排列组合二项式定理专题复习导学案黄铭远.docx
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排列组合二项式定理专题复习导学案黄铭远
排列、组合、二项式定理专题复习导学案
制作教师：
黄铭远
考纲导读
1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题．
2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．
3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．
4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．
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排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识．由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此学生要学好本节有一定的难度．解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题．
二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当．另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现．
第1课时两个计数原理
基础过关
1．分类计数原理（也称加法原理）：
做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．
2．分步计数原理（也称乘法原理）：
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．
3．解题方法：
枚举法、插空法、隔板法．
典型例题
例1.高三
（1）、
（2）、（3）班分别有学生48,50,52人
（1）从中选1人当学生代表的方法有多少种？
（2）从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？
（3）从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？
（4）从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？
变式训练1：
在直角坐标x－o－y平面上，平行直线x=n，（n=0，1，2，3，4，5），y=n，（n=0，1，2，3，4，5），组成的图形中，矩形共有（）
A、25个B、36个C、100个D、225个
解：
例2.
（1）将5封信投入6个信箱，有多少种不同的投法？
（2）设I＝{1,2,3,4,5,6}，A与B都是I的子集，A∩B＝{1,3,5}，则称（A,B）为理想配集，所有理想配集共有多少种？
（3）随着电讯事业的发展，许多地方电话号码升位，若某地由原来7位电话号码升为8位电话号码，问升位后可多装多少门电话机？
（电话号码首位不为0）
变式训练2：
一个圆分成6个大小不等的小扇形，取来红、黄、兰、白、绿、黑6种颜色。
请问：
⑴6个小扇形分别着上6种颜色有多少种不同的着色方法?
⑵从这6种颜色中任选5种着色,但相邻两个扇形不能着相同的颜色,则有
多少种不同的着色方法?
解：
例3.如图A，B，C，D为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有（）
D
A
A、8种B、12种C、16种D、20种
BC
变式训练3：
某公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员不能同时分给一个部门，另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门，求有多少种不同的分配方案．
例4.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是（）
A、26B、24C、20D、19
3
5
12
B
4
6
A
67
612
8
变式训练4：
7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子，则每个盒子都不空的放法有多少种？
规律小结：
隔板法只能用于“各个元素不加区别”的情况，否则不能使用.
两个原理的区别在于，前者每次得到的是最后的结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成．
第2课时排列
基础过关
1．一般地说，从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
排列的定义包含两个基本内容：
一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．因此当元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是同一个排列．
2．从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从
个为不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示．排列数公式Amn＝．
这里m≤n，其中等式的右边是个连续的自然数相乘，最大的是，最小的是．
3．n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，全排列数用Ann表示，它等于自然数从1到n的连乘积，自然数从1到n的连乘积叫做n的阶乘，用表示．
4．解有约束条件的排列问题的方法有直接法、间接法、元素位置分析法、插空法、捆绑法、枚举法、对称法、隔板法．
5．排列问题常用框图来处理．
例1、
（1）元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有多少种？
（2）同一排6张编号1，2，3，4，5，6的电影票分给4人，每人至少1张，至多2张，且这两张票有连续编号，则不同分法有多少种？
（3）（06湖南理14）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这6项工程的不同排法有多少种数？
变式训练1：
有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分,将这9个球排成一列有____种不同的方法.
例2．5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数
（1）甲站正中间的排法有种，甲不站在正中间的排法有种．
（2）甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种．
（3）甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有种．丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有种．
（4）甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种．
（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有
种．
（6）女生互不相邻的排法有种，男女相间的排法有种．
（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有种，甲乙丙三人有且只有两人相邻的排法有种．
（8）甲乙丙三人至少有1人在两端的排法有种．
（9）甲乙之间有且只有4人的排法有种．
变式训练2：
从包含甲的若干名同学中选出4人分别参加数学、物理、化学和英语竞赛，每名同学只能参加一种竞赛，且任2名同学不能参加同一种竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方法，问一共有多少名同学？
例3.在4000到7000之间有多少个四个数字均不相同的偶数
变式训练3：
3张卡片的正反面上分别有数字0和1，3和4，5和6，当把它们拼在一起组成三位数字的时可得到多少个不同的三位数（6可做9用）
例4.
