为l的绝缘细线悬挂在方向垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B，如图8所示，用绝缘的方法使小球位于能使悬线呈水平的位置A，然后由静止释放，小球运动的平面与B的方向垂直，小球第一次和第二次经过最低点C时悬线的拉力FT1和FT2分别为多少？

图8

答案　3mg－qB

　3mg＋qB

解析　小球由A运动到C的过程中，洛伦兹力始终与v的方向垂直，对小球不做功，只有重力做功，由动能定理有mgl＝

mv

，解得vC＝

.

第一次经过C点时，由左手定则可知洛伦兹力向上，其受力情况如图甲所示．

由牛顿第二定律，有FT1＋f－mg＝m

，又f＝qvCB，所以FT1＝3mg－qB

.

同理可得小球第二次经过C点时，受力情况如图乙所示，有FT2－f－mg＝m

，

所以FT2＝3mg＋qB

.

12.如图9所示，质量为m＝1kg、电荷量为q＝5×10－2C的带正电的小滑块，从半径为R＝m的光滑固定绝缘

圆弧轨道上由静止自A端滑下．整个装置处在方向互相垂直的匀强电场与匀强磁场中．已知E＝100V/m，方向水平向右，B＝1T，方向垂直纸面向里，

g＝10m/s2.求：

图9

（1）滑块到达C点时的速度；

（2）在C点时滑块所受洛伦兹力；

（3）在C点滑块对轨道的压力．

答案　

（1）2m/s，方向水平向左

（2）N，方向竖直向下

（3）N，方向竖直向下

解析　以滑块为研究对象，自轨道上A点滑到C点的过程中，受重力mg，方向竖直向下；静电力qE，方向水平向右；洛伦兹力qvB，方向始终垂直于速度方向．

（1）滑块从A到C的过程中洛伦兹力不做功，由动能定理得mgR－qER＝

mv

得vC＝

＝2m/s，方向水平向左．

（2）根据洛伦兹力公式得：

f＝qvCB＝5×10－2×2×1N＝N，

由左手定则知洛伦兹力方向竖直向下．

（3）在C点，FN－mg－qvCB＝m

得：

FN＝mg＋qvCB＋m

＝N

由牛顿第三定律可知，滑块对轨道的压力为N，方向竖直向下．