第一章导热理论和导热微分方程.docx
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第一章导热理论和导热微分方程
第一章导热理论和导热微分方程
彼此接触的物体各部份之间依托分于、原于和自由电于等微观粒于的热运动而传递热長的进程称为导热。
在纯导热进程中物体各部份之间没有宏观运动。
与固体物理的理论研究方式不同，传热学研究导热问题时不是对导热进程的微观机理作深切的分析，而是从宏观的、现象的角度动身，以实验中总结出来的大体定律为基础迸行数学的推导，以取得如温度散市、温度-时刻响应和热流密度等有效的结果。
这种处直方式的物理概念简单明丁，但所要求的数学知识和技术仍是宣杂和圉难的。
本书在材料的选取上,注意在介绍有重要应用价值的结果的同时，也给予求解导热问题的典型敌学方式以足够的重视，以培育和进展读者独立解决问题的能力。
1-1导热大体定律
1-1-1温度场
由于传热学以宏观的、现象的方式来研究导热问题，团此必雷引入持续介质假定，以便用持续函数来描述温度散布。
温度场就是在必然的时刻和空间域上的温度散布。
它能够表示为空间坐标和时刻的函教。
由于温度是标旻，温度场是标長场。
常常利用的空间坐标系有三种：
直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
在直角坐标系中，混度场能够表示为
r=/（x,）\z,r）
（1-1-D
式中：
t表示温度；x、y、z为三个空间坐标；i表示时刻。
若混度场各点的温度均不随时刻捷变，即dt/dr=0，则称该温度场为稳态温度场，不然为非稳态混度场。
若温度场只是一个空间坐标的函数，则称为一维混度场；若温度场是两个或三个空间坐标的函教，则称为二维或三维温度场。
1-1-2等温面与温度梯度
物体内温度相同的点的集合所组成的面叫做等温面。
对应不同温度值的等温面组成等温面族。
等温面与任一截面的交线形成等温线。
由于等温线具有形象直观的长处，二维温度场常常利用等温线来表示温度散市。
由于在同一时刻物体的一个点上只能有一个温度值，所以不同的等温面不可能相交。
它
们或在域内形成封锁曲线，或终止于物体的边界。
如图M所示，在物体内某一点P处，沿空间某一方向/的温度的转变率
什A/
dt△/—=11m—dlZ）△/
（1-1-2）
称为温度场沿该方向的方向导数。
因为沿等温而方向温度不变，所以温度场在等温而方向的方向导数为零。
对于肯上的空间点，在空间各方向上最大的方向导数称为该点的梯度。
所以,温度梯度是一个向量。
温度梯度的方向是温度增加最快的方向，它的模（大小）等于最大的方向导数。
温度梯度能够记作grad/或▽人温度梯度在任一方向/的投影就是该方向的方向导数。
若/方向与gradf的夹角为0,则
—=gradt・l=cos0
（1-1-3）
其中/是/方向的单位向量；显然，温度梯度垂直于过该点的等温而。
在直角坐标系中。
温度梯度在三个坐标轴上的投影别离为阳dt/dy.dt/dz,则有
=雪+鱼j+生k
dxdydz.
