数学文化报告.docx
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数学文化报告
1、问题背景2
2问题的发展与解决3
3问题的延伸与一笔画定理4
4欧拉图4
4.1欧拉图:
4
4.2如何判断欧拉图：
4
4.3求欧拉回路的算法:
6
5图论7
5.1图的基本概念（Graph）7
5.2有向图8
5.3Dijkstra算法（两个点之间的最短路）8
分析：
要讨论学校的设定点，使得所走的总路程最少，这样就要求学校所在地距离各居民点的总路程最小，所以首先要考虑学校到各居民点的最短路。
9
这里以V1为起点，计算最短路。
9
6数学文化的收获11
7趣味数学题12
数学文化报告
题目哥尼斯堡七桥
专业信息与计算科学
班级2013070202
姓名李亚梦
学号201307020229
指导教师张萍
二〇一四年十一月二十七日
目录
1、问题背景2
2问题的发展与解决3
3问题的延伸与一笔画定理4
4欧拉图4
4.1欧拉图:
4
4.2如何判断欧拉图：
4
4.3求欧拉回路的算法:
6
5图论7
5.1图的基本概念（Graph）7
5.2有向图8
5.3Dijkstra算法（两个点之间的最短路）8
分析：
要讨论学校的设定点，使得所走的总路程最少，这样就要求学校所在地距离各居民点的总路程最小，所以首先要考虑学校到各居民点的最短路。
9
这里以V1为起点，计算最短路。
9
6数学文化的收获11
7趣味数学题12
1、问题背景
现今的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历史名城。
在十八、十九世纪，那里是东普鲁士的首府，曾经诞生和培育过许多伟大的人物。
著名的哲学家，古典唯心主义的创始人康德，终生没有离开过哥尼斯堡一步!
二十世纪最伟大的数学家之一，德国的希尔伯特也出生于此地。
哥城景致迷人，碧波荡漾的普累格河，横贯其境。
在河的中心有一座美丽的小岛。
普河的两条支流，环绕其旁汇成大河，把全城分为下图所示的四个区域：
岛区（A），东区（B），南区（C）和北区（D）。
著名的哥尼斯堡大学，傍倚于两条支流的河旁，使这一秀色怡人的区域，又增添了几分庄重的韵味!
有七座桥横跨普累格河及其支流，其中五座把河岸和河心岛连接起来。
这一别致的桥群，古往今来，吸引了众多的游人来此散步。
早在十八世纪以前，当地的居民便热衷于以下有趣的问题：
能不能设计一次散步，使得七座桥中的每一座都走过一次，而且只走过一次?
这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。
2问题的发展与解决
想把所有的可能线路都试过一遍是极为困难的！
因为各种可能的线路有7！
=5040种。
要想一一试过，真是谈何容易。
正因为如此，七桥问题的解答便众说纷纭：
有人在屡遭失败之后，倾向于否定满足条件的解答的存在；另一些人则认为，巧妙的答案是存在的，只是人们尚未发现而已，这在人类智慧所未及的领域，是很常见的事。
问题的魔力，吸引了天才的欧拉（Euler。
1707---1783）。
这位年轻的瑞士数学家，以其独具的慧眼，看出了这个似乎是趣味几何问题的潜在意义。
在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新一分支---图论。
在论文中，欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
并由此得到了如图一样的几何图形。
若我们分别用A、B、C、D四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。
这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够用一笔不重复的画出过此七条线的问题了。
若可以画出来，则图形中必有终点和起点，并且起点和终点应该是同一点，由于对称性可知由B或C为起点得到的效果是一样的，若假设以A为起点和终点，则必有一离开线和对应的进入线，若我们定义进入A的线的条数为入度，离开线的条数为出度，与A有关的线的条数为A的度，则A的出度和入度是相等的，即A的度应该为偶数。
即要使得从A出发有解则A的度数应该为偶数，而实际上A的度数是5为奇数，于是可知从A出发是无解的。
同时若从B或D出发，由于B、D的度数分别是3、3，都是奇数，即以之为起点都是无解的。
3问题的延伸与一笔画定理
聪明的欧拉，正是在此基础上，经过悉心研究，确立了著名的“一笔画原理”，从而成功地解决了哥尼斯堡七桥问题。
一笔画定理
凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
一个图如果可以一笔画成，那么这个图中奇数顶点的个数不是0就是2。
其他情况的图都不能一笔画出。
（奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。
）
对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。
人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。
具有欧拉回路的图叫做欧拉图
4欧拉图
4.1欧拉图:
1.欧拉迹:
在无孤立结点的图G中,如果存在一条路,它经过图中每条边一次且仅一次,称此路为欧拉迹.
