小学经典奥数举一反三.docx

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小学经典奥数举一反三

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学奥数爱数学长智慧能跨越

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一.归一问题

【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量，这类应用题叫做归一问题。

例1：

买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？

解题思路与方法：

先要求出1支铅笔多少钱，再求出16支铅笔多少钱。

 解 

（1）买1支铅笔多少钱？

       0.6÷5＝0.12（元）        

（2）买16支铅笔需要多少钱？

      0.12×16＝1.92（元）         

列成综合算式 0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）

     答：

需要1.92元。

练习1：

1.3台拖拉机耕地600平方米，照这样计算，5台拖拉机能耕地多少平方米？

2.一辆卡车5次运煤22.5吨，照这样计算，再增加2次能运多少吨煤？

3.制鞋厂30个人一个月生产皮鞋2250双，照这样计算，现在要生产7950双皮鞋，需要多少人？

例2.3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？

解 

（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？

  90÷3÷3＝10（公顷）    

（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？

 10×5×6＝300（公顷）   

      列成综合算式  90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）

     答：

5台拖拉机6 天耕地300公顷。

练习2.

1. 5台磨面机6小时磨面粉42吨，10台磨面机磨面粉98吨，需要几小时？

2. 一辆卡车5次运煤22.5吨，5辆同样的卡车6次可以运煤多少吨？

3. 一个钢铁厂，一号炉前3天每天产钢354.5吨，后5天共生产钢18005吨，平均每天生产钢多少吨？

例3.5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？

 解 

（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？

  100÷5÷4＝5（吨）  

（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？

   5×7＝35（吨） 

       （3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？

 105÷35＝3（次） 

        列成综合算式  105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）

     答：

需要运3次。

练习3

1.修一条公路，全长15千米，开工4天修1.6千米。

照这样计算，修完这条公路要多少天？

2.一个编织组，原来30人10天生产1500顶草帽，现在增加到120人，按照原来的工效，要生产9000顶草帽需要多少天？

3. 修一条公路，原计划每天修120米，30天可以修完，如果要提前5天修完，每天要修多少米？

二.归总问题

【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。

所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

例1 服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。

原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？

解 

（1）这批布总共有多少米？

 3.2×791＝2531.2（米）

（2）现在可以做多少套？

 2531.2÷2.8＝904（套）

 列成综合算式 3.2×791÷2.8＝904（套）

答：

现在可以做904套。

练习1.

1.搬运一堆红砖，小冬一次搬5块，要16次才能搬完，如果小冬每次多搬3块，几次就可搬完？

2.小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。

小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？

3.食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。

后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？

例3. 修一条公路，原计划每天工作7.5小时，8个人6天可以修完，实际增加了2个工人，准备4天完成，这样每天要工作几小时？

 分析：

要求每天工作几小时，先要求出这条公路的总工作量，即由1个工人来做共需要多少小时，

7.5×8×6=360

再求如果1人每天工作多少小时

360÷4=90

再求最后问题。

90÷（8+2）=9小时

答：

每天要工作9小时.

练习3.