（1-1-4）
其中人八k别离为x、y、z在座标轴上的单位向量。
在一般的正交坐标系中梯度的表达式将在以后讨论。
持续温度场内的每一点都对应一个温度梯度向量，所以温度梯度组成一个向量场。
应该注意，梯度（gradient）在英文中有两个不完全相同的意义。
一个是以上介绍的严格按数学（场论）意义上概念的梯度，它是一个向量：
另一个意思是“坡度”、“转变率”。
由此在有些中文书中也可见到如“温度场在x方向的梯度”如此的说法，意思是dt/dxo读者应加以区别。
1-1-3热流向量
单位时刻内通过单位而积传递的热虽:
称为热流密度，记作q,单位为W/n*。
对肯左的空间点、在不同方向上热流密度是不同的。
与概念温度梯度的方式一样，能够概念一点处的热流向量。
热流向量的方向是热流密度最大的方向，其大小等于该方向的热流密度。
热流向量记作"任一方向的热流密度等于热流向量在该方向的投影。
任持续温度场内的每一点都对应一个热流向量，所以热流向量也组成一个热流向量场，或称热流场。
在直角坐标系中
q=qxi+qyj+q.k
（1-1-5）
1-1-4傅里叶定律
以实验观察为基础并通过科学的抽象，1822年法国数学物理学家傅里叶（JosephFourier）提出了把温度场和热流场联系起来的大体左律。
对于各向同性（材料的导热系数不随方向改变）的物体，傅里叶定律可表述为：
热流向量与温度梯度成正比，方向相反。
因为温度梯度是指向温度升髙的方向，而按照热力学第二泄律，热流老是朝着温度降低的方向,或用数学形式表示为
q=-Agrcult
（1-1-6）
其中入称为材料的导热系数。
把势（1-1-4）.（1-1-5）代入式（1-1-6）,可得傅里叶左律在直角坐标系中的投影表达式为
匀一去££彷ar-a7
A22___===
（1-1-7）
傅里叶定律适用于稳态和非稳态的、无热源和有热源的温度场，也适用于常物性和物性随温度改变的情形。
但对于务向异性材料将必需作必然的修改，对此将在后而的第三节中讨论。
傅里叶左律成立了温度场和热流场之间的联系，温度场肯定以后热流场就被唯一地肯定，而且可进一步求得经物体内部或边界上任意表面传导的热流呈（如图1-2所示）：
图1-2通过任意表而的热流量
dQ=q・dA=一入gradf・dA
（1-1-8）
Q=^qdA
=［一入gradf•dA
（1-1-9）
其中，dA是而积元向量，方向为表面的外法线方向。
如此，在已知导热系数的情形下，由温度场能够肯定流过任意表而的热流虽:
。
因此，虽然在许多实际问题中可能更关心热流量的计算，可是在求解导热问题时老是把求解温度场放在首腹地位。
115导热系数
傅里叶立律的另一个作用就是概念了导热系数，即
k/l
（1-1-10）
在导热分析中，导热系数是一个重要的物性参数，在给左温度梯度的条件下热流密度的大小正比于导热系数。
在国际单位制中，导热系数的单位是W/（m・K）。
导热系数与材料的种类及其所处的状态有关。
固体、液体与气体，金属与介电质的内部结构不同，导热的机理也有专门大的不同。
热物性学的现代理论提供了对导热进程微观机理的解释，并为按要求的热物性“设计”特左的材料提供了可能的途径。
可是这些理论还不够完善，除对理想气体和晶体等比较简单的情形之外，对于绝大多数材料还不能较精准地预测瓦导热系数。
有关导热微观机理的理论可参阅文献［1，2］。
对于绝大多数材料，此刻还不能按照其结构和导热机理来汁算英导热系数。
各类实际应用材料的导热系数主如果通过实验的方式取得的。
目前已有一系列不同的实验方式可用来测定各类材料在不同温度范用内的导热系数，专门是20世纪60年代以来进展起来的多种非稳态的方式，由于其测试时刻短（几秒至几十秒）、适应性强等长处，已被普遍采用。
许多常常利用材料的热物性数据能够在一些手册中查得。
一般来讲，材料的导热系数是温度的函数。
大多数纯金属的导热系数随温度的升髙而减小，而气体与介电材料的导热系数随温度的升高而增加。
在极低温条件下（0-60K）,金属的导热系数随温度有猛烈的转变，且能够达到很髙的值。
