八年级数学下册第1章三角形的证明1等腰三角形教案新版北师大版.docx

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八年级数学下册第1章三角形的证明1等腰三角形教案新版北师大版

1　等腰三角形

第1课时　三角形的全等和等腰三角形的性质

教学目标

一、基本目标

1．了解作为证明基础的8条公理的内容．

2．使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，学会用综合法证明等腰三角形的有关性质定理．

3．让学生学会分析几何证明题的思路，并掌握证明的基本步骤和书写格式．

4．经历作辅助线的证明过程，进一步发展学生的合情推理意识，培养主动探究的习惯，体会数学与现实生活的紧密联系．

二、重难点目标

【教学重点】

等腰三角形的性质及推论．

【教学难点】

运用等腰三角形的性质及推论解决相关问题及证明的书写格式．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．

2．全等三角形的对应边相等、对应角相等．

3．等腰三角形的两底角相等，简述为：

等边对等角．

4．等腰三角形“三线合一”：

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合．

5．如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　B　）

A．BD＝CD

B．AB＝AC

C．∠B＝∠C

D．∠BAD＝∠CAD

6．如图，△ABC≌△CDA，那么下列结论错误的是（　D　）

A．∠1＝∠2　B．AC＝CA

C．∠D＝∠B　D．AC＝BC

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】如图，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝（　　）

A．80°　B．100°　　

C．140°　D．160°

【互动探索】（引发学生思考）由边相等可以得到什么？

这与∠BCD有什么关系？

【分析】∵∠BAD＝80°，∴∠B＋∠BCD＋∠D＝360°－∠BAD＝280°.又∵AB＝AC＝AD，∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝280°÷2＝140°.

【答案】C

【互动总结】（学生总结，老师点评）求角的度数时，需根据实际情况分析：

（1）在等腰三角形中，要考虑三角形内角和定理；

（2）有平行线时，要考虑平行线的性质：

两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；（3）两条相交直线中，对顶角相等，互为邻补角的两角之和等于180°.

【例2】等腰三角形的一个角等于30°，求它其余两角的度数．

【互动探索】（引发学生思考）等腰三角形的角有什么特征？

已知角是顶角还是底角？

【解答】分情况讨论：

当底角为30°时，顶角度数为180°－2×30°＝120°；

当顶角为30°时，底角度数为（180°－30°）÷2＝75°.

综上，该等腰三角形其余两角的度数为30°，120°或75°，75°.

【互动总结】（学生总结，老师点评）已知的一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角；一个钝角只能是等腰三角形的顶角．分类讨论是正确解答本题的关键．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．至少有两边相等的三角形是（　B　）

A．等边三角形　B．等腰三角形

C．直角三角形　D．锐角三角形

2．在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝44°，则∠B＝68度．

3．已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长等于15.

4．如图所示，已知AB＝AC，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝55度．

5．如图所示，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2.求证：

AD平分∠BAC.

证明：

∵∠1＝∠2，∴BD＝DC.∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ADB≌△ADC，∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC.

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例3】如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．

【互动探索】根据等腰三角形“三线合一”可得AE⊥BC→求出∠CDE→根据“直角三角形两锐角互余”求出∠DCE→根据角平分线的定义求出∠ACB→根据“等腰三角形两底角相等”列式求出∠BAC.

【解答】∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC.∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝180°－∠ADC＝55°，∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°－（∠B＋∠ACB）＝40°.

【互动总结】（学生总结，老师点评）利用等腰三角形“三线合一”的性质进行计算，有两种类型：

一是求边长，求边长时应利用等腰三角形底边上的中线与其他两线互相重合；二是求角度的大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角平分线或底边上的高与其他两线互相重合．

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1．两三角形全等的判定：

AAS、ASA、SSS、SAS.

2．等腰三角形

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时　等边三角形的性质

教学目标

一、基本目标

1．进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的平分线（两腰上的高、中线）的性质．

2．学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题．

3．把等腰三角形与等边三角形的性质进行比较，体会等腰三角形和等边三角形的相同之处和不同之处．

二、重难点目标

【教学重点】

等腰三角形、等边三角形的相关性质．

【教学难点】

等腰三角形、等边三角形的相关性质的应用．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P5～P6的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形两腰上的中线相等．

2．等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.

