高等数学第二章答案.docx
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高等数学第二章答案
高等数学第二章答案
【篇一：
高等数学第二章复习题及答案】
>第二章
一、填空题
f（a?
x）?
f（a?
x）
?
x?
0xf（3?
h）?
f（3）
?
2、设f?
（3）?
2，则lim。
h?
0______________2h
1、设f（x）在x?
a可导，则lim。
3、设f（x）?
e，则lim
h?
0
?
1
x
f（2?
h）?
f
（2）
?
。
_____________h
cosx?
f?
（x0）?
2,（0?
x0?
），则f（x0）?
。
_______________________1?
sinx2
dy?
5、已知x2y?
y2x?
2?
0，则当经x＝1、y＝1时，。
dx_______________
4、已知f（x）?
6、f（x）?
xex，则f?
?
?
（ln2）?
_______________
。
__________
7、如果y?
ax（a?
0）是y?
x2?
1的切线，则a?
。
。
8、若f（x）为奇函数，f?
（x0）?
1且，则f?
（?
x0）?
9、f（x）?
x（x?
1）（x?
2）?
（x?
n），则f?
（0）?
10、y?
ln（1?
3?
x），则y?
?
11、设f?
（x0）?
?
1，则lim
x?
0
____________________
_________________
_________________
。
。
x
。
?
___________f（x0?
2x）?
f（x0?
x）
_________________________
12、设x?
y?
tany，则dy?
。
13
、设y?
y?
?
?
（0）?
。
_______________14、设函数y?
f（x）由方程xy?
2lnx?
y4所确定，则曲线y?
f（x）在点（1，1）处的切线方程是
______________________
。
1?
?
?
xcos
15、f（x）?
?
x
?
?
0
_______________________
x?
0x?
0。
，其导数在x?
0处连续，则?
的取值范围是
16、知曲线y?
x3?
3a2x?
b与x轴相切，则b2可以通过a表示为二、选择题。
____________
。
17、设f（x）可导，f（x）?
f（x）（1?
sinx），则f（0）?
0是f（x）在x?
0处可导的（）。
a充分了必要条件，b充分但非必要条件，
c必要条件但非充分条件，d既非充分条件又非必要条件。
?
23?
x
18、函数f（x）?
?
3
2?
x?
x?
1x?
1
在x?
1处（）
a左右导数均存在，b左导数存在，右导数不存在，
c左导数不存在，右导数存在，d左右导数均不存在。
f
（1）?
f（1?
x）
?
?
1，则曲线19、设周期函数f（x）在（?
?
?
?
）内可导，周期为4，又lim
x?
02x
y?
f（x）在点（5,f（5））处的切线斜率为（）
a
1
，b0，c–10，d–2。
2
1?
1
cos?
20、设函数f（x）?
?
（x?
1）ax?
1
?
0?
?
x2?
1
21、已知?
（x）?
?
?
ax?
b
x?
2x?
2
x?
1x?
1
则实常数a当f（x）在x?
1处可导时必满足（）
aa?
?
1；b?
1?
x?
0；c0?
x?
1；da?
1
，且?
?
（2）存在，则常数a,b的值为（）
aa?
2,b?
1;ba?
?
1,b?
5;ca?
4,b?
?
5;da?
3,b?
?
3.22、函数f（x）在（?
?
?
?
）上处处可导，且有f?
（0）?
1，此外，对任何的实数x,y恒有
f（x?
y）?
f（x）?
f（y）?
2xy，那么f?
（x）?
（）
aex;bx;c2x?
1；dx?
1。
23、已知函数f（x）具有任何阶导数，且f?
（x）?
[f（x）]2，则当n为大于2的正整数时，
f（x）的n阶导数f（n）（x）是（）
an!
[f（x）]n?
1；bn[f（x）]n?
1；c[f（x）]2n；dn!
[f（x）]2n.
1
，则当?
x?
0时，该函数在x?
x0处的微分dy是?
x的（）2
a等价无穷小；b同阶但不等价的无穷小；
24、若函数y?
f（x）有f?
（x0）?
c低阶无穷小；d高阶无穷小。
1
25、设曲线y?
和y?
x2在它们交点处两切线的夹角为?
，则tan?
?
（）
xa?
1；b1;c2；d3。
?
x?
2t?
