届中考数学通用版复习专题学案开放性问题.docx

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届中考数学通用版复习专题学案开放性问题

开放性问题

【题型特征】一个数学问题系统中,通常包括已知条件、解题依据、方法和结论.如果这些部分齐备,称之为封闭性问题.若不完全齐备,称之为开放性问题,数学开放题就是指那些条件不完整,结论不确定,解法不限制的数学问题,它的显著特点是正确答案不唯一.

常见的开放性问题有:

（1）条件开放型;

（2）结论开放型;（3）策略开放型;（4）综合开放型.

【解题策略】

（1）条件开放型,指结论给定,条件未知或不全,需要探求结论成立的条件,且与结论成立相对应的条件不唯一的数学问题.这类开放题在中考试卷中多以填空题形式出现.

解条件开放型问题的一般思路是:

由已知的结论反思题目应具备怎样的条件,即从题目的结论出发,挖掘条件,逆向追索,逐步探求,最终得出符合结论的条件.这是一种分析型思维方式.

（2）结论开放型,指条件充分给定,结论未知或不全,需要探求,整合出符合给定条件下相应结论的一类试题.这类开放题在中考试卷中,以解答题居多.

解结论开放型问题的一般思路是:

充分利用已知条件或图形特征,进行猜想、归纳、类比,透彻分析出给定条件下可能存在的结论,然后经过论证作出取舍.这是一种归纳类比型思维方式.

（3）策略开放型,是指题目的条件和结论都已知或部分已知,需要探求解题方法或设计解题方案的一类试题.这类开放题在中考试卷中,一般出现在阅读题、作图题和应用题中.

解策略开放型问题的处理方法一般需要模仿、类比、实验、创新和综合运用所学知识,建立合理的数学模型,从而使问题得到解决.这是一种综合性思维.

（4）综合开放型,是指条件、结论、解题方法中至少有两项同时呈现开放形式的数学问题.这类问题往往仅提供一种问题情境,需要我们补充条件,设计结论,并寻求解法的一类问题.

解综合开放型问题要求我们对所学知识特别熟悉并能灵活运用.

类型一　条件开放型

典例1　（2019·云南）写出一个图象经过一、三象限的正比例函数y=kx（k≠0）的表达式（表达式）　　　　. 

【解析】∵正比例函数y=kx（k为常数,且k≠0）的图象经过一、三象限,

∴k>0.

比如k=1.故答案可以为y=x.

【全解】y=x.

【技法梳理】解答条件开放题主要根据“执果索因”的原则,多层次、多角度地加以思考和探究.

解题的关键是掌握正比例函数图象的性质:

它是经过原点的一条直线.当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.

举一反三

1.（2019·江苏连云港）若函数

的图象在每一象限内,y随x的增大而增大,则m的值可以是　　　　.（写出一个即可） 

2.（2019·江苏淮安）如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使得四边形ABCD是平行四边形,应添加的条件是　　　　（只填写一个条件,不使用图形以外的字母和线段）. 

（第2题）

【小结】解答条件开放题掌握概念、性质和判定是解题的关键.

类型二　结论开放型

典例2　（2019·浙江金华）写出一个解为x≥1的一元一次不等式　　　　. 

【全解】答案不唯一,只要根据不等式的解法,求其解集为x≥1即可.例如x-1≥0.

举一反三

3.（2019·吉林）如图,OB是☉O的半径,弦AB=OB,直径CD⊥AB.若点P是线段OD上的动点,连接PA,则∠PAB的度数可以是　　　　.（写出一个即可） 

（第3题）

4.（2019·甘肃天水）写出一个图象经过点（-1,2）的一次函数的表达式　　　　. 

【小结】结论开放题与常规题的相同点是:

它们都给出了已知条件（题设）,要求寻求结论;区别是前者的条件一般较弱,结论通常在两个以上,解答时需要发散思维和分类讨论等思想方法的参与,而后者答案一般只有一个,解题目标大多比较明确.

类型三　策略开放型

典例3　（2019·山东淄博）如图,在正方形网格中有一边长为4的平行四边形ABCD,请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形.（要求:

在答题卡的图中画出裁剪线即可）

【解析】

【技法梳理】策略开放题通常是指设计类或几何类开放题,这类题大多因为解决问题的方法、策略有多种,造成多个答案各具特色,解答时应根据优劣选择出最佳解答.

举一反三

5.（2019·湖北荆门）如图,在44的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）.若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠面积,且组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有（　　）.　

（第5题）

A.2种B.3种

C.4种D.5种

【小结】解策略型开放题时,要对已有条件进行发散联想,努力提出满足条件和要求的各种方案和设想,并认真加以研究和验证,直至完全符合要求为止.解决这类问题时往往需要利用分类讨论思想,作多方面设计与思考.

类型四　综合开放型

典例4　（2019·山东威海）猜想与证明:

如图

（1）摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B,C,G三点在一条直线上,CE在边CD上,连接AF,若M为AF的中点,连接DM,ME,试猜想DM与ME的关系,并证明你的结论.

拓展与延伸:

（1）

（2）

（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不变,则DM和ME的关系为　　　　. 

（2）如图

（2）摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边CD上,点M仍为AF的中点,试证明

（1）中的结论仍然成立.

【解析】猜想:

延长EM交AD于点H,利用△FME≌△AMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明.

