中考数学专题复习易错疑难解析第六章几何图形初步.docx
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中考数学专题复习易错疑难解析第六章几何图形初步
2018年中考数学专题复习易错疑难解析
第六章几何图形初步
【易错点拨】
1.当一条直线上有n个点时，在这条直线上存在
条
线段．
2.平面内有n个点，过两点确定一条直线，在这个平面内最多
存在
条直线．
3.如果平面内有n条直线，最多存在
个交点．
4.如果平面内有n条直线，最多可以将平面分成
部分．
5．邻补角互补，但互补的角不一定是邻补角．
6．两条线互相垂直，则相交成90°，反之亦成立．
7．“垂线段最短”“两点之间线段最短”的意义是不同的，不要混淆.
8．在平行线定义中，注意“在同一平面内”这个条件．
9．平行线判定与性质极易混淆，应注意题设与结论的辨别，搞清因果关系．
10．利用平行线的性质时要注意“两直线平行”这一条件，平行线的性质常常用来证明角相等或互补．
【易错警示】
易错点一：
防止漏解的秘密
【例题1】已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC使BC＝3cm，则线段AC＝________.
【错解1】点C在线段AB上，则AC＝AB－BC＝8－3＝5（cm），故AC为5cm.
【错解2】点C在AB的延长线上，则AC＝AB＋BC＝8＋3＝11（cm），故AC为11cm.
【错因】点C可能在线段AB上，也可能在AB的延长线上，容易掉解，因此需分类讨论计算．
【正解】5cm或者11cm.
【案例跟踪】
（2013年犍为县五校联考）某同学在纸上画了四个点，如果把这四个点彼此连接，连成一个图形，则这个图形中会有个三角形出现。
答案：
0或3或4或8
易错点二：
对平行线的认识模糊
【例题2】如图，直线a，b被直线c所截，下列说法正确的是（ ）
A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b
B．当a∥b时，一定有∠1＝∠2
C．当a∥b时，一定有∠1＋∠2＝90°
D．当∠1＋∠2＝180°时，一定有a∥b
【错解】A或B或C
【错因】平行线的判定定理模糊不清或平行线的判定与性质混
淆．
【正解】D
【案例跟踪】
（2016·山东省菏泽市·3分）如图，将一副三角板和一张对边平行的
纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是 15° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】计算题．
【分析】过A点作AB∥a，利用平行
线的性质得AB∥b，所以∠1=∠2，∠3=∠4=30°，加上∠2+∠3=45°，易得∠1=15°．
【解答】解：
如图，过A点作AB∥a，
∴∠1=∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3=∠4=30°，
而∠2+∠3=45°，
∴∠2=15°，
∴∠1=15°．
故答案为15°．
【点评】本题考查了平行线的性质：
两直线平行，内错角相等．
【疑难解析】
疑难类型之一：
直线、线段和射线
【例题】[2014·长沙]如图19－2，C，D是线段
AB上的两点，且D是线段AC的中点，若
AB＝10cm，BC＝4cm，则AD的长为（）
A．2cmB．3cm
C．4cmD．6cm
【解析】 ∵AB＝10cm，BC＝4cm，
∴AC＝AB－BC＝6cm，
又∵点D是AC的中点，∴AD＝DC＝3cm.
【点悟】 对于线段的和、差关系以及涉及线段的中点问题，需要结合图形，认真观察．若已知线段上给出的点未明确其位置，还需要分类讨论，千万不要漏解．
【真题链接】
链接1：
（2016•台湾）如图
（一），
为一条拉直的细线，A、B两点在
上，且
：
=1：
3，
：
=3：
5．若先固定B点，将
折向
，使得
重迭在
上，如图
（二），再从图
（二）的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为何？
（ ）
A．1：
1：
1B．1：
1：
2C．1：
2：
2D．1：
2：
5
【分析】根据题意可以设出线段OP的长度，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决．
【解答】解：
设OP的长度为8a，
∵OA：
AP=1：
3，OB：
BP=3：
5，
∴OA=2a，AP=6a，OB=3a，BP=5a，
又∵先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图
（二），再从图
（二）的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，
∴这三段从小到大的长度分别是：
2a、2a、4a，
∴此三段细线由小到大的长度比为：
2a：
2a：
4a=1：
1：
2，
故选B．
【点评】本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度．
疑难类型之二：
角的概念与计算
【例题】[2014·滨州]如图19－4，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线．如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（）
A．50°B．60°
C．65°D．70°
【解析】 ∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB＝40°，∠COE＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB＝40°，∠COD＝
∠COE＝
×60°＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝40°＋30°＝70°.