1d2y
26、设由方程组?
y确定了y是x的函数，则2
dx?
te?
y?
1?
0a
t?
0
?
（）
1111
?
?
；b；c；d。
22
e2ee2e
一、填空题的答案1、2f?
（a）2、-1；
?
3、1e2；
4
1
4、35、-1
3?
xln310、-?
x
1?
3
32
6、6+2ln27、28、19、n!
11、112、dy?
15、?
?
216、
1
dx2
secy?
1
13、
?
14、x?
y?
0
b2?
4a6
二、选择题答案：
17、a18、b19、d20、a21、c22、c23、a24、b25、d26、b三、综合题：
27、求曲线y?
cux上与直线x?
y?
1垂直的切线方程。
剖析：
求曲线的切线议程关键有垂点，一是求切点，二是求切线斜线。
解：
设切点为
（x0y0）
则点
（x0.y0）
处的切线斜度为
k?
y?
|x?
x0?
1x0
1
?
1x0
依题意知所求切线（）坐x?
y?
1垂直，从而切点为（1、0）；切线（）为k?
1.
x0?
1
利
故所求切线方程为y?
0?
x?
1即：
y?
x?
1设f（x）?
e
?
1
x
f（2?
tc）?
f
（2）1?
2
则lim?
?
et?
0tc4
1
9、如果f（x）为偶函数，且f?
（0）存在证明f?
（0）?
0证明：
因为
f（0）?
lim
x?
0
f（x）
为偶函数，所以
f（?
x）?
f（x）
从而
f（x）?
f（0）f（?
x）?
f（x）?
f（0）
?
lim?
?
f?
（0）?
x?
0x?
0?
x?
0
?
:
2f?
（0）?
0故f?
（0）?
0
1?
2
?
xsiny?
?
x
?
?
0
x
28、讨函数
x?
0x?
0
在x?
0处方程连续性与可得
1
y?
limx2sin?
y（0），所以函数y在x?
0处连续解：
limx?
0x?
0
y?
y（0）又lim?
lim
x?
0x?
0
x?
0
x2sin
1
?
limxsin1?
0x?
0xx
y?
|
x?
0
故函数y在x?
0处可导、值29、已知解:
?
x2
f（x）?
?
?
?
x
x?
0
x?
0
求f?
?
（0）.及f?
?
（0）2f?
（0）是否存在x?
0
f（x）?
f（0）x2
f?
?
（0）?
lim?
lim?
0x?
0?
x?
0?
xx?
0f?
?
（0）?
lim?
x?
0
f（x）?
f（0）?
x
?
lim?
?
1x?
0?
xx?
0
故f?
（0）不存在30、已知
?
sinxx?
0
f（x）?
?
求f?
（x）
xx?
0?
解：
当x?
0时.f?
（x）?
cosx
当x?
0时.f?
（x）?
1
f?
?
（0）?
limf?
（x）?
lim1?
1?
?
x?
0
x?
0
所以：
f1（0）?
1从而
sx?
0?
cox
f?
（x）?
?
x?
0?
1
31、证明：
双曲线xy?
2a2上往一点处切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2。
证明：
设（x0,y0）为双曲线xy?
a2上的一点，则该点处切线的斜
a2a2
率为k?
?
从而切线方程为y?
y0?
?
（x?
x0）
x02x02
令
a2a2
x?
0得y轴上的截距为y?
y0?
?
2
x0x0
令y?
0得x轴上的截距为x?
2x0从而
11a2
s?
|x|y|?
|2x0.2|?
2a222x0
tan1x
32、设y?
e解：
y?
?
（e
?
e
tan1x
2
sin
1
求y?
x
1
tan
1x
tan11
）?
sin?
ex（s
in）?
xx
1
tan11111
（sec）（?
2）sin?
excos（?
2）
xxxxx
3x?
2
）在f?
（x）?
arcsinx23x?
2
解：
设y?
f（u）,u?
3x?
2
3x?
2
33、设y?
f（
求dy
dx
x?
0
则：
dy3x?
23（3x?
2）?
3（3x?
2）?
f?
（u）（）?
?
f?
（u）dx3x?
2（3x?
2）2
【篇二：
高等数学第二章课后习题答案】
>第二章导数与微分
1.设f?
x?
?
10x2,
试按定义求
f?
?
?
