利用导数求函数单调性题型全归纳可编辑修改word版.docx

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利用导数求函数单调性题型全归纳可编辑修改word版

利用导数求函数单调性题型全归纳

一.求单调区间

二.函数单调性的判定与逆用三.利用单调性求字母取值范围四.比较大小

五.证明不等式六.求极值

七.求最值八.解不等式

九.函数零点个数（方程根的个数）十.探究函数图像

一.求单调区间

例1.已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a>0,a≠1），求函数f（x）的单调区间

解：

f'（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna.

则令g（x）=f'（x），因为当a>0,a≠1，所以g'（x）=2+axln2a>0

所以f'（x）在R上是增函数,又f'（0）=0,所以不等式f'（x）>0的解集为（0,+∞）,

故函数f（x）的单调增区间为（0,+∞）减区间为：

（-∞，0）

变式：

已知f（x）=ex-ax，求f（x）的单调区间

解：

f'（x）=ex-a，当a≤0时，f'（x）>0，f（x）单调递增

当a>0时，由f'（x）=ex-a>0得：

x>lna，f（x）在（lna,+∞）单调递增

由f'（x）=ex-a<0得：

x

综上所述：

当a≤0时，f（x）的单调递增区间为：

（-∞，+∞），无单调递减区间

当a>0时，f（x）的单调递增区间为：

（lna,+∞），递减区间为：

（-∞，lna）

二.函数单调性的判定与逆用

例2.已知函数f（x）=x3+ax2-2x+5在11

上既不是单调递增函数，也不是单调递减

函数，求正整数a的取值集合

（，）

32

解：

f'（x）=3x2+2ax-2

因为函数f（x）=x3+ax2-2x+5在11上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数

（，）

32

所以f'（x）=3x2+2ax-2=0在11

上有解

所以'1'1

（，）

32

*55

f（）f

3

（）<0

2

又a∈N

，

，解得：

4

所以正整数a的取值集合{2}

，

三.利用单调性求字母取值范围

x

例3.已知函数f（x）=-

lnx

ax，若函数y=

f（x）在1且+¥

且上是减函数，求实数a的

最小值.

x

解：

因为f（x）=-

lnx

ax在1且+¥

且上是减函数

所以f'（x）=

lnx-1-

a£0在1且+¥

且上恒成立，即a³

lnx-

1

在1且+¥

且上恒成立

（lnx）2（lnx）2

令t=lnx,（x>1），则t>

0，h（t）=

t-1

t2

（t>

0）则a³

，

h（t）max

因为h（t）=t-

1=-12

11-

1）2+1

所以h（t）=h

（2）=1

所以a³1

（）

t2t

+=-（

tt

24，

max4，4

变式：

若函数f（x）=1x3-1ax2+（a-

1）x+1在区间1,4且

上为减函数，在区间（6,+¥）

32

上为增函数，试求实数a的取值范围.

解：

f'（x）=x2-

ax+a-1

因为函数y=

f（x）在区间1,4且

上为减函数，在区间（6,+¥

）上为增函数

ìf'（x）£0且

"xÎ

（1,4）

ìx2-

ax+a-

1£0且

"xÎ

（1,4）

所以í

ï

f'（x）³

0,"xÎ

（6,+¥

恒成立，即í

）ïx2-

ax+a-1³

0,"xÎ

（6,+¥）

ìx2-1

ïa³=

x+1,"xÎ

（1,4）

ìa³

4+1

í

所以ï

ïa£

x-1

x2-1

=

x+1,"xÎ

（6,+¥）

所以í

ï

所以5£

a£6+1，

a£7

ïx-1，

四.比较大小

例4.设a为实数，当a>

ln2-1且

x>0时，比较ex与x2-

2ax+1的大小关系.

