代数式高二数学教案模板.docx

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代数式高二数学教案模板

代数式_高二数学教案_模板

代数式

一、教学目标：

1.使学生认识用字母表示数的意义；

2.使学生理解代数式的概念，理解一些代数式的实际背景或几何意义，对符号语言有进一步的理解；

3.能说出一个代数式表示的数量关系，能列出代数式

二、教学重点和难点

重点：

理解代数式的概念。

难点：

把数式数量关系用代数式简明地表示出来。

三、教学过程

（一）复习、引入

提问：

1.怎样用字母表示加法交换律？

2.怎样用字母表示乘法交换律？

3.怎样用字母表示加法结合律、乘法结合律、分配律？

答：

1.用字母表示加法交换律：

a＋b＝b＋a

2.用字母表示乘法交换律：

a×b＝b×a

3.用字母表示加法结合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

用字母表示乘法结合律：

（a×b）×c＝a×（b×c）

用字母表示乘法对加法分配律：

a×（b＋c）＝a×b＋a×c

以上是用字母表示数的例子，还有什么数可以用字母表示呢？

（二）新课

Ⅰ.代数式的概念：

下面看几个用字母表示数的例子：

1.如果甲数为x，乙数为y，那么甲、乙两数的差是多少？

答：

甲、乙两数的差是x－y。

2.如果长方形的长各宽分别为a和b，那么它的周长和面积各是多少？

答：

长方形的周长是2（a＋b）；

长方形的面积是a·b。

3.如果梯形的上底为a，下底为b，高为h，那么它的面积是多少？

答：

梯形的面积是

现在我们来分析上面四个公式有哪些共同的特征。

（1）这些式子中，都含有数字或表示数字的字母；

（2）它们都是用运算符号连接起来的。

实际上，用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，就是代数式。

单独的一个数或一个字母，也是代数式，如5，a，m等都是代数式。

说明：

（1）这里的运算是指加、减、乘、除、乘方、开方（可以提出“开方”这个词，以后要学）。

（2）强调代数式仅指用“运算”符号连接数或字母而得到的算式，代数式中不含有等号或不等号。

如S＝ab是等式，也可表示长方形面积公式。

它不是代数式，而ab是代数式。

练习：

举出五个含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式（每一个代数式至少含有两种运算）。

（3）代数式里的每个字母都表示数，因此数的一些运算规律也适用于代数式。

如：

2x＋2y＝2（x＋y）

例1指出下列代数式的意义：

（1）2a+5；

（2）2（a+5）；（3）；

（4）（5）（6）

分析：

说出代数式的意义就是要求写出代数式的读法，一个代数式可以有几种读数，写出一种即可。

解：

（1）2a+5表示的是a的2倍与5的和.

（2）2（a+5）表示的是a与5的和的2倍.

（3）表示的是a的平方与b的平方的和.

（4）表示的是a，b两数和的平方.

（5）表示的是x的倒数.

（6）表示的是x与它的倒数的和

注意：

解这类问题的关键是：

（1）认真分析代数式中含有哪些运算，它们运算顺序是什么，从而正确，简明地体现出代数式的运算顺序，

（2）不会引起误解；（3）为了简明地叙述代数式的意义，也可以找出最后的运算，把它用语言表达出来，其它的运算用代数式表示。

如（7）的意义可叙述为a+b与a-b的商，（8）3（x2-y2）可叙述为3与x2-y2的积。

Ⅱ.列代数式：

我们用代数式可以表示数量和数量之间的关系.如表示“a，b两数之积与的和”，“a，8两数之和与b，c两数之差的积”，可以分别按下列步骤列代数式：

例2用代数式表示：

（1）a于b的差与c的平方的和.

（2）百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c的三位数.

（3）用含同一个字母的代数式表示三个连续的整数，并写出它们的和.

解：

（1）（a-b）+.

（2）100a+10b+c（其中，a,b,c是0到9之间的整数，且a≠0）.

（3）设m是整数，三个连续整数可表示为m-1，m，m+1,它们的和为（m-1）+m+（m+1）,即3m.

注意：

（1）在代数式中，字母与数或字母与字母相乘，通常把乘号写作“·”或省略号不写，如2×a写作2·a或2a（但不能写作a2），a×b写作a·b或ab.

（2）代数式中出现除法运算时，一般以分数的形式表示，如s÷t写作（t≠0）

（三）巩固练习：

1.指出下列各代数式的意义：

（1）+2；

（2）a（b+1）-1.

2．用代数式表示：

（1）a，b两数的差与c的积.

（2）x，y两数的和的平方减去它们差的平方.

（3）一个数等于a的3倍与b的和.