1?
.
10（?
x?
1）?
10
?
x
2
f（?
1）?
lim
2
f（?
1?
?
x）?
f（?
1）
?
x
?
x?
0
?
x?
0
?
lim
?
x?
0
?
lim
10?
x?
20?
x
?
x
?
x?
0
?
lim（10?
x?
20）?
?
20
2.下列各题中均假定f?
?
x0?
存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么,并将答案填在括号内。
⑴lim⑵lim⑶lim
f?
x0?
?
x?
?
f?
x0?
?
x
f?
x?
x
?
?
x?
0
?
（?
f（x0）
）；
（f（0）），其中f?
0?
?
0,且f?
?
0?
存在；
?
（2f（x0））.
?
x?
0
f?
x0?
h?
?
f?
x0?
h?
h
h?
0
3.求下列函数的导数：
⑴y?
x,则y?
?
4x⑵y?
32
4
3
3
x,则y?
?
2
23
x
?
13
⑶y?
1x
则y?
?
?
12
x
?
⑷y?
x
3x,则y?
?
165
11
x
5
4．求曲线y
?
cosx上点?
?
?
3
1?
?
处的切线方程和法线方
?
32?
?
程.
y?
?
sinx,y（）?
?
2
所以切线方程为y?
12
?
?
2
x?
?
3
）
?
2y?
（1?
3
）?
0
1
班级姓名学号
法线方程为y?
12
?
）?
0x?
?
3
）
化简得3x?
?
?
?
5.讨论函数y?
?
x2
sin1x
x?
0
?
在x?
0处的连续性和可导性.?
?
0x?
0因为f（0）?
0limx2
sin
1?
f（0）（有界量乘以无穷小）
x?
0
x
?
0所以函数在x?
0处连续
2
1
因为f（0?
?
x）?
f（0）
?
xsin
x?
lim
x?
0
?
x
?
?
lim
x?
0
?
x?
?
limx?
0?
xsin1?
x
?
0
所以函数在x?
0处可导.
6.已知f?
x?
?
?
x2x?
0
?
求f?
?
?
0?
及f?
?
?
0?
又f?
?
0?
?
?
xx?
0是否存在？
f
（0）?
lim
f（0?
h）?
f（0）
?
h
?
lim
h
2
?
0h?
?
0
h?
?
0
h
f
h）?
f（0）
?
h?
（0）?
lim
f（0?
h
?
lim
?
?
1h?
?
0
h?
?
0
h
?
f
?
（0）?
f?
（0）?
f（0）不存在
7.已知f?
x?
?
xx?
0?
?
sin?
xx?
0
求f?
?
x?
.
当x?
0时,f（x）?
（sinx）?
cosx;当x?
0时,f（x）?
（x）?
1;
2
班级姓名学号
当x?
0时
f
）?
f（0）
?
（0）?
lim
f（0?
h?
lim
h?
1h?
＋0
h
h?
＋0
h
f
）?
f（0）
?
（0）?
lim
f（0?
h?
lim
sinh?
1h?
?
0
h
h?
－0
h
?
f（0）?
1
综上，f（x）?
x?
0?
?
cosx?
1,x?
0
8.求下列函数的导数：
（1）y?
x3?
3x2
?
4x?
5;
（2）y?
47x
5
?
x
4
?
2x
?
12;
y?
?
2cscxcotx?
（1?
x2
）?
2cscx?
2x
（1?
x2
）
2
2
?
?
2（1?
x）cscxcotx?
4xcscx
（1?
x2
）
2
2
（2?
3x2
2x?
4
y?
）（3lnx?
x）?
（2lnx?
x3
）（
3?
2x）
y?
3x?
6（3lnx?
x2
）
2
4
2
?
x（9x?
4）lnx?
x?
3x?
2x
（3lnx?
x2
）
2
y?
?
20x?
6
?
28x
?
5
?
2x
?
2
（3）y?
5x3?
2x?
3ex
;（4）y?
2tanx?
secx?
1;
y?
15x2?
2xln2?
3exy?
2sec2
x?
secxtanx
（5）y?
lnx?
2lgx?
3log
2
x;（6）y?
?
2?
3x?
?
4?
7x?
;
3
班级姓名学号
y?
1x
?
2xln10
?
3xln2
y?
?
42x?