1.一项工程，预计30人15天可以完成任务。

工作4天后，又增加3人。

如果每人工作效率相同，这样可以提前几天完成任务？

2.一项工程原计划8个人每天工作6小时，10天可以完成。

现在为了加快工作进度，增加2人，每天工作时间增加2小时，这样可以提前几天完成这项工程？

3.一个工地上有120名工人，食堂为这些工人准备了30天的粮食。

实际工作5天后，由于工期紧张，又调来30名工人，食堂原来准备的粮食只够吃几天？

三.和差问题

【特点】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

例1 甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？

解 如果甲班减少6人，就和乙班人数相等；或者乙班增加6人，就和甲班人数相等。

乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）

甲班人数＝98－46=52,或（98＋6）÷2＝52（人）

 答：

甲班有52人，乙班有46人。

解题关键：

小数=（和－差）÷2，大数=（和+差）÷2

练习1

1.甲乙两个工程队合挖一条长48千米的水渠，甲队比乙队多挖了6千米，求甲、乙工程队各挖了多少千米？

2.有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

3.甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？

例2.长方形的周长是36厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。

 解  先要求出长和宽各是多少

因为长和宽的和是36÷2=18厘米

所以长＝（18+2）÷2=10厘米

宽=18-10=8厘米

面积=10×8＝80（平方厘米）

 答：

长方形的面积为80平方厘米

练习2

1.甲、乙两个仓库共运进货物1260吨，如果从甲仓库调出120吨货物到乙仓库，则两个仓库的货物一样多，求甲乙两仓库原来运进货物各多少吨？

2.电视机厂一、二、三车间共有工人360人，第一车间比第二车间多12人，第三车间比第二车间少18人，三个车间各有工人多少人？

3.养兔场共养兔8800只，有白兔、黑兔和灰兔三品种，白兔比黑兔多600只，黑兔比灰兔少400只，求白兔、黑兔、灰兔各有多少只？

四. 和倍问题

【特点】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

例1 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？

解 把杏树棵树看作1份，总棵树就是3+1份

（1）杏树有多少棵？

 248÷（3＋1）＝62（棵） 

（2）桃树有多少棵？

 62×3＝186（棵）

 答：

杏树有62棵，桃树有186棵。

解题关键：

1倍数=和÷（1+倍数）

练习1

1.某校四年级和六年级的同学参加植树活动，两个年级共栽树苗141棵。

已知六年级同学栽的树苗是四年级同学载树苗棵数的2倍，四年级栽树苗多少棵？

2.大小两辆卡车8次共运货物64吨，大卡车一次运货的吨数是小卡车一次运货吨数的3倍，大小卡车每次各运货多少吨？

3.甲、乙两箱苹果共重84千克，从甲箱取出15千克的苹果放入乙箱，乙箱的重量就是甲箱的3倍，两箱原来各有苹果多少千克？

例2 甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？

解 分析：

每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）辆。

把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍， 

那么，几天以后甲站的车辆数减少为

  （52＋32）÷（2＋1）＝28（辆） 

所求天数为 （52－28）÷（28－24）＝6（天）

 答：

6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。

练习2

1.学校中四、五年级的学生为“希望工程”共捐款241元，从五年级捐款的总数中取出25元后，就是四年级捐款数的2倍，五年级比四年级的学生多捐款多少元？

2.甲、乙两个仓库共存货物238吨，如果从乙库中运出84吨放入甲库，则甲库存货比乙库的存货吨数多5倍。

原来甲、乙两个仓库的货物吨数各是多少？

3.果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？

 例3.甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？

解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。

 因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍； 又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍； 这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。

那么， 甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28 

乙数＝28×2－4＝52 

丙数＝28×3＋6＝90 

答：

甲数是28，乙数是52，丙数是90。

练习3

1.果园里一共种340棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？

2.图书馆共有故事书、科技书和连环画三种图书1252本，其中科技书是故事书的3倍，连环画的本数比科技书的2倍多40本。

三种书各有多少本？

3.549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等.求4个数各是多少？

五.差倍问题 

【特点】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。

求杏树、桃树各多少棵？

解 桃树的棵数是杏树的3倍，也就是桃树比杏树多（3-1）倍

（1）杏树有多少棵？

 124÷（3－1）＝62（棵） 

（2）桃树有多少棵？

 62×3＝186（棵） 

答：

果园里杏树是62棵，桃树是186棵。

 解题关键：

1倍数=差÷（倍数－1）

练习1

1、服装厂的女工比男工多78人，女工人数是男工人数的3倍，求有男工、女工各多少人？

 2.甲仓库比乙仓库多存粮240千克，甲仓库存粮是乙仓库存粮的4倍，两仓库各存粮多少千克？

 3.有两层书架，第二层的书是第一层的4倍，如果从第二层取236本放第一层，两就一样多.那么两层书架各有多少本书？

例2.粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？

解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－94）。

把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相当于（3－1）倍，因此

剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨） 

运出的小麦数量＝94－22＝72（吨）

 运粮的天数＝72÷9＝8（天） 

答：

8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。

练习2.