（四）小结

本节主要学习了代数式的概念，以及代数式的读法和写法，并初步学习用代数式表示简单的数量和数量关系。

学习代数式要特别注意以下几点：

（1）代数式中含有加、减、承、除、开方、乘方等运算符号，不含有等号或不等号，单独的一个数（或字母）也是代数式。

（2）代数式与公式不同，公式是等式，但不是代数式，代数式是不含“＝”号的。

（3）代数式的书写要严格遵照其书写规定：

①代数式中的“×”，简写为“·”或省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面，如果是带分数，要化成假分数，数字与数字相乘仍用“×”。

②在代数式中遇到除法运算时，一般按分数的形式表示。

（4）代数式的读法没有统一的规定，一般以能够简明的体现出代数式的运算顺序，不致于引起误会为主

（五）作业

书P1451.

（2），（4）2.

（1），（5）

一个数乘以小数

教学内容

　　教材第2页的例2，第3页的小数乘法法则和“做一做”，练习一的第5—9题。

素质教育目标

（一）知识教学点

　　1.使学生理解一个数乘以小数的意义。

　　2.掌握小数乘法的计算法则。

（二）能力训练点

　　1.能说出小数乘法算式所表示的意义。

　　2.能比较正确地计算小数乘法，提高计算能力。

　　3.培养学生的迁移类推能力和概括能力以及运用所学知识解决新问题的能力。

　　（三）德育渗透点

　　继续渗透转化思想。

教学重点：

理解一个数乘以小数的意义，会应用小数乘法的计算法则正确地进行计算。

教学难点：

理解一个数乘以小数的意义和小数乘法中积的小数点的定位。

教具学具准备：

口算卡片、投影片。

教学步骤

　　一、铺垫孕伏

　　1.口算：

　　0.3×60.8×47.2×04.2×8

　　0.25×43.6×34.3×50.6×9

　　2.说出下列小数表示的意义：

　　0.20.50.450.824

　　使学生明确一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……

　　3.复习例1，花布每米6.5元，买5米要用多少元？

（1）指名列式计算，然后说一说小数乘以整数的意义和小数乘以整数的计算方法。

（2）引导学生知道：

每米6.5元是单价，5米是数量，求的是总价。

根据单价×数量=总价也可以列出乘法算式。

　　二、探究新知

　　1.理解一个数乘以小数的意义。

（1）教学例2

　　①出示例2花布每米6.5元，买0.5米用多少元？

　　②读题，理解题意，从题中你知道了什么？

　　引导学生知道：

每米6.5元是单价，0.5米是买的数量，求的是总价。

根据单价×数量=总价可以列式为6.5×0.5。

　　教师板书：

　　6.5×0.5

　　③用线段图表示题中的数量关系：

　　④启发学生理解：

0.5米是1米的十分之五，6.5×0.5就是求6.5的十分之五是多少。

　　教师板书：

　　求6.5的十分之五

　　引导学生类推：

　　6.5×0.4就是求6.5的十分之四是多少，

　　6.5×0.7就是求6.5的十分之七是多少，

　　……

　　一个数乘以零点几就是求这个数的十分之几是多少。

　　互相讨论得出结论：

一个数乘以一位小数的意义是求这个数的十分之几。

（2）补充例2，买0.82米用多少元？

　　①引导学生用线段图表示：

　　②启发学生理解：

每米6.5元是布的单价，0.82米是买布的数量，求的是总价，列式为6.5×0.82。

　　教师板书：

　　6.5×0.82

　　0.82米是1米的百分之八十二，6.5×0.82就是求6.5的百分之八十二。

　　教师板书：

　　求6.5的百分之八十二

　　仿照6.5×0.5的教学方法，引导学生类推得出：

　　一个数乘以两位小数的意义就是求这个数的百分之几。

　　③师生共同小结：

一个数乘以一位小数的意义是求这个数的十分之几，乘以两位小数的意义是求这个数的百分之几。

　　④引导学生类推：

一个数乘以三位小数就是求这个数的千分之几，一个数乘以四位小数就是求这个数的万分之几，……

　　最后概括板书：

一个数乘以小数的意义是求这个数的十分之几，百分之几，千分之几……

　　2.探究一个数乘以小数的计算方法。

（1）提出问题，学生讨论：

　　计算小数乘以整数，是把小数转化成整数计算的，6.5×0.5和6.5×0.82这两个算式中，被乘数和乘数都含有小数位，应该怎样计算？

（2）通过讨论汇报，使学生明白：

把6.5×0.5变成整数乘法，6.5变成65扩大了10倍，0.5变成5也扩大了10倍，这样乘出来的积就扩大了10×10=100倍，要求原来的积，应把乘出来的积再缩小100倍。