3．一个等腰非等边三角形中，它的角平分线、中线及高线的条数共为（重合的算一条）（　B　）

A．9　B．7　　

C．6　D．5

4．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（　B　）

A．顶角　B．顶角的一半

C．顶角的2倍　D．底角的一半

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，求证：

DE∥BC.

【互动探索】（引发学生思考）要证DE∥BC，需证∠ADE＝∠ABC，从而结合已知条件考虑证△BEC≌△CDB即可．

【证明】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠ABC－∠ABE＝∠ACB－∠ACD，∴∠EBC＝∠DCB.在△BEC和△CDB中，∵

∴△BEC≌△CDB，∴BD＝CE，∴AB－BD＝AC－CE，即AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.又∵∠A是△ADE和△ABC的顶角，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC.

【互动总结】（学生总结，老师点评）等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等．

【例2】如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连结BE、DE.若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．

【互动探索】（引发学生思考）由△ABC是等边三角形可以得到哪些结论？

如何利用这些结论求∠CED?

【解答】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.

【互动总结】（学生总结，老师点评）等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，AB＝BC＝AC＝BD，则∠ADC的大小为（　D　）

A．120°　B．135°　　

C．145°　D．150°

2．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列四个结论正确的是（　A　）

①点P在∠BAC的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP.

A．全部正确　B．仅①和②正确

C．仅②和③正确　D．仅①和③正确

3．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为50°或130°.

4．如图所示，已知l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，求∠α的度数．

解：

如题图，过点C作CE∥直线m.∵l∥m，∴l∥m∥CE，∴∠ACE＝∠α，∠BCE＝∠CBF＝20°.在等边三角形ABC中，∠ACB＝60°，∴∠α＋∠CBF＝∠ACB＝60°，∴∠α＝40°.

5．如图，△ABC为正三角形，点M是边BC上任意一点，点N是边CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q，求∠BQM的度数．

解：

∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和△BNC中，∵

∴△AMB≌△BNC，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例3】如图，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：

BM＝EM.

【互动探索】要证BM＝EM，由题意证△BDM≌△EDM即可．

【证明】连结BD.∵在等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBC＝

∠ABC＝30°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°.∵DM⊥BC，∴∠DMB＝∠DME＝90°.在△DMB和△DME中，∵

∴△DMB≌△DME，∴BM＝EM.

【互动总结】（学生总结，老师点评）证明线段相等可以利用三角形全等得到．此外，要明确等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质完全适合等边三角形．

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1．等腰三角形两底角的平分线相等，等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形两腰上的中线相等．

2．等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.

练习设计

请完成本课时对应练习！

第3课时　等腰三角形的判定与反证法

教学目标

一、基本目标

1.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．

2．了解反证法的基本证明思路，培养学生的逆向思维能力，并能简单应用．

二、重难点目标

【教学重点】

掌握等腰三角形的判定定理．

【教学难点】

利用反证法进行证明．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P8～P9的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：

等角对等边．

2．先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．

3．用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中，至多有一个锐角”的第一步是假设三角形的三个外角中，有两个锐角．

4．如图所示，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连结DE，则图中等腰三角形共有（　D　）

A．2个　B．3个　　

C．4个　D．5个

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：

△CEF是等腰三角形．

【互动探索】（引发学生思考）要证△CEF是等腰三角形，结合已知条件考虑证明CE＝CF即可．

【证明】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC.又∵∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．

【互动总结】（学生总结，老师点评）“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．

【例2】求证：

△ABC中不能有两个钝角．

【互动探索】（引发学生思考）用反证法证明时，假设什么？

【证明】假设△ABC中能有两个钝角，不妨设∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，

所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，

这与三角形的内角和为180°矛盾，所以假设不成立，

因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角．

【互动总结】（学生总结，老师点评）反证法的步骤：

（1）假设结论不成立；

（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论反面的所有可能的情况．如果只有一种，那么否定一种就可以了；如果有多种情况，则必须一一否定．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（　C　）