2.欧拉回路:
在无孤立结点的图G中,若存在一条回路,它经过图中每条边一次且仅一次,称此回路为欧拉回路.称此图为欧拉图,或E图.（Euler）
4.2如何判断欧拉图：
定理1一个非空连通图是Euler图当且仅当它没有奇度顶点。
证明必要性：
设图G是Euler图，C是G中一个Euler闭迹。
对G中任一个顶点v，v必在C上出现。
因C每经过v一次，就有两条与v关联的边被使用。
设C经过v共k次，则C经过了2k条于v关联的边，故v的度为2k。
充分性：
无妨设图Ｇ的顶点个数n>1。
因G连通，故至少有一条边。
下面用反证法证明充分性结论。
假设图G无奇度顶点，但它不是Euler图。
令S={G|G是至少有一条边的n阶连通图，无奇度顶点，且不是Euler图}则S非空。
取S中边数最少的一个，记为G0。
因G0无奇度顶点，故G0中顶点的度至少为2，因此G0含有圈，从而含有闭迹。
设C是中一条最长的闭迹。
由假设，C不是G0的Euler闭迹。
因此G0中将C的边去掉后必有一个连通分支至少含有一条边。
记这个连通分支为G1。
由于C是闭迹，故G1中没有奇度顶点，且G1的边少于G0的边。
由G0的选择可知，G1必有Euler闭迹，记为C1。
因此C＋C1是的一条闭迹，且它比C更长，这与C的选取矛盾。
证毕。
定理2一个连通图有Euler迹当且仅当它最多有两个奇度顶。
证明必要性：
设连通图G有Euler迹T。
若T是Euler闭迹，则G中无奇度顶点。
否则，设T的起点和终点分别为u,v。
在G的基础上，给u,v间添加一条边e（若G中有边uv，则e是重边），所得之图记为G*，则T+e是G*的Euler闭迹。
由定理1，图G*无奇度顶点。
故G最多只可能有两个奇度顶点。
充分性：
若G无奇度顶点，则由定理1，G有Euler闭迹，自然有Euler迹。
若G只有两个奇度顶点，设其为u,v，则在u,v间给G添加一条新边e，所得之图G+e的每个顶点都是偶度顶点，由定理1，G+e有Euler闭迹，因此G有Euler迹。
证毕。
4.3求欧拉回路的算法:
用上述算法求上图中欧拉回路.
此图中所有结点度均为偶数,
所以有欧拉回路.
a）选以1为起点的闭迹E1:
1261
b）E1不包含所有边.
c）在G-E1中找新闭迹E2:
6356（6是E1与E2的公共点）
d）以公共点6为起点,对E1∪E2中的边排序:
C=6356126
e）E1:
=C
f）E1不包含所有边.
g）在G-E1中找新闭迹E2:
52345（5是E1与E2的公共点）
h）以公共点5为起点,对E1∪E2中的边排序:
C=52345612635
i）E1:
=C
j）E1包含所有边.k）打印E1=52345612635l）停止.
5图论
5.1图的基本概念（Graph）
图论中的图指的是一些点以及连接这些点的线的总体，通常用点代表研究对象，称之为顶点（Vertex）;用连接两点的线代表事物间的关系,称之为边（Edge）;
一般用G表示图，V表示顶点，E表示边。
G=（V，E）
V={v1,v2,v3,v4}
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}
5.2有向图
5.3Dijkstra算法（两个点之间的最短路）
例：
有六个居民点，拟合建一夜校，其道路网如下图，试确定学校设于哪一个居民点，才能使学习者所走的总路程最少？
分析：
要讨论学校的设定点，使得所走的总路程最少，这样就要求学校所在地距离各居民点的总路程最小，所以首先要考虑学校到各居民点的最短路。
这里以V1为起点，计算最短路。
6数学文化的收获
在上了数学文化课之后学习了各种有趣的数学知识，更加了解数学这门学科了，尤其是作为数学专业的我来说，其实我一直都是排斥数学的，因为觉得很枯燥很难，但是在上了大学之后，我渐渐地开始接受数学，了解数学，融入它并开始喜欢它，选修了数学文化后，接触到了除了数学课本上以外的知识，原来数学也可以这么有意思。
黄金比例的美学，抓豆子的巧妙方法，各种逻辑思维的有趣问题，我们的生活也与数学息息相关，听了同学们的赌博概率学，股票波动规律，觉得很兴奋，还有用泰勒展开公式求极限的，大开眼界，觉得学数学很厉害。
我相信生活无处不与数学相关，同时我们也可以用数学来改变我