解：

令f（x）=ex-

x2+2ax-

1（x>

0），则f'（x）=ex-

2x+2a

令g（x）=

f'（x）

则g'（x）=ex-

2，令g'（x）=0得：

x=ln2

当x>

ln2时，g'（x）>

0；当x<

ln2时，g'（x）<0

所以g（x）min=

g（x）且且且

=g（ln2）=eln2-

2ln2+2a=2a-

2ln2+2，因为

a>ln2-

1，所以g（x）=

f'（x）>

0，所以f（x）在

0且+¥

且上单调递增

所以f（x）>

f（0）=0，即ex-

x2+2ax-

1>0，所以ex>

x2-

2ax+1

变式：

对于R上的可导函数y=

f（x），若满足（x-

3）f'（x）>

0，比较f

（1）+

f（11）与

2f（3）的大小关系.

解：

因为（x-

3）f'（x）>0

所以当x>3时，f'（x）>0，f（x）单调递增，故f（11）>

f（3）

当x<3时，f'（x）<0，f（x）单调递减，故f

（1）>

f（3）

所以f

（1）+

f（11）>

2f（3）

五.证明不等式

例5.已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=k（x-1）（k∈R）.

证明：

当k<1时，存在x0>1，使得对任意的x∈（1,x0），恒有f（x）>g（x）.

证明：

令G（x）=|lnx|-k（x-1）=lnx-k（x-1）,x∈（1,+∞）

-

则有G（x）=-k=

xx

x∈（1,+∞）

当k≤0或k≥1时，G'（x）>0，故

G（x）

在（1，+∞）上单调递增，G（x）>G

（1）=0.故任

意实数

x∈（1,+∞）

均满足题意.

当0

时，令G'（x）=0，得x=1>1.

k

当x∈（1,1）时，G'（x）>0，故

k

G（x）

1

在（1,）

k

上单调递增

当x∈（1，+∞）时，G'（x）<0，故

k

G（x）

在（，+∞）上单调递减

k

取x=1，对任意x∈（1,x），有G'（x）>0，故G（x）在（1,x）上单调递增

0k00

所以G（x）>G

（1）=0

即f（x）>g（x），综上所述：

当k<1时，存在x0>1，使得对任意的x∈（1,x0），恒有f（x）>g（x）.

12

变式：

已知关于x的方程（1-x）ex-ax2=a有两个不同的实数根x、x

.求证：

x1+x2<0

证明：

因为（1-x）ex

-

ax2

=a，所以a=

（1-x）ex

x2+1

令f（x）=

，

（1-x）ex

x2+1

则f'（x）=

-x（x2-2x+3）ex

（x2+1）2

=-x[（x-1）2+2]ex

（x2+1）2

当x>0时f'（x）<0，f（x）单调递减，当x<0时f'（x）>0，f（x）单调递增

12

因为关于x的方程（1-x）ex-ax2=a有两个不同的实数根x、x

，，

所以不妨设x1∈（-∞,0）,x2∈（0,+∞）要证：

x1+x2<0只需证：

x2<-x1

因为x2-x1∈（0，+∞），且函数f（x）在（0，+∞）上单调递减

所以只需证：

f（x2）>

f（-x1），又因为f（x2）=f（x1）所以只需证：

f（x1）>

f（-x1）

，

（1-x）ex1（1+x）e-x1

即证：

1>1

x2+1x2+1

11

即证：

（1-x）ex-（1+x）e-x>0对x∈（-∞，0）恒成立

令g（x）=（1-x）ex-（1+x）e-x，x∈（-∞，0），则g'（x）=x（e-x-ex）

因为x∈（-∞，0），所以e-x-ex>0

所以g'（x）=x（e-x-ex）<0恒成立

所以g（x）=（1-x）ex-（1+x）e-x在（-∞，0）上单调递减，所以g（x）>g（0）=0

综上所述：

x1+x2<0

六.求极值

例6.已知函数f（x）=（x2+ax+a）ex，是否存在实数a，使得函数f（x）的极大值为3？

若

存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.