例如，纯铜在10K时的导热系数可达X12W/（m・K）。
对于液体和气体，专门是在接近临界状态的条件下，导热系数还与压力有关。
接近真空的稀薄气体中的传热已不属于经典的导热进程。
在求解导热问题时常常假左导热系数是常量，即不随温度转变。
按照傅里叶定律，现在热流与温度梯度成线性关系，问题的求解能够取得专门大简化。
在需要考虑导热系数随温度转变而温度转变范围又不太大时，工程上常常利用线性关系来近似导热系数与温度的关系,即
2=人）（1+历）
（1-1-11）
为了对各类材料导热系数的大小有一个数量级的概念，一些典型材料在通常工程温度范围内的导热系数的范围列于下而：
金属50-415W/（m•K）
合金12J20W/（m・K）
非金属液体隔热材料0.（m・K）
大气压力下的气体从以上数据能够看到，在通常的温度范围内导热性能最好的材料与最差的材料相较，导热系数大约相差5个数量级。
这虽然是相当差异的不同，但从实际应用的需要来看，导热材料和隔热材料在导热性能上的反差仍显得过小。
导热与导电有专门大的类似性。
但优良导电材料（如铜）的电导率与电绝缘材料（如塑料）的电导率相差达12个数量级以上，因此很容易设计各类电路来控制电子的流动（电流），电学量的测量也常能够达到很高的精度。
相较之下，控制热流要困宝贵多，这是热的测量很难达到较高精度的主要原因。
这也使保温隔热成为传热学和许多工程领域的重要课题。
1-2固体导热问题的数学描述
固体导热问题的数学描述包括导热微分方程和单值性条件。
导热微分方程能够按照直角坐标系（或柱坐标系、球坐标系）中微元体的热平衡导得，其推导进程可参阅大多数的传热学教科书。
这里给岀更一般的不依赖于坐标系的推导。
成立导热微分方程的依据仍然是能量守恒泄律。
由于所考虑的导热体系是静止的，与外界没有功的互换，所以体系取得的热量应该等于体系内能的增加。
体系取得的热疑能够有两部份：
一部份是由于导热通过体系的界而传入的热疑，另一部份是由于内热源（化学反映、电加热等）的发烧而产生的热量。
参照图1-3,导热体系的体积为V,表面为A。
单位时刻内通过表面A由导热进入体系的热量Q、为
dA
图1・3导热微分方程的推导
Q、=g・=-JV7・qdV
（1-2-1）
其中dA是指向外法线方向的面积元向量，负号表示热流指向体系内部（与表而的外法线方向相反）。
这里应用了散度左理把而积分转换为体积分，其中
（1-2-2）
称为热流向量§的散度。
内热源的体积发烧率0•是单位时刻内单位体积的内热源的发烧量，在国际单位制中的单位是W/mU—般来讲，它能够是坐标和时刻的函数，记为加q、，（r,T）°由此，单位时刻内体积V中内热源产生的热量02为
02十⑷
V
（1-2-3）
单位时刻内体积V中热量的增加@为
（1-2-4）
对导热体系成立能量平衡方程，则有
Q\+Q=Q、
（1-2-5）
（1-2-6）
由于式（1-2-6）对于整个或部份空间域是普遍适用的，它对体系内的任一微元体积也
成立。
如此，能够把积分号去掉，由此取得
dt
pc==-7・q+q、，
dr
（1-2-7）
按照傅里叶泄律，热流向量能够由温度梯度取得。
把势（1-1-6）代入方程（1-2-7）能
够取得含有内热源的各向同性物体中的导热微分方程：
dr
（1-2-8）
若是导热系数不随空间位垃和温度而转变，则以上方程可简化为
OTpC
（1-2-9）
式中：
称为拉普拉斯算子：
6/=A/（pc）称为热扩散率或导温系数。
热扩散率是材料的热
物理性质，在国际单位制中的单位是m2/so热扩散率表征材料内部温度趋于均匀的能力，是描述非稳态导热进程的一个最重要的热物性参数。
在常物性且没有内热源的情形下，方程（1-2-9）进一步简化为扩散方程，或称傅里叶方程：
dt
乔
（1-2-10）
在稳态条件下，dt/dr=09则有内热源时方程（1-2-9）简化为泊松方程:
R+乞=0
2
（1-2-11）
稳态而无内热源时上式进一步简化为拉普拉斯方程:
v2r=o
（1-2-12）
泊松方程和拉普拉斯方程是典型的椭圆型偏微分方程。
在常物性条件下，非稳态导热由方程（1-2-9）描述。