【真题链接】
链接2：
（2016•宜昌）已知M、N、P、Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ）
A．∠NOQ=42°B．∠NOP=132°
C．∠PON比∠MOQ大D．∠MOQ与∠MOP互补
【分析】根据已知量角器上各点的位置，得出各角的度数，进而得出答案．
【解答】解：
如图所示：
∠NOQ=138°，故选项A错误；
∠NOP=48°，故选项B错误；
如图可得：
∠PON=48°，∠MOQ=42°，故∠PON比∠MOQ大，故选项C正确；
由以上可得，∠MOQ与∠MOP不互补，故选项D错误．
故选：
C．
【点评】此题主要考查了余角和补角，正确得出各角的度数是解题关键．
疑难类型之三：
平行线的判定与性质的综合运用
【例题】（2016·山东省滨州市·3分）如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是（ ）
A．∠EMB=∠ENDB．∠BMN=∠MNCC．∠CNH=∠BPGD．∠DNG=∠AME
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质，找出各相等的角，再去对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：
A、∵AB∥CD，
∴∠EMB=∠END（两直线平行，同位角相等）；
B、∵AB∥CD，
∴∠BMN=∠MNC（两直线平行，内错角相等）；
C、∵AB∥CD，
∴∠CNH
=∠MPN（两直线平行，同位角相等），
∵∠MPN=∠BPG（对顶角），
∴∠CNH=∠BPG（等量代换）；
D、∠DNG与∠AME没有关系，
无法判定其相等．
故选D．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是结合平行线的性质来对照四个选择．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质
找出相等（或互补）的角是关键．
【真题链接】
链接3：
（2016·山东省济宁市·
3分）如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，那么∠2的度数是（ ）
A．20°B．30°C．35°D．50°
【考点】平行线的性质．
【分析】由垂线的性质和平角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出∠2的度
数．
【解答】解：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠3=180°﹣90°﹣∠1=35°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=35°．
故选：
C．
疑难类型之四：
平行线的开放探究型问题
【例题】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图20－11①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB，CD内部，如图20－11②，以上结论是否成立？
若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？
请证明你的结论；
（2）在图20－11②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图20－11③，则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间有何数量关系？
（不需证明）
（3）根据
（2）的结论求图20－11④中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
【解析】
（1）过P作AB（或CD）的平行线或延长BP交CD于点E，利用平行线性质证明；
（2）由三角形外角性质推导；（3）利用
（2）的结论把所有角转化到一个四边形中．
解：
（1）不成立，结论是∠BPD＝∠B＋∠D.
证明：
如答图，延长BP交CD于点E，
∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED.
又∵∠BPD＝∠BED＋∠D，
∴∠BPD＝∠B＋∠D；
（2）结论：
∠BPD＝∠BQD＋∠B＋∠D；
（3）设AC与BF相交于点G，由
（2）的结论，得∠AGB＝∠A＋∠B＋∠E.
又∵∠AGB＝∠CGF，∠CGF＋∠C＋∠D＋∠F＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
【点悟】 本题属探索型题目，解题的关键是由图形提供的信息，探索，猜想，归纳出在不同位置上有关角之间的变化规律．这是近几年中考中的创新型试题．
【真题链接】
链接4：
[2016·中考预测]如图20－13，已知AB∥EF，∠BAC＝p，∠ACD＝x，∠CDE＝y，∠DEF＝q，则用p，q，y来表示x.得（）
A．x＝p＋y－q＋180°B．x＝p＋q－y＋180°
C．x＝p＋q＋yD．x＝2p＋2q－y＋90
【解析】 如答图，分别过点C，D作
CM，DN平行
AB，EF，
则∠BAC＝∠ACM＝p，
∠MCD＋∠NDC＝180°，
∠MCD＝∠ACD－∠ACM＝x－p，
∠NDE＝∠DEF＝q，
∴∠NDC＝∠CDE－∠NDE＝y－q，
∴x－p＋y－q＝180°，
即x＝p＋q－y＋180°.