（1）延长EM交AD于点H,利用△FME≌△AMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明,

（2）连接AE,AE和EC在同一条直线上,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明.

【全解】猜想:

DM=ME.

证明如下:

如图

（1）,延长EM交AD于点H,

（1）

∵四边形ABCD和CEFG是矩形,

∴AD∥EF.

∴∠EFM=∠HAM.

又∠FME=∠AMH,FM=AM,

在△FME和△AMH中,

∴△FME≌△AMH（ASA）.

∴HM=EM.

在Rt△HDE中,HM=EM,

∴DM=HM=ME.

∴DM=ME.

（1）DM=ME

（2）如图

（2）,连接AE,

（2）

∵四边形ABCD和ECGF是正方形,

∴∠FCE=45°,∠FCA=45°.

∴AE和EC在同一条直线上.

在Rt△ADF中,AM=MF,

∴DM=AM=MF.

在Rt△AEF中,AM=MF,

∴AM=MF=ME.

∴DM=ME.

【技法梳理】本题属四边形的综合,运用正方形边相等,角相等证明二个三角形全等,从而得出二条线段相等,本题的难点是辅助线的做法,通过延长或连接线段等手段来证明二个三角形全等.

举一反三

6.（2019·湖南湘潭）△ABC为等边三角形,边长为a,DF⊥AB,EF⊥AC.

（1）求证:

△BDF∽△CEF;

（2）若a=4,设BF=m,四边形ADFE面积为S,求出S与m之间的函数关系,并探究当m为何值时S取最大值;

（3）已知A,D,F,E四点共圆,已知

求此圆直径.

（第6题）

【小结】考试时,对于综合开放题,若没有其他要求,可选用简单情型的进行解答.

类型一　

1.（2019·湖南娄底）如图,要使平行四边形ABCD是矩形,则应添加的条件是　　　　.（添加一个条件即可） 

（第1题）

2.（2019·黑龙江黑河）如图,已知△ABC中,AB=AC,点D,E在BC上,要使△ABD≌ACE,则只需添加一个适当的条件是　　　　.（只填一个即可） 

（第2题）

3.（2019·湖南湘潭）如图,直线a,b被直线c所截,若满足　　　　,则a,b平行. 

（第3题）

（第4题）

4.（2019·贵州铜仁）如图所示,已知∠1=∠2,请你添加一个条件,证明:

AB=AC.

（1）你添加的条件是　　　　; 

（2）请写出证明过程.

类型二　

5.（2019·北京）如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2.写出一个函数

使它的图象与正方形OABC有公共点,这个函数的表达式为　　　　.　 

（第5题）

6.（2019·山东滨州）写出一个运算结果是a6的算式　　　　. 

7.（2019·湖南邵阳）如图,在▱ABCD中,F是BC上的一点,直线DF与AB的延长线相交于点E,BP∥DF,且与AD相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形:

　　　　. 

（第7题）

类型三　

8.（2019·浙江温州）请举反例说明命题“对于任意实数x,x2+5x+5的值总是整数”是假命题,你举的反例是x=　　　　（写出一个x的值即可）. 

9.（2019·浙江金华）在棋盘中建立如图所示的直角坐标系,三颗棋子A,O,B的位置如图,它们的坐标分别是（-1,1）,（0,0）,（1,0）.

（1）如图

（2）,添加棋子C,使四颗棋子A,O,B,C成为一个轴对称图形,请在图中画出该图形的对称轴;

（2）在其他格点位置添加一颗棋子P,使四颗棋子A,O,B,P成为轴对称图形,请直接写出棋子P的位置的坐标.（写出2个即可）

（1）

（2）

（第9题）

10.（2019·浙江宁波）课本的作业题中有这样一道题:

把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形,你能办到吗?

请画示意图说明剪法.

我们有多少种剪法,图

（1）是其中的一种方法:

定义:

如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.

（1）请你在图

（2）中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数;（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种）

（2）△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分线,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD=BD,DE=CE,设∠C=x°,试画出示意图,并求出x所有可能的值;

（3）如图（3）,△ABC中,AC=2,BC=3,∠C=2∠B,请画出△ABC的三分线,并求出三分线的长.

（1）

（2）

（3）

（第10题）

类型四　

11.（2019·湖北随州）已知两条平行线l1,l2之间的距离为6,截线CD分别交l1,l2于C,D两点,一直角的顶点P在线段CD上运动（点P不与点C,D重合）,直角的两边分别交l1,l2与A,B两点.

（1）操作发现

如图

（1）,过点P作直线l3∥l1,作PE⊥l1,点E是垂足,过点B作BF⊥l3,点F是垂足.此时,小明认为△PEA∽△PFB,你同意吗?

为什么?

（2）猜想论证

将直角∠APB从图

（1）的位置开始,绕点P顺时针旋转,在这一过程中,试观察、猜想:

当AE满足什么条件时,以点P,A,B为顶点的三角形是等腰三角形?

在图

（2）中画出图形,证明你的猜想.

（3）延伸探究

在

（2）的条件下,当截线CD与直线l1所夹的钝角为150°时,设CP=x,试探究:

是否存在实数x,使△PAB的边AB的长为4

?

请说明理由.

（1）

（2）

（第11题）

12.（2019·黑龙江牡丹江）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.

（1）求证:

CE=AD;

（2）当D为AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?

说明你的理由;