e
综上可知,所求a的取值范围为a∈(0,1][e,+∞)
e
变式:
已知函数f(x)=ex-a-ln(x+a)(a>0)在区间(0,+∞)上的最小值为1,求实数a
的值.
解:
f'(x)=ex-a-1令g(x)=f'(x)则g'(x)=ex-a+1>0
x+a,,(x+a)2
所以y=g(x)在区间(0,+∞)单调递增,所以存在唯一的
x0∈(0,+∞),使得
g(x)=ex0-a-
1
x0+a
=0即ex0-a=
,
1
x0+a
所以当x∈(0,x0)时,g(x)=
f'(x)<0,y=
f(x)单调递减
当x∈(x0,+∞)时,g(x)=
f'(x)>0,y=
f(x)单调递增
所以f(x)min=
f(x)=ex0-a
-ln(x0+a)
由x0-a
,
1
x0+a
得:
x0-a=-ln(x0+a)
所以f(x)min=
f(x)=ex0-a
-ln(x0+a)=
1
x0+a
+x0-a
=1
x0+a
+(x0
+a)-2a
≥2
=2-2a
-
2a
当且仅当
x0
1=x+a即x+a=1,f(x)=
+
a00min
f(x0)=2-2a
111
由2-2a=1得a=2,此时x0=2,满足条件,所以a=2
八.解不等式
例8.函数
f(x)(x∈R),f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,解不等式:
exf(x)>ex+1
解:
令g(x)=exf(x)-ex,则g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex(f(x)+f'(x)-1)
因为对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,所以g'(x)>0,
所以y=g(x)为R上的单调递增函数,又g(0)=f(0)-1=1
所以当exf(x)>ex+1即exf(x)-ex>1,所以g(x)>g(0),所以x>0
即不等式:
exf(x)>ex+1的解集为(0,+∞)
变式:
已知定义在
R上的可导函数
y=f(x)满足
f'(x)<1,若
f(1-
2m)-
f(m)>1-
3m,求m的取值范围.
解:
令g(x)=
f(x)-x,则g'(x)=
f'(x)-1,因为f'(x)<1
所以g'(x)=
f'(x)-1<0,所以g(x)=
f(x)-x为R上递减函数
由f(1-
2m)-
f(m)>1-
3m,得:
f(1-
2m)-且1-2m)>f(m)-m
即g(1-2m)>g(m),所以1-2m>m,即m<3
九.函数零点个数(方程根的个数)
例9.已知f(x)=2ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值.若关于x的方程f(x)+b=0在
区间[-1,1]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围.
解:
f'(x)=
2
x+a
-2x-1
因为f(x)=2ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值
,
所以f'(0)=2-1=0,即a=2,检验知a=2符合题意.
a
令g(x)=f(x)+b=2ln(x+2)-x2-x+b,x∈[-1,1]
g'(x)=
2
x+2
-2x-1=-
2x(x+5)
2
x+2
(-1≤x≤1)
所以g(x)极大值=g(0)=2ln2+b
因为方程f(x)+b=0在区间[-1,1]上恰有两个不同的实数根
⎧g(-1)≤0
所以⎨g(0)>0
⎪g
(1)≤0
⎧b≤0
,即⎨2ln2+b>0
⎪2ln3-2+b≤0
解得:
-2ln2
所以实数b的取值范围是:
(-2ln2,2-2ln3]
变式:
已知函数y=
f(x)是R上的可导函数,当x¹
13
0时,有f'(x)+
f(x)>
x
0,判断函
数F(x)=xf(x)+
的零点个数
x
解:
当x¹
0时,有f
'(x)+f(x)>
x
xf'(x)+
0即
,x
f(x)>0
令g(x)=xf(x),则g¢(x)=
xf'(x)+
f(x)
所以当x>0时,g¢(x)=
xf'(x)+
f(x)>
0,函数y=g(x)在(0,+∞)单调递增
且g(x)>g(0)=0,
所以当x>0时,F(x)=
xf(x)+13>
x
0恒成立,函数y=
F(x)无零点
当x<0时,g¢(x)=
xf'(x)+
f(x)<
0,函数y=g(x)在(-∞,0)单调递减
且g(x)>g(0)=0恒成立
所以F(x)=
xf(x)+
13在(-∞,0)上为单调递减函数
x
13
且当x→0时,xf(x)®
1
0,所以F(x)»<0
x
当x→-∞时,®
x
0,所以F(x)»
xf(x)>0
所以F(x)=xf(x)+
13在(-∞,0)上有唯一零点
x
13
综上所述:
F(x)=
xf(x)+在(-∞,0)(0,+∞)上有唯一零点
x
十.探究函数图像
例10.设函数在定义域内可导,y=
f(x)的图像如图所示,则导函数y=
f'(x)的图像可能
为下列图像的.
解:
由y=f(x)的图像可判断出:
f(x)在(-∞,0)递减,在(0,+∞)上先增后减再增
所以在(-∞,0)上f'(x)<0,在(0,+∞)上先有f'(x)>0,后有f'(x)<0,再有f'(x)>0.
所以图(4)符合.
变式:
已知函数f(x)=ln(2x),若关于x的不等式f2(x)+af(x)>0只有两个整数解,求
x
实数a的取值范围.
解:
f'(x)=1-ln(2x),令f'(x)=0得x=e
x22
所以当00,f(x)单调递增
2
当x>e时,f'(x)<0,f(x)单调递减
2
由当x<
1时,f(x)<0,当x>
2
1时,f(x)>0
2
作出f(x)的大致函数图像如图所示:
因为f2(x)+af(x)>0
(1)若a=0,即f2(x)>0,显然不等式有无穷多整数解,不符合题意;
(2)若a>0,则f(x)<-a或f(x)>0,由图像可知,f(x)>0,有无穷多整数解(舍)
(3)若a<0则f(x)<0或f(x)>-a,由图像可知,f(x)<0无整数解,
所以f(x)>-a有两个整数解,因为f
(1)=
f
(2)=