解：

f'（x）=（2x+a）ex+（x2+ax+a）ex=[x2+（2+a）x+2a]ex=（x+a）（x+2）ex

令f'（x）=0得：

x=-a或x=-2

当a=2时，f'（x）≥0恒成立，无极值，舍去

当a<2时，-a>-2

由表可知：

极大值

f（x）=f（-2）=（4-2a+a）e-2=3

解得：

a=4-3e2<2

当a>2时，-a<-2

由表可知：

极大值

f（x）=f（-a）=（a2-a2+a）e-a=3，即ae-a=3，所以：

a=3ea

令g（a）=3ea-a（a>2），则g'（a）=3ea-1>3e2-1>0

所以y=g（a）在（2，+∞）上单调递增，又g

（2）=3e2-2>0

所以函数y=g（a）在（2，+∞）上无零点，即方程a=3ea无解

综上所述：

存在实数a，使得函数f（x）的极大值为3，此时a=4-3e2

七.求最值

例7.已知函数

f（x）=ax+x2-xlna（a>0,a≠1），若存在

x1,x2[1,1],使得

f（x1）-f（x2）≥e-1（其中e是自然对数的底数）,求实数a的取值范围.

解：

因为存在x1,x2∈[-1,1],使得f（x1）-f（x2）≥e-1成立,

而当x∈[-1,1]时,

f（x1）-f（x2）≤f（x）max-f（x）min,

所以只要f（x）max-f（x）min≥e-1即可

又因为x,f'（x）,f（x）的变化情况如下表所示:

x

（-∞,0）

0

（0,+∞）

f'（x）

-

0

+

f（x）

减函数

极小值

增函数

minmax

所以f（x）在[-1,0]上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当x∈[-1,1]时,f（x）的最小值f（x）=f（0）=1,f（x）的最大值f（x）为f（-1）和f

（1）中的最大值.

因为f

（1）-f（-1）=（a+1-lna）-（1+1+lna）=a-1-2lna,

aa

令g（a）=a-1-2lna（a>0）,因为g'（a）=1+1

aa2

-2=（1-1）2>0,

aa

所以g（a）=a-1-2lna在a∈（0,+∞）上是增函数.

a

而g

（1）=0,故当a>1时,g（a）>0,即f

（1）>f（-1）;

当0

（1）

所以,当a>1时,f

（1）-f（0）≥e-1,即a-lna≥e-1,函数y=a-lna在a∈（1,+∞）上是增

函数,解得a≥e;

当0

aa

函数,解得0

e

综上可知,所求a的取值范围为a∈（0,1][e,+∞）

e

变式：

已知函数f（x）=ex-a-ln（x+a）（a>0）在区间（0，+∞）上的最小值为1，求实数a

的值.

解：

f'（x）=ex-a-1令g（x）=f'（x）则g'（x）=ex-a+1>0

x+a，，（x+a）2

所以y=g（x）在区间（0，+∞）单调递增，所以存在唯一的

x0∈（0，+∞），使得

g（x）=ex0-a-

1

x0+a

=0即ex0-a=

，

1

x0+a

所以当x∈（0,x0）时，g（x）=

f'（x）<0，y=

f（x）单调递减

当x∈（x0，+∞）时，g（x）=

f'（x）>0，y=

f（x）单调递增

所以f（x）min=

f（x）=ex0-a

-ln（x0+a）

由x0-a

，

1

x0+a

得：

x0-a=-ln（x0+a）

所以f（x）min=

f（x）=ex0-a

-ln（x0+a）=

1

x0+a

+x0-a

=1

x0+a

+（x0

+a）-2a

≥2

=2-2a

-

2a

当且仅当

x0

1=x+a即x+a=1，f（x）=

+

a00min

f（x0）=2-2a

111

由2-2a=1得a=2，此时x0=2，满足条件，所以a=2

八.解不等式

例8.函数

f（x）（x∈R），f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f'（x）>1，解不等式：

exf（x）>ex+1

解：

令g（x）=exf（x）-ex，则g'（x）=exf（x）+exf'（x）-ex=ex（f（x）+f'（x）-1）

因为对任意x∈R，f（x）+f'（x）>1，所以g'（x）>0，

所以y=g（x）为R上的单调递增函数，又g（0）=f（0）-1=1

所以当exf（x）>ex+1即exf（x）-ex>1，所以g（x）>g（0），所以x>0

即不等式：

exf（x）>ex+1的解集为（0，+∞）

变式：

已知定义在

R上的可导函数

y=f（x）满足

f'（x）<1，若

f（1-

2m）-

f（m）>1-

3m，求m的取值范围.