这种方程在偏微分方程的分类中称为扩散方程，或抛物线型方程。
扩散方程的特点是，物体在某一处受到的温度（或热）的扰动将以无穷大的速度传播到物体中的遍地，也就是在距离扰动源无穷远处也能瞬时地感受到该扰动的作用。
这一结果在以后章节介绍的半无穷大物体非稳态导热的解中能够明显地看到，虽然在无穷远处受到的影响是超级微小的。
如前所述，导热进程是依托微观粒子的热运动而引发的物体内能的迁移，以为它的传播速度是无穷大在物理概念上显然是不适合的。
随着现代科学技术的进展，在一些极端的条件下，例如时刻极短（爪或M量级）的激光脉冲加热，和接近0K（绝对零度）的超低温固体氨中，发觉导热的规律与扩散方程指示的结果有明显的不同。
为此有人建议，描述非稳态导热的控制方程应该是衰减的波动方程。
（1-2-13）
这一方程不是抛物线型的，而是双曲线型的，其中比称为松弛时刻，J殛=C称为热传播速度。
由此，式（1-2-13）又可写作
1d2t1dt“
——+=v-r
C'dradr
（1-2-14）
在5=0或C=s的极限情形下，上式退化为常规的导热微分方程（1-2-10）。
对于绝大多数的实际问题，上式等号左侧两项中的第一项要比第二项小很多，能够相差达10个数量级，因此完全能够忽略不计。
可是对于极短的时刻，或是极低的温度的问题，热传播速度为有限值的影响就可以够表现出来。
为了导出方程（1-2-14）,式（1-1-6）所表示的傅里叶龙律也需要作相应的修改。
这也从期一个侧而说明傅里叶左律只是从实际经验和实验中抽象出来的表象性的规律，因此在适用范围上有局限性。
1-2-1正交坐标系中导热微分方程的表达式
温度梯度▽仪热流向量的散度厂・q、温度场的拉普拉斯算子等都是客观存在的物理量，以上导得的导热方程（1-2-8）〜（1213）是客观存在的物理规律，它们都不随坐标系的选择而改变，可是它们的具体表达式却随坐标系的选择而异。
在解决实际的导热问题时,第一需要选择适当的坐标系，以减少自变量的数量和便于边界条件的表达。
例如矩形区域中的问题可采用直角坐标系，而圆柱体中的导热则采用柱坐标系更为方便。
一般来讲，空间的一个点可由三个独立的参数肯立，这三个参数（x.,x2,x3）组成一个坐标系。
若是在空间任一点处沿坐标轴方向的单位向量都两两垂直，则称该坐标系为正交坐标系。
最常常利用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系，它们都是正交坐标系。
以下简要讨论一般正交坐标系中的大体量和导热微分方程的表达式。
设有一正交坐标系（xpx2,x3）如图1-4所示，X］、x2>X3是它的三个坐标轴，相应的坐标轴方向的单位向量为勺、勺、*3。
正交坐标旺、“2、心与直角坐标X、丫、Z之间的函数关系为
乳=班兀1，尤2，心）
y=y（xrx2,x3）>
Z=Z（xpx2,x3）
（1-2-15）
在正交坐标系中任一点P处取正交微元六而体，相应的坐标增虽:
为〃川、〃兀、对应的曲线微段的弧长为〃厶、川2、（〃3。
任直角坐标系中空间曲线弧长的微分为
j<1/严Hidx】
d沪耳血
图1・4正交坐标系
dl=y]（dx）2+（dy）2+（dz.）2
（1-2-16）
在座标轴Xi上，只有Xi坐标有转变，因此正交微元六而体的三个边长别离为
U=J（$）2+（$）?
+（$）込,i=1,2,3
voxiax;dx;
（1-2-17）
令
则式（1-2-17）能够写作
2123
（1-2-19）
H”（i=l,2,3）称为拉梅系数，或称度规系数。
若是己知直角坐标系和正交坐标系之间
的函数关系式（1-2-15）,则可由式（1-2-18）肯定拉梅系数。
很明显,它们一般是坐标的函数，在一些特例的情形下也能够是常量。
取得拉梅系数后，就可导得正交微元六而体中各个微元面积的表达式：
dA}=dl2dl3=H2Hydx2dx3dA2=dl3dlx=H3H}（lx3dx}>dA3=dl}dl2=H}H2dx}dx2
（1-2-20）
或写作
…Hdx.dx^dx.dA.=!