【难点突破】
1.（2016•长沙）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2016•宜昌）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短
B．经过一点有无数条直线
C．经过两点，有且仅有一条直线
D．两点之间，线段最短
3.（2016•烟台）如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（ ）
A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140°
4.（2016·云南省昆明市·3分）如图，AB∥CE，B
F交CE于点D，DE=DF，∠F=20°，则∠B的度数为 ．
5.（2016·浙江省湖州市·4分）如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是 90 度．
6.（2015•内蒙古赤峰4，3分）如图，直线AB∥CD，一个含60°角的直角三角板EFG（∠E=60°）的直角顶点F在直线AB上，斜边EG与AB相交于点H，CD与FG相交于点M．若∠AHG=50°，则∠FMD等于（ ）
A．10°B．20°C．30°D．50°
7.（2015•辽宁抚顺）（第14题，3分）如图，分别过等边△ABC的顶点A、B作直线a，b，使a∥b．若∠1=40°，则∠2的度数为 ．
8.（2016·浙江省湖州市·3分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠A
BC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC
的距离是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【难点突破参考答案】
1.（2016•长沙）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．依此定义结合图形即可求解．
【解答】解：
∵三角形的内角和为180°，
∴选项B中，∠1+∠2=90°，即∠1与∠2互为余角，
故选B．
【点评】本题考查了余角的定义，掌握定义并且准确识图是解题的关键．
2.（2016•宜昌）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短
B．经过一点有无数条直线
C．经过两点，有且仅有一条直线
D．两点之间，线段最短
【分析】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．
【解答】解：
∵用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，
∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，
∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选D．
【点评】本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．
3.（2016•烟台）如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（ ）
A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140°
【分析】如图，点O是AB中点，连接DO，易知点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，只要求出∠BCD的度数即可解决问题．
【解答】解：
如图，点O是AB中点，连接DO．
∵点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，
∵当射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形时，
∠BCD=40°或70°，
∴点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD=80°或140°，
故选D．
【点评】本题考查圆心角与圆周角的关系，量角器、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解∠BOD=2∠BCD，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．
4.（2016·云南省昆明市·3分）如图，AB∥CE，B
F交CE于点D，DE=DF，∠F=20°，则∠B的度数为 40° ．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【分析】由等腰三角形的性质证得E=∠F=20°，由三角形的外角定理证得∠CDF=∠E+∠F=40°，再由平行线的性质即可求得结论．
【解答】解：
∵DE=DF，∠F=20°，
∴∠E=∠F=20°，
∴∠CDF=∠E+∠F=40°，
∵AB∥CE，
∴∠B=∠CDF=40°，
故答案为：
40°．
5.（2016·浙江省湖州市·4分）如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是 90 度．
【考点】平行线的性质．
【分析】如图2，AB∥CD，∠AEC=90°，作EF∥AB，根据平行线的传递性得到EF∥CD，则根据平行线的性质得∠1=∠AEF，∠2=∠CEF，所以∠1+∠2=∠AEC=90°
【解答】解：
如图2，AB∥CD，∠AEC=90°，
作EF∥AB，则EF∥CD，
所以∠1=∠AEF，∠2=∠CEF，
所以∠1+∠2=∠AEF+∠CEF=∠AEC=90°．
故答案为90．
6.（2015•内蒙古赤峰4，3分）如图，直线AB∥CD，一个含60°角的直角三角板EFG（∠E=60°）的直角顶点F在直线AB上，斜边EG与AB相交于点H，CD与FG相交于点M．若∠AHG=50°，则∠FMD等于（ ）
A．10°B．20°C．30°D．50°
【解析】平行线的性质．先根据平行线的性质求出∠CKG的度数，再由三角形外角的性质得出∠KMG的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
【解答】解：
∵直线AB∥CD，∠AHG=50°，
∴∠AKG=∠XKG=50°．
∵∠CKG是△KMG的外角，
∴∠KMG=∠CKG﹣∠G=50°﹣30°=20°．
∵∠KMG与∠FMD是对顶角，
∴∠FMD=∠KMG=20°．
故选B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：
两直线平行，同位角相等．
7.（2015•辽宁抚顺）（第14题，3分）如图，分别过等边△ABC的顶点A、B作直线a，b，使a∥b．若∠1=40°，则∠2的度数为 80° ．
【解析】平行线的性质；等边三角形的性质．先根据△ABC是等边三角形得出∠BAC=60°，故可得出∠BAC+∠1的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵∠1=40°，
∴∠BAC+∠1=100°．
∵a∥b，
∴∠2=180°﹣（∠BAC+∠1）=180°﹣100°=80°．
故答案为：
80°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：
两直线平行，同旁内角互补．
8.（2016·浙江省湖州市·3分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠A
BC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC
的距离是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【考点】角平分线的性质．
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边
的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．
【解答】解：
过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．
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