解：

令g（x）=

f（x）-x，则g'（x）=

f'（x）-1，因为f'（x）<1

所以g'（x）=

f'（x）-1<0，所以g（x）=

f（x）-x为R上递减函数

由f（1-

2m）-

f（m）>1-

3m，得：

f（1-

2m）-且1-2m）>f（m）-m

即g（1-2m）>g（m），所以1-2m>m，即m<3

九.函数零点个数（方程根的个数）

例9.已知f（x）=2ln（x+a）-x2-x在x=0处取得极值.若关于x的方程f（x）+b=0在

区间[-1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围.

解：

f'（x）=

2

x+a

-2x-1

因为f（x）=2ln（x+a）-x2-x在x=0处取得极值

，

所以f'（0）=2-1=0，即a=2，检验知a=2符合题意.

a

令g（x）=f（x）+b=2ln（x+2）-x2-x+b，x∈[-1,1]

g'（x）=

2

x+2

-2x-1=-

2x（x+5）

2

x+2

（-1≤x≤1）

所以g（x）极大值=g（0）=2ln2+b

因为方程f（x）+b=0在区间[-1,1]上恰有两个不同的实数根

⎧g（-1）≤0

所以⎨g（0）>0

⎪g

（1）≤0

⎧b≤0

，即⎨2ln2+b>0

⎪2ln3-2+b≤0

解得：

-2ln2

所以实数b的取值范围是：

（-2ln2，2-2ln3]

变式：

已知函数y=

f（x）是R上的可导函数，当x¹

13

0时，有f'（x）+

f（x）>

x

0，判断函

数F（x）=xf（x）+

的零点个数

x

解：

当x¹

0时，有f

'（x）+f（x）>

x

xf'（x）+

0即

，x

f（x）>0

令g（x）=xf（x），则g¢（x）=

xf'（x）+

f（x）

所以当x>0时，g¢（x）=

xf'（x）+

f（x）>

0，函数y=g（x）在（0，+∞）单调递增

且g（x）>g（0）=0，

所以当x>0时，F（x）=

xf（x）+13>

x

0恒成立，函数y=

F（x）无零点

当x<0时，g¢（x）=

xf'（x）+

f（x）<

0，函数y=g（x）在（-∞，0）单调递减

且g（x）>g（0）=0恒成立

所以F（x）=

xf（x）+

13在（-∞，0）上为单调递减函数

x

13

且当x→0时，xf（x）®

1

0，所以F（x）»<0

x

当x→-∞时，®

x

0，所以F（x）»

xf（x）>0

所以F（x）=xf（x）+

13在（-∞，0）上有唯一零点

x

13

综上所述：

F（x）=

xf（x）+在（-∞，0）（0,+∞）上有唯一零点

x

十.探究函数图像

例10.设函数在定义域内可导，y=

f（x）的图像如图所示，则导函数y=

f'（x）的图像可能

为下列图像的.

解：

由y=f（x）的图像可判断出：

f（x）在（-∞,0）递减，在（0，+∞）上先增后减再增

所以在（-∞,0）上f'（x）<0，在（0，+∞）上先有f'（x）>0，后有f'（x）<0，再有f'（x）>0.

所以图（4）符合.

变式：

已知函数f（x）=ln（2x），若关于x的不等式f2（x）+af（x）>0只有两个整数解，求

x

实数a的取值范围.

解：

f'（x）=1-ln（2x），令f'（x）=0得x=e

x22

所以当00,f（x）单调递增

2

当x>e时，f'（x）<0,f（x）单调递减

2

由当x<

1时，f（x）<0，当x>

2

1时，f（x）>0

2

作出f（x）的大致函数图像如图所示：

因为f2（x）+af（x）>0

（1）若a=0，即f2（x）>0，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；

（2）若a>0，则f（x）<-a或f（x）>0，由图像可知，f（x）>0，有无穷多整数解（舍）

（3）若a<0则f（x）<0或f（x）>-a，由图像可知，f（x）<0无整数解，

所以f（x）>-a有两个整数解，因为f

（1）=

f

（2）=