（1）从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛，问其中不跑第一棒的安排方法有多少种？
（2）一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有5个连续空位的坐法有多少种？
变式训练4：
某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．
小结归纳
1．解排列应用问题首先必须认真分析题意．看能否把问题归结为排队（即排列）问题，较简单的排列问题常用框图或树型来处理（注意也有个别问题不能用框图来处理如不相邻问题等）
2．解有约束条件的排列问题的几种策略．
a.特殊元素，特殊位置优先定位（也有个别例外情况，见例1）
b.相邻问题捆绑处理不相邻问题插空处理
c.正难则反，等价转换
3．解排列应用问题思路一定要清晰，并随时注意转换解题角度，通过练习要认真理会解排列问题的各种方法．
4．由于排列问题的结果一般数目较大．不易直接验证，解题时要深入分析，严密周详，要防止重复和遗漏．为此可用多种不同的方法求解看看结果是否相同．
第3课时组合
基础过关
1．一般地说，从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取
个元素”，而不同点就是前者要“按一定的顺序成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”．
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示．
组合数公式
＝＝
在求具体的组合数时，常用上面的公式，分子由连续
个自然数之积，最大的数为
，最小的数是
，分母是
，如果进行抽象的证明时，一般常用下面的公式
＝，它的分子是
，分母是
与
的积．
3．组合数性质：
①
②
③
④
⑤
典型例题
例1.某培训班有学生15名，其中正副班长各一名，先选派5名学生参加某种课外活动.
（1）如果班长和副班长必须在内有多少种选派法.
（2）如果班长和副班长有且只有1人在内有多少种派法.
（3）如果班长和副班长都不在内有多少种派法.
（4）如果班长和副班长至少有1人在内，有多少种派法.
变式训练1：
从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这4个人中必须既有男生又有女生，则不同的选法有（）
A．140B．120C．35D．34
解：
D
例2.从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有（）
A、108种B、186种C.216种D、270种
变式训练2：
从5位男教师和4位女教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班一位班主任），要求这3位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有（）
A．210种B．420种C．630种D．840种
例3.
（1）把10本相同的书分给编号1,2,3的阅览室，要求每个阅览室分得的书数不大于其编号数，则不同的分法有多少种？
（2）以平行六面体ABCD—A1B1C1D21的任意三个点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面情况有多少种？
（3）一次文艺演出中需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15只，现以不同的亮灯方式来增加舞台效果，设计者按照每次亮灯时恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时关掉，两端的灯必须要亮的要求进行设计，求有多少不同的亮灯方式？
变式训练3：
马路上有编号为1，2，3，4…..10的十盏路灯，为节约用电，又不影响照明可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数有_______种.
例4.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，
（1）在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？
（2）在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法．
变式训练4：
在1，2，3…100这100个数中任选不同的两个数，求满足下列条件时各有多少种不同的取法．
（1）其和是3的倍数
（2）其差是3的倍数（大数减小数）.
（3）相加，共有多少个不同的和.
（4）相乘，使其积为7的倍数.
解：
（1）1650
（2）1617（3）197（4）1295
小结归纳
1．解有关组合应用问题时，首先要判断这个问题是不是组合问题．区别组合问题和排列问题的唯一标准是“顺序”．需要考虑顺序的是排列问题不需要考虑顺序的的才是组合问题．
2．要注意准确理解“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义．
3．组合问题的一般可抽象为“选派”模型来处理．另外有的问题也可用框图结合对应思想来处理。
4．避免重复和遗漏．
第4课时排列组合综合题
基础过关
1．解排列组合题中常用的方法有直接法、间接法、两个原理、元素位置分析法、捆绑法、插空法、枚举法、隔板法、对称法；常用的数学思想主要有分类讨论、思想转化、化归思想、对应思想.
2．解排列组合综合题一般要遵循以下的两个原则
（1）按元素性质进行分类
（2）按事情发生的过程进行分步.
3．处理排列组合综合性问题时一般方法是先取（选）后排，但有时也可以边取（选）边排.