2
（7）y?
lnxx
;（8）y?
xlnxcosx;
2
1y?
?
x?
lnxxx
2
2
y?
2xlnxcosx?
x
2
1x
cosx?
xlnxsinx
2
2
1?
lnx
?
2xlnxcosx?
xcosx?
xlnxsinx
（9）y?
2cscx1?
x
2
;
y?
?
2cscxcotx?
（1?
x）?
2cscx?
2x
（1?
x）
2
2
2
2
?
?
2（1?
x）cscxcotx?
4xcscx
（1?
x）
32
2
2
（10）y?
2lnx?
x3lnx?
x（22
.
3?
3x）（3lnx?
x）?
（2lnx?
x）（
（3lnx?
x）
4
2
23
?
2x）
y?
22
?
x（9x?
4）lnx?
x?
3x?
2x
（3lnx?
x）12
cos?
求
2
2
9.已知?
?
?
sin?
?
d?
d?
?
?
?
4
.
因为
d?
1
?
sin?
?
?
co?
sd?
2
2
nsi?
所以
d?
d?
?
?
?
4
?
?
?
4
2
?
2?
2
?
8
2
24
4
班级姓名学号
10.写出曲线y?
x?
1x
与x轴交点处的切线方程
.
令y?
0，得x?
1或x?
?
1因为y?
1?
x?
2，所以y
x?
1?
2,y
x?
?
1
?
2
曲线在（1,0）处的切线方程为y?
2（x?
1），即2x?
y?
2?
0；曲线在（?
1,0）处的切线方程为y?
2（x?
1），即2x?
y?
2?
0。
11.求下列函数的导数：
（1）函数y?
?
2x?
5?
4
可分解为：
y?
u4
u?
2x?
5
其导数y?
?
8（2x?
5）3
（2）函数y?
e?
3x2
可分解为：
y?
eu,u?
?
3x2
其导数y?
?
?
6xe?
3x
2
（3）函数y?
a
2
?
x2
可分解为：
y?
u?
a2
?
x2
其导数y
?
?
?
（4）函数y?
arctan?
ex?
可分解为：
y?
arctaunu?
x
e
e
x其导数y?
?
1?
e
2x
12.写出下列函数的导数（只需写出结果）：
（1）y?
cos?
4?
3x?
y?
?
3sin（4?
3x）
（2）y?
ln?
1?
x2
?
y?
?
2x1?
x
2
5
【篇三：
高等数学第二章复习题及答案】
>第二章
一、填空题
1、设f（x）在x?
a可导，则lim2、设f?
（3）?
2，则lim
?
1
h?
0
f（a?
x）?
f（a?
x）
x?
______________
x?
0
?
。
f（3?
h）?
f（3）
2h
h?
0
。
。
。
3、设f（x）?
ex，则lim4、已知f（x）?
cosx1?
sinx
f（2?
h）?
f
（2）
h
?
_____________
f?
（x0）?
2,（0?
x0?
?
2
）
，则f（x0）?
dydx
?
_______________________
5、已知x2y?
y2x?
2?
0，则当经x＝1、y＝1时，6、f（x）?
xex，则f?
?
?
（ln2）?
_______________
_______________
。
。
。
。
7、如果y?
ax（a?
0）是y?
x2?
1的切线，则a?
8、若f（x）为奇函数，f?
（x0）?
1且，则f?
（?
x0）?
9、f（x）?
x（x?
1）（x?
2）?
（x?
n），则f?
（0）?
10、y?
ln（1?
3?
x），则y?
?
11、设f?
（x0）?
?
1，则lim
。
__________
_________________
_________________
。
____________________
x
f（x0?
2x）?
f（x0?
x）
x?
0
?
。
___________
12、设x?
y?
tany，则dy?
_________________________
。
13
、设y?
lny?
?
?
（0）?
_______________
。
14、设函数y?
f（x）由方程xy?
2lnx?
y4所确定，则曲线y?
f（x）在点（1，1）处的切线方程是
______________________
。
15、
1?
?
?
xcos
f（x）?
?
x
?
0?
x?
0x?
0
，其导数在x?
0处连续，则?
的取值范围是
。
_______________________
16、知曲线y?
x3?
3a2x?
b与x轴相切，则b2可以通过a表示为二、选择题。
。
____________
17、设f（x）可导，f（x）?
f（x）（1?
sinx），则f（0）?