―=~~-
H,dXj
（1-2-21）
其中H=H\HH。
正交微元六而体中微元体积的表达式为
dV=〃“〃2〃厶=Hd/应
（1-2-22）
按照梯度、散度等大体量的概念，能够取得它们在正交坐标系中的一般表达式。
它们是
（1-2-23）
（1-2-24）
（1-2-25）
把势（1-2-23）〜（1-2-25）代入以上导得的方程，例如适用于变导热系数时的导热微分方程（1-2-8）,可得相应的在一般正交坐标系中的导热微分方程为
drH仁dxiHidxi
（1-2-26）
在直角坐标系（x,y,z）中，三个坐标轴均为直线，因此有H{=H2=H3=\.对于
如图1・5所示的柱坐标系（r,z）,其坐标与直角坐标之间的关系为
召=/•、x2=（p>
y=rsin（p
（b）球坐标系
图
1-5
x=rcos（p
H、=yjcos20+sin‘（p=1
H2=廿cos2（p+r2sin2（p=r
H产1
（1-2-27）
一样地，对于球坐标系（r,0,p）有
x=/sin&cos©,y=rsin^sin^,z.=rcos0
则能够导得球坐标系中的拉梅系数为
H产
H2=Hd=r
Hy=Hp=rsin0
（1-2-28）
由此得直角坐标系中的拉普拉斯算子表达式为
“d2td2td2t
V'r=—+—+—7
dx2勿2&2
（1-2-29）
在柱坐标系（r,“18/6/、1d2td2t
rdrdrr~d（p~dz.'
（1-2-30）
EI。
/®10,.6f、1d2t
V-^=——（r—）+（sin0——）+—一；?
r2drdrr1sin0d0dOr1sin20dtp1
（1-2-31）
1-2-2导热进程的单值性条件
导热微分方程描述了导热问题的“共性”，但要取得一个肯左的导热问题的解（温度场和热流），还需要给立各别问题的'‘个性”，即单值性条件。
单值性条件包括以下各项：
几何条件一一说明参与进程物体的大小和形状。
若是是各向异性材料，还应给出导热系数主轴的方向。
物理条件一一给立各类有关物理量的值，包括随温度转变的函数关系、有无内热源和内热源的大小和敬布。
时刻条件一一说明进程在时刻上的特点。
稳态进程不需要时刻条件：
对于非稳态进程,则要给岀初始温度散布，即初始条件。
边界条件一一描述在区域边界上进程进行的特点。
几何条件和物理条件通常体此刻导热微分方程的简化和坐标系的选取中，而时刻条件（对非稳态问题）和边界条件则表现为单独的数学表达式。
以下简要讨论几种常常利用的边界条件。
第一类边界条件给泄边界上的温度。
一般情形下，边界上的温度能够是时刻和位置的函数，并可表示为如下的形式：
在边界而S处
（1-2-32）
数学上，第二类边界条件给圧所求函数在边界上的法向导数值，在导热问题中等同于给立边界上的法向热流密度。
一般情形下，边界上的热流密度能够是时刻和位置的函数，并可表示为如下的形式：
在边界面S处
dt
=/（"）
（1-2-33）
绝热边界知足亦
=0.是第二类边界条件的一个特例。
数学上，第三类边界条件给立所求函数在边界上的函数值和法向导数值的线性组合，在导热问题中等同于结立外界介质的温度和边界上的对流换热表而传热系数，由此又称为对流边界条件。
对边界上的微元而积写出热量平衡，可得
在边界而S处
（1-2-34）
式中：
等号左侧是在表而外法线方向上物体内部导热的热流密度；等式右边是物体表而通过牛顿冷却定律传递给环境的热量。
前而所述的第一类边界条件和第二类（绝热）边界条件都能够看做是第三类边界条件的特例。
若是h=0,则第三类边界条件转化为绝热边界条件；若是h=oo,则有第三类边界条件转化为第一类边界条件。
在具体的坐标系中写岀以上边界条件时，要注总边界外法线的指向。