同时教师板书：

　　　把6.5×0.82变成整数乘法，6.5变成65扩大10倍，0.82变成82扩大100倍，这样乘出来的积就扩大了10×100=1000倍。

要求原来的积，应把乘出来的积再缩小1000倍。

教师板书：

　　说明书写的格式，并提示学生：

要先点小数点，再把小数末尾的“0”划掉。

　　3.总结小数乘法的计算法则。

（1）引导学生观察算式得出：

两个因数中一共有两位小数，积中就有两位小数；两个因数中一共有三位小数，积中就有三位小数。

（2）想一想：

6.05×0.82的积中有几位小数？

6.052×0.82的积中有几位小数？

　　（3）引导学生概括：

两个因数中一共有几位小数，积中就几位小数。

　　（4）在小数乘以整数的计算方法的基础上，师生共同归纳总结出小数乘法的计算法则。

　　（5）完成法则下面的“做一做”。

　　出示67×0.32.14×6.20.375×12.42.16×3.52先判断积里应该有几位小数，再让学生独立计算，然后集体订正。

订正时学生说一说是怎样计算的。

　　三、巩固发展

　　1.练习一5题

（1）题，先引导学生理解“十分之三”和“一半”分别用什么数表示，然后学生独立列式。

（2）题，学生独立列式，订正时，说一说根据什么列式的。

　　2.说出下列算式表示的意义：

　　2.54×0.813×0.3616.2×1524×0.035

　　3.练习一6题

　　4.在下面各式的积中点上小数点。

　　　　　5.练习一8题。

学生独立填书，订正时指名说一说是怎样想的。

　　四、全课小结：

引导学生回忆这节课学习了什么知识？

　　五、布置作业：

练习一7题、9题。

 幂函数、指数函数和对数函数·函数的单调性

（一）·教案

    教学目标

    1．使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性．

    2．通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力．通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力．

    3．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．

    教学重点与难点

    教学重点：

函数单调性的概念．

    教学难点：

函数单调性的判定．

    教学过程设计

    一、引入新课

    师：

请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？

    （用投影幻灯给出两组函数的图象．）

    第一组：

    第二组：

    生：

第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x的增大而减小．

    师：

（手执投影棒使之沿曲线移动）对．他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别．当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小．虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质．我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象得到的．在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容．

    （点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意．）

    二、对概念的分析

    （板书课题：

函数的单调性）

    师：

请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍．

    （学生朗读．）

    师：

好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：

这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？

如果一致，定义中是怎样描述的？

    生：

我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少．

    师：

说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！

    （通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣．）

    师：

现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力．

    （指图说明．）

    师：

图中y=f1（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数y=f1（x）的单调增区间；而图中y=f2（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数y=f2（x）的单调减区间．

    （教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．）

    师：

因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……

    （不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．）

    生：

较大的函数值的函数．

    师：

那么减函数呢？

    生：

减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数．

    （学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．）

    师：

好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？

    （学生思索．）

    学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力．

    （教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．）

    生：

我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．

    师：

很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？

为什么？

    生：

不能．因为此时函数值是一个数．

    师：

对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？

你能否举一个我们学过的例子？

    生：

不能．比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数．

    （在学生回答问题时，教师板演函数y=x2的图像，从“形”上感知．）

    师：

好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．

    师：

还有没有其他的关键词语？

    生：

还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语．

    师：

你答的很对．能解释一下为什么吗？

    （学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．）

    师：

“属于”是什么意思？

    生：

就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．

    师：

如果是闭区间的话，能否取自区间端点？

    生：

可以．

    师：

那么“任意”和“都有”又如何理解？

    生：

“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．

    师：

能不能构造一个反例来说明“任意”呢？

    （让学生思考片刻．）

    生：

可以构造一个反例．考察函数y=x2，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x1=-2，x2=1，显然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的减函数，那就错了．

    师：

那么如何来说明“都有”呢？

    生：

y=x2在[-2，2]上，当x1=-2，x2=-1时，有f（x1）＞f（x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）＜f（x2），这时就不能说y=x2，在[-2，2]上是增函数或减函数．

    师：

好极了！

通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性．

    （教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力．）

    师：

反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系．

    （用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力．）

    三、概念的应用

    例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：

在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？

    （用投影幻灯给出图象．）

    生甲：

函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．

    生乙：

我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？

    师：

问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：

若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？

一般来说．若f（x）在[a，

    （增或减）．反之不然．

    例2 证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．

    师：

从函数图象上观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径．

    （指出用定义证明的必要性．）

    师：

怎样用定义证明呢？

请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．

    （教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较f（x1）和f（x2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．）

    师：

对于f（x1）和f（x2）我们如何比较它们的大小呢？

我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．

    生：

（板演）设x1，x2是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x1＜x2时，

    f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，

    所以f（x）是增函数．

    师：

他的证明思路是清楚的．一开始设x1，x2是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x1＜x2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x1）-f（x2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么f（x1）-f（x2）＜0，没有用到开始的假设“x1＜x2”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．

    这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以

    小．

    （对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．）

    调函数吗？

并用定义证明你的结论．

    师：

你的结论是什么呢？

    上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数．

    生乙：

我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它