1. 甲桶酒是乙桶的5倍，如从甲桶中取出20千克倒入乙桶，那么两桶酒重量相等。

两桶酒原来各有多少千克？

2.仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的2倍还多100千克，问仓库有大米和面粉各多少千克？

3.果园里种了一批苹果树和桃树，已知苹果树比桃树多1600棵，苹果树的棵树比桃树的3倍多100棵。

苹果树和桃树各种了多少棵？

六.倍比问题

【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题.

 例1. 100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？

解 

（1）3700千克是100千克的多少倍？

 3700÷100＝37（倍） 

（2）可以榨油多少千克？

 40×37＝1480（千克）

 列成综合算式 40×（3700÷100）＝1480（千克）

 答：

可以榨油1480千克。

这类题目与归一问题类似，往往在用归一法难解时用倍比法 

练习1

1.今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？

2. 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？

全县共收入277775元，全县共多少亩果园？

3.某厂运来一批煤，计划每天用5吨，40天用完，如果改进锅炉，每天节约1吨，这批煤可以用多少天？

例2. 8个工人3小时制作机器零件360个，如果人数缩小了2倍，时间增加了5小时，可制作机器零件多少个？

解：

此题中人数缩小了2倍指现在的人数是8÷2=4（人）；时间增加了5小时指现在的时间是3＋5=8（小时）。

故：

可制作36O÷8÷3×（8÷2）×（3+5）

=15×4×8

=480（个）

答：

可制作机器零件480个。

练习2.

1.12人25天挖了一个长60米、宽2米、高2.8米的防空洞，照这样的速度计算，30人用20天挖防空洞可以挖土多少立方米？

2. 某工地的一项工程，原计划由30人工作，每天工作8小时，45天完工。

为了提前完工，实际由54人工作，每天工作10小时，可以提前几天完工？

3.某车间用4台车床5小时生产零件600个，照这样算，7台同样车床8小时可以多生产多少个零件？

七.相遇问题 

例1 南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？

解 两船1小时共行（28+21）小时

392÷（28＋21）＝8（小时） 

答：

经过8小时两船相遇。

解题关键：

相遇时间=总路程÷速度和

速度和=总路程÷相遇时间

总路程=相遇时间×速度和

练习1.

1、两辆汽车从A、B两地同时出发、相向而行，甲每小行50千米，乙每小行60千米，经过3.5小时相遇。

A、B两地相距多少千米？

2、客车和货车同时从两城出发，相向而行，客车每小时行45千米，比货车每小时多行3千米，经过4小时两车相遇。

两城相距多少千米？

3、客轮、货轮从武汉和上海两地同时出发，相对开出，货轮每小时行40千米，客轮的速度是货轮的1.2倍，两地相距862.4千米。

请问几小时两船可以相遇？

例2 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。

解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。

从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此， 

相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）

 两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米） 

答：

两地距离是84千米。

练习2、

1、小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？

2、甲、乙二人同时从A地B地，甲每分钟行120米，乙每分钟行100米，甲到B后立即返回，在距B地80米处与乙相遇。

甲、乙两地的路程是多少米？

3、甲乙二人从相距200千米的A、B两地同时出发，相向而行，10小时后相遇，已知甲每小时比乙快2千米，求两人的速度.

八.追及问题

例1、小明从甲地到乙地，每分钟走70米，8分钟后小武骑自行车以每分钟150米的速度从甲地出发追小明。

多少分钟才能追上小明？

解小明8分钟行70X8米

小武每分钟比小明多行（150-70）米

追上小明时间70X8÷（150-70）=7（分钟）

答：

7分钟追上小明.

解题关键：

追击时间=路程差÷速度差

 练习1.

1、好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？

2、甲乙二人分别从相距48千米的两地同时向西而行，甲车每小时行36千米，乙每小时行20千米，几小时后甲追上乙?

3、甲乙两人分别从A村和B村同时向东而行，甲骑车每小时行14千米，乙步行每小时行5千米，2小时后甲追上乙，求A、B两村的距离?

例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。

小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。

又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是  

（500－200）÷［40×（500÷200）］ ＝300÷100＝3（米） 

答：

小亮的速度是每秒3米。

这道题的解题关键是求出追击时间

练习2.