例如，对于图1-6所示的与x方向垂宜的两个表而，其第二类边界条件应别离为
dtdt
场二dtdndx
图1-6
对流边界条件和外法线方向
除由单一非复合材料组成的物体外，还需要肯立物体的内部条件，用以表征诸如交壤而
热阻和交壤而反映如此一些影响。
最多见的情形是在求解复合区域的导热问题时需要列出区域分界而上的边界条件。
两种相似的或不同的材料能够用粘合剂或用机械的方式（加压、紧固等）结合在一路。
若是粘在一路，则粘合剂表示一种简单的热阻，交壤而上热阻的大小由粘合剂的厚度和导热系数决定。
若是两种材料交壤而上为无粘合剂接触，那么就会因非理想接触而对热流有一热阻。
不仅接合处两个微观粗糙表而之间的彼此接触而积要比表观的表而积小得多，而且肉眼可见的表而波纹状不平度，也会使实际的物体表面的接触状况进一步恶化。
通过交壤而的热互换是由通过真正接触点的导热、通过截留在裂缝内的流体的导热和通过裂缝的辐射传热这三种机理综合进行的。
结合处的总热导是由接触材料（它们的导热系数、表而粗糙度、不平度和硬度）、接触压力、结合处的平均温度和热流、裂缝内流体的性质（液体、气体、真空）、是不是存在氧化皮或填隙材料等一系列因素决上的。
通过两种不同材料1和2间粗糙接触面的稳态导热状况如图1-7所示,接触面周国可能存在一明显的温度跃变。
概念一假想的交壤而温降△/，它是由两种材料远离接触面处按线性转变的实际温度外推至中心线得出的。
在稳态热流q的情形下，单位交壤而接触热阻概念为
&=—q
（1-2-35）
对于理想接触，温降等于零，凡=0。
在这种情形下，内部边界条件就是温度散布和热流在交壤面上持续，即在如图1-8所示的系统中，分界而上的边界条件可写作
Zl|s=tl\s
S’
（1-2-36）
貝中两个偏导数的正方向为两区域各自的外法线方向，因此式中出现负号。
如此的边界条件也有称为第四类边界条件的。
若是在界面上有接触热阻存在，则温度散布在界面上再也不持续，以上边界条件应改成
dnsQn$
（1-2-37）
提髙压紧两种材料的压力能够增加随机性质的点接触和大尺度的而接触,因为压紧能够使凹凸不平的而配合紧密，能够克服被波纹不平度造成的非理想接触，还能够使两种较软材料发生弹性和塑性变形。
为了降低接触热阻也能够人为地在接触而之间插入容易变形的髙导热系数的填隙材料。
以上说明的几种边界条件都是线性边界条件，有利于问题的求解，同时也归纳了实际问题中大部份的情形。
另外，也有一些导热问题的边界条件是非线性的。
如热辐射边界条件的热流与边界温度的四次幕有关；自然对流边界条件的热流正比于温差的5/4或4/3次方。
与相变（如熔化、凝固、饶蚀）相联系的边界条件也是非线性的。
处置这些非线性边界条件在数学上有较大的难度，因此往往需要作为专门的问题加以研究。
1-3各向异性材料中的导热
式（1-1-6）表示的傅里叶立律只适用于各向同性材料。
在工程实际中也可能碰到各向异性材料，它们的物性在空间的各个方向上不相同。
如晶体材料、木材、石墨和沉积岩等是典型的各向异性材料；层压的复合材料、硅钢片叠加而成的铁芯等，在宏观上也有各向异性的特征。
在并向异性材料内部，温度场、等温面和温度梯度的概念仍适用，热流向量的概念也不变。
但现在导热系数再也不是一个与方向无关的标虽:
，即从一点动身，沿各个方向的导热系数不同。
热流向量的分量，例如小，一般取决于沿x、y、z三个方向的温度梯度的线性组合。
在直角坐标系中可表示为
3dt3dt.dt'
一qx=+心~
exdydz.
_3dtt.dtt,dt
yyxdxvyd
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