0是f（x）在x?
0处可导的（）。
充分了必要条件，b充分但非必要条件，
c必要条件但非充分条件，d既非充分条件又非必要条件。
a
18、函数
?
23?
x
f（x）?
?
3
?
x2?
x?
1x?
1
在x?
1处（）
a左右导数均存在，b左导数存在，右导数不存在，c左导数不存在，右导数存在，d左右导数均不存在。
19、设周期函数f（x）在（?
?
?
?
）内可导，周期为4，又lim
y?
f（x）在点（5,f（5））处的切线斜率为
f
（1）?
f（1?
x）
2x
x?
0
?
?
1，则曲线
（）
a
12
，b0，c–10，d–2。
x?
1x?
1
11?
cos?
20、设函数f（x）?
?
（x?
1）ax?
1
?
0?
则实常数a当f（x）在x?
1处可导时必满足（）
aa?
?
1；b?
1?
x?
0；c0?
x?
1；da?
1
?
x2?
1
21、已知?
（x）?
?
?
ax?
b
x?
2x?
2
，且?
?
（2）存在，则常数a,b的值为（）
aa?
2,b?
1;ba?
?
1,b?
5;ca?
4,b?
?
5;da?
3,b?
?
3.22、函数f（x）在（?
?
?
?
）上处处可导，且有f?
（0）?
1，此外，对任何的实数x,y恒有
f（x?
y）?
f（x）?
f（y）?
2xy，那么f?
（x）?
（）
aex;bx;c2x?
1；dx?
1。
23、已知函数f（x）具有任何阶导数，且f?
（x）?
[f（x）]2，则当n为大于2的正整数时，
f（x）的n阶导数f
（n）
（x）是（）
an!
[f（x）]n?
1；bn[f（x）]n?
1；c[f（x）]2n；dn!
[f（x）]2n.24、若函数y?
f（x）有f?
（x0）?
12
，则当?
x?
0时，该函数在x?
x0处的微分dy是?
x的（）
a等价无穷小；b同阶但不等价的无穷小；
c低阶无穷小；d高阶无穷小。
25、设曲线y?
1x
和y?
x2在它们交点处两切线的夹角为?
，则tan?
?
（）
a?
1；b1;c2；d3。
?
x?
2t?
1
26、设由方程组?
y
?
te?
y?
1?
0
确定了y是x的函数，则
1e
dydx
2
t?
0
2
?
（）
a
1e
2
；b
12e
2
；c?
；d?
12e
。
一、填空题的答案1、2f?
（a）2、-1；3、
14e
?
12
；4、
3
5、-1
10、-32
6、6+2ln27、28、19、n!
11、112、dy15、?
?
2
3
?
x
ln3
?
x
1?
3
?
1secy?
1
6
2
dx
13、
?
14、x?
y?
0
16、
b?
4a
2
二、选择题答案：
17、a18、b19、d20、a21、c22、c23、a24、b25、d26、b三、综合题：
27、求曲线y?
cux上与直线x?
y?
1垂直的切线方程。
剖析：
求曲线的切线议程关键有垂点，一是求切点，二是求切线斜线。
解：
设切点为
（x0y0）
则点
（x0.y0）
处的切线斜度为
k?
y?
|x?
x0?
1x0
?
1
依题意知所求切线（）坐x?
y切点为（1、0）；切线（）为k
垂直，从而
1x0
?
1x0?
1
利
?
1.
故所求切线方程为y?
0?
x?
1即：
y?
x?
1设f（x）?
e则lim
x?
1
f（2?
tc）?
f
（2）
tc
?
t?
0
?
?
14
e
?
12
证明f
?
9、如果f（x）为偶函数，且f
f（x）?
lim
（0）存在（0）?
0
证明：
因为
f（0）?
lim
f（x）?
f（0）
x?
0
x?
0
为偶函数，所以
f（?
x）?
f（x）?
f（0）
?
x?
0
?
?
f?
（0）
f（?
x）?
f（x）
从而
?
x?
0
?
:
2f?
（0）?
0故f?
（0）?
0
28、讨函数解：
lim又lim
1?
2
?
xsiny?
?
x
?
0?
2
x?
0x?
0
在x?
0处方程连续性与可得
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