们的生活，当我们试着用数学的思想角度去思考问题时事情就会变得清晰有逻辑，比如减肥，我最近在尝试怎样去科学的计算脂肪消耗与体重减少，并且可以根据数学规划食物比例，定制训练计划，当我们学习数学时它只是一个冰冷公式数字，当我们应用数学时它就变成了有用且好用的工具。
很高兴选了数学文化这门选修课，让我认识了那么多伟大的数学家，他们为这个世界的发展进步做出了巨大贡献，数学文化的发展也推动了社会文明的进步，像柏拉图达芬奇这种文化名人本身也是数学家。
正是由原始人类基本的生存数学再到应用黄金比例的金字塔美学，我们现代建筑上基本构架以及外观都应用到了数学，所以说数学推动了人类社会的文明。
同时数学也推动了科学技术的发展，计算机科学基于二进制，互联网技术。
物理及化学生物自然现象，就比如遗传学和基因的研究，像爱因斯坦，冯诺依曼等科学家也是数学文明的缔造者。
数学文化让我意识到了数学并不是形式化的东西，而是一直真切的存在在从远古文明到现代文明的伟大文化，一个民族的文化是和数学分割不开的。
马克思曾明确指出：
“一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才算真正发展了。
”
我觉得数学文化是一门综合性很强的课程，也是门颇具魅力的课程，学好这门课程有着重要的意义，尤其是对以后的在职岗位工作的影响。
所以应该认识到其内涵，加强研究。
为成就美好的明天而奠定良好的基础。
有利于培养严谨的思维方式。
尽管大多数人将来不会成为数学家，但是条理性、逻辑性作为一种文化素质对人们将来从事任何一种职业都是需要的。
同时，数学思维能力的培养对人的智力发展起着关键的作用。
如圆是一个完美的图形，可用方程 来表示，我们可以从这个方程中找出圆的所有美妙的性质，进一步还可以用方程来表示球，那么我们为什么不考虑下列方程以及。
仅仅靠类比就使我们从三维空间进入了高维空间，从有形进入了无形，
从现实进入了虚拟世界。
有利于培养人的创新精神。
数学是人类理性文明高度发展的结晶，又是人类创新的锐利工具。
无论数学知识的应用或是数学知识的发展，都需要研究新问题，根据实际情况做出恰如其分的分析，并由此找到解决问题的途径。
这就体现出人的巨大创造力。
有利于培养科学的审美观。
人对美的理解各不相同，但总之美和完善、完美、和谐、秩序……等相联系。
而数学本身体现出的简洁美（抽象美、符号美、统一美等）、和谐美（对称美、形式美等）、奇异美（有限美、神秘美等）会给学生以美的熏陶。
数学所揭示的规律会加深学生对美的理解，而学习数学的过程也会使学生体验数学作为人类智慧的结晶所洋溢出的精神美。
数学精神是一种理性精神，对完善人的精神品格有着不可估量的作用，主要体现在严谨求实、理智自率、直着求真、开拓创新等方面，通过解题实践既巩固了知识，培养了能力，同时也发展了坚持公正、终于科学、一丝不苟、不懈探索的优良品质，这都是造就人不断追求进取的品质所必备的前提。
数学文化是人类社会健康的根本保障，数学文化教育是完善人格，培养理性精神的有效途径。
数学文化的形成是一个由认知到修养的过程，是一个体验、感悟、累积、和转化的过程。
并使其内化为人的人格、气质、修养，成为人的相对稳定的、也是终身的内在的品质。
7趣味数学题
关着的灯
将100盏电灯进行编号，从1编到100，把所有的开关都关闭（假定朝上为“开”，朝下为“关”），即把电灯全部关闭，然后进行以下的操作：
把编号为1的倍数的电灯按反方向拨一次开关，把编号为2的编号倍数的电灯又照当前状态的反方向拨一次开关，然后又将编号为3的倍数的灯照反方向拨一次开关，……依此类推，一直到100。
试问：
这些操作做完以后，什么号数的灯是关着的？
答案：
1、4、9、16、25、36、49、64、81、100是亮着的，其余都是灭的。
解题思路：
灯号为自然数的平方的灯依旧亮着，因为其他的数字均为两个不相同的数字的乘积，而亮着的灯例外。
比如：
被12整除的数有：
1、2、3、4、6、12，总共有6个，即开关了6次，偶数次，灯的状态应该与初始时相同，即为关闭状态。
而被16整除的数有：
1、2、4、8、16，总共有5个，有奇数个约数的灯的状态应该与初始时相反，即为打开状态。
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