1.我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。

已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？

2. 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。

哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。

问他们家离学校有多远？

3.孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。

后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。

求孙亮跑步的速度。

九.植树问题

 例1 一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？

解 由于头尾都栽，所以棵数等于段数加1

136÷2＋1＝68＋1＝69（棵） 答：

一共要栽69棵垂柳。

练习1.

1、一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？

2、两座楼房之间距离50米，要在之间每2.5米栽果树，一共可栽多少棵？

3、一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？

 例2、一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？

解

（1）桥的一边有多少个电杆？

 500÷50＋1＝11（个）

（2）桥的两边有多少个电杆？

 11×2＝22（个）

 （3）大桥两边可安装多少盏路灯？

22×2＝44（盏）

 答：

大桥两边一共可以安装44盏路灯。

练习2

1、爷爷带着豆豆在人行道上散步，从第1盏路灯到第12盏路灯处共用了12分钟，当他们走了40分钟时，走到了第（）盏路灯旁。

2、在150米的田埂上植树，两端各植一棵，每隔6米中一棵柳树，两棵柳树之间又种3棵槐树，那么，柳树植（）棵槐树植（）棵。

3、护士为病人每5小时量一次体温，做第12次测量时，时钟时针指向9.那么做第一次时，时针指向（）。

十.年龄问题

[特点]：

两个人的年龄差不变

例1. 爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？

明年呢？

解 35÷5＝7（倍）  

（35+1）÷（5+1）＝6（倍）

 答：

今年爸爸的年龄是亮亮的7倍， 明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

例2 母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？

 解 

（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？

 37－7＝30（岁） 

（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？

30÷（4－1）－7＝3（年） 

列成综合算式 （37－7）÷（4－1）－7＝3（年）

 答：

3年后母亲的年龄是女儿的4倍。

练习2

1、3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？

2、小强今年13岁，小军今年9岁，当两个人的年龄和是40岁时，两个人各多少岁？

3、 甲对乙说：

“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。

乙对甲说：

“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。

求甲乙现在各是多少岁？

十一. 行船问题

这类问题的特点是船速水速，船顺水和逆水速度是不一样的。

其中顺水速度=船速+水速、逆水速度=船速-水速

例1. 一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？

解 由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时 320÷8－15＝25（千米） 

船的逆水速为 25－15＝10（千米） 

船逆水行这段路程的时间为 320÷10＝32（小时） 

答：

这只船逆水行这段路程需用32小时。

这类问题的数量关系是：

船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 

水速 ＝（顺水速度－逆水速度）÷2

顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2 

逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2 

练习1

1、甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？

2.一只船每小时行14千米，水流速度为每小时6千米，问这只船逆水航行112千米，需要几小时？

3. 一只船顺水每小时航行12千米，逆水每小时航行8千米，问这只船在静水中的速度和水流速度各是多少？

例2.甲、乙两港相距192千米，一艘轮船从甲港顺流而下行16小时到达乙港，已知船在静水中的速度是水流速度的5倍，求水流速度和船速。

解由已知条件可知顺水速度是每小时192÷16=12（千米）

因为顺水速度=船速+水速而船速是水速的5倍

所以水速=12÷（1+5）=2船速=2×5=10

答：

水流速度是每小时2千米；船速是每小时10千米。

练习2.

1. 甲、乙两码头相距72千米，一艘轮船顺水行需要6小时，逆水行需要9小时，求船在静水中的速度和水流速度。

 2. 静水中，甲船速度是每小时22千米，乙船速度是每小时18千米，乙船先从某港开出顺水航行，2小时后，甲船同地同方向开出，若水流速度为每小时4千米，求甲船几小时可以追上乙船？

3.一艘轮船在静水中的速度是每小时15千米，它逆水航行88千米用了11小时。

问：

这艘船返回原地需要用几小时？

十二.列车问题

例1.一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共用了3分钟，这列火车长多少米？

解:

火车3分钟共行的路程就是桥长与火车车身长度之和，所以

车身长度900×3-2400=300（米）

答：

火车车身长300米

练习1.

1.一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用2分5秒的时间，求大桥的长度是多少米？

2.一列火车以同一速度驶过两座大桥，第一座桥长300米，用了20秒；第二座桥长450米，用了25秒。

这列火车长多少米？

3.一列火车通过一座1000米的大桥要65