4．对于有多个约束条件的问题，先应该深入分析每个约束条件，再综合考虑如何分类或分步，但对于综合性较强的问题则需要交叉使用两个原理来解决问题
例1.五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：
（1）甲必须在排头；
（2）甲必须在排头，并且乙在排尾；
（3）甲、乙必须在两端；
（4）甲不在排头，并且乙不在排尾；
（5）甲、乙不在两端；
（6）甲在乙前；
（7）甲在乙前，并且乙在丙前；
（8）甲、乙相邻；
（9）甲、乙相邻，但是与丙不相邻；
（10）甲、乙、丙不全相邻
变式训练1：
某栋楼从二楼到三楼共10级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则不同的上楼方法有（）
A．45种B．36种C．28种D．25种
例2.
（1）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，则不同的选派方案菜有多少处？
（2）5名乒乓选手的球队中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有多少种？
变式训练2：
某班新年联欢会原定的六个节目已安排成节目单，开演前又增加了三个新节目，如果将这三个节目插入原来的节目单中，那么不同的插法种数是（）
A．504B．210C．336D．120
例3.已知直线ax+by+c=0中的系数a，b，c是从集合{-3，-2，-1，0，1，2，3}中取出的三个不同的元素，且该直线的倾斜角为锐角，请问这样的直线有多少条？
变式训练3：
将5名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去，要求每个部门至少分配一人，则不同的分配方案共有______种.
例4.从集合{1，2，3，……20}中任选3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？
小结归纳
1．排列组合应用题的背景丰富无特定的模式和规律可循，背景陌生时，必须认真审题，把握问题的本质特征，并善于把问题转化为排列组合的常规模式进而求解.
2．排列组合应用题题形多变，但首先要弄清是有序还是无序，这是一个核心问题.
3．对于用直接法解较难的问题时，则采用间接法解.
基础过关
第5课时二项式定理
1．（a＋b）n＝（n∈N），这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做（a＋b）n的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项公式Tr＋1＝是表示展开式的第r＋1项．
2．二项式定理中，二项式系数的性质有：
①在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：
②如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有n+1项，中间一项，即：
第项的二项式系数最大，为；当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有n+1项，中间两项，即第项及每项，它们的二项式系数最大，为
③二项式系数的和等于—————————，即————————————
④二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和＝即
⑤展开式中相邻两项的二项式系数的比是：
3．二项式定理主要有以下应用
①近似计算
②解决有关整除或求余数问题
③用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式（其做法称为“赋值法”）
注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题
④杨辉三角形
典型例题
例1.
（1）（06湖南理11）若（ax－1）5的展开式中x3的系数是－80，则实数a的值是．
（2）（06湖北文8）在
的展开式中，x的幂指数是整数的有项．
（3）（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+……+（1+x）6展开式中x2项的系数为．
变式训练1：
若多项式
则
（）
A、9B、10C、－9D、－10
例2.已知f（x）＝（1+x）m+（1+x）n，其中m、n∈N展开式中x的一次项系数为11，问m、n为何值时，含x3项的系数取得最小值？
最小值是多少？
变式训练2：
分已知
的展开式中第三项与第五项的系数之比为
其中
则展开式中常数项是（）
A、－45iB、45iC、－45D、45
例3.若
求（
）+（
）+……+（
）
注意：
“二项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系.
变式训练3：
若
，则
的值是（）
A．
B．1C．0D．2
例4.已知二项式
，（n∈N
）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的
比是10：
1，
（1）求展开式中各项的系数和
（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项
变式训练4：
①已知（
）n的第5项的二项式系数与第三项的二项系数的比是14:
3，求展开式中不含x的项.
②求（x－1）－（x－1）2＋（x－1）3－（x－1）4＋（x－1）5的展开式中x2项的系数.
小结归纳
1．注意（a＋b）n及（a－b）n展开式中，通项公式分别为
及
这里
且展开式都有n+1项，在使用时要注意两个公式的区别，求二项式的展开式中的指定项，要扣住通项公式来解决问题．
2．二项式的展开式中二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关．
3．应用二项式定理计算一个数的乘方的近似值时，应根据题设中对精确度的要求，决定展开式中各项的取舍．
4．求余数或证明整除问题，被除数是幂指数问题时，解决问题的关键是将底数转化为除数的倍数加1或减1．通过练习要仔细地去体会其中的变形技巧．
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