A．有一个内角大于60°

B．有一个内角小于60°

C．每一个内角都大于60°

D．每一个内角都小于60°

2．在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，则图中的等腰三角形有（　D　）

A．1个　B．2个　　

C．3个　D．4个

3．如图，在4×3的正方形网格中，点A、B分别在格点上，在图中确定格点C，则以A、B、C为顶点的等腰三角形有3个．

4．用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角．

证明：

不妨设等腰三角形△ABC中，∠A为顶角，则分情况证明．①设∠B、∠C都是直角，则∠B＋∠C＝180°，故∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾；②设∠B、∠C都是钝角，则∠B＋∠C＞180°，故∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①②错误，所以∠B、∠C只能为锐角，即等腰三角形的底角必为锐角．

5．如图所示，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，交BC于点E，且BD＝BE，求证：

△ABC是等腰三角形．

证明：

∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°，∴∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠1＝90°，∴∠A＋∠D＝∠C＋∠1.∵BD＝BE，∴∠2＝∠D.∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠D，∴∠A＋∠D＝∠C＋∠D，∴∠A＝∠C，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形．

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.

（1）求证：

△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．

【互动探索】

（1）根据“等边对等角”可得∠B＝∠C，从而利用“边角边”证明△BDE≌△CEF，进而根据“全等三角形对应边相等”可得DE＝EF，即可证得结论；

（2）根据“全等三角形对应角相等”可得∠BDE＝∠CEF，从而得到∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的外角定理求出∠B＝∠DEF，进而求出∠DEF.

【解答】

（1）证明：

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，∵

∴△BDE≌△CEF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形．

（2）∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝

×（180°－∠A）＝65°，∴∠DEF＝65°.

【互动总结】（学生总结，老师点评）等腰三角形提供了很多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1．等腰三角形的判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．

2．反证法的步骤：

（1）假设结论不成立；

（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第4课时　

等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质

教学目标

一、基本目标

1．理解等边三角形的判定定理及其证明，理解含有30°角的直角三角形性质及其证明，并能利用这些定理解决一些简单的问题．

2．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

二、重难点目标

【教学重点】

等边三角形判定定理的发现与证明．

【教学难点】

理解并掌握含30°角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P10～P12的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

3．等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为（　A　）

A．120°　B．130°　　

C．150°　D．160°

4．下列三角形：

①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　D　）

A．①②③　B．①②④

C．①③　D．①②③④

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】已知a、b、c是△ABC的三边，且满足关系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，试说明△ABC是等边三角形．

【互动探索】（引发学生思考）证明△ABC是等边三角形应从哪些角度考虑？

（边、角）．结合已知条件，本题应从边的角度考虑证明△ABC是等边三角形．

【证明】原关系式整理，得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0，

∴a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0，

∴（a－b）2＋（b－c）2＝0，

∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c，

∴a＝b＝c，

∴△ABC是等边三角形．

【互动总结】（学生总结，老师点评）

（1）几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零；

（2）有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．

【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是（　　）

A．3cm　B．6cm　　

C．9cm　D．12cm

【互动探索】（引发学生思考）在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∴在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.即AB的长度是12cm.

【答案】D

【互动总结】（学生总结，老师点评）运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．若三角形中，三条中线都垂直于所对的边，则此三角形是（　D　）

A．等腰三角形　B．钝角三角形

C．直角三角形　D．等边三角形

2．下列说法错误的是（　C　）

A．等边三角形是等腰三角形

B．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形

C．有两个内角不相等的三角形不是等腰三角形

D．有两个内角分别是70°和40°的三角形是等腰三角形

3．△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则∠B＝60°.

4．在△ABC中，∠B＝∠C＝15°，AB＝2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是1cm.

5．如图所示，P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数．

解：

∵PA＝PQ＝AQ，∴△APQ是等边三角形，∴∠APQ＝∠PQA＝∠QAP＝60°.∵PA＝PB，∴∠B＝∠PAB.又∵∠B＋∠PAB＝∠APQ＝60°，∴∠PBA＝∠PAB＝30°.同理，∠QAC＝30°，∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠QAC＝30°＋60°＋30°＝120°.

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例3】如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，AB＝BC.试判断△ABC的形状，并证明你的结论．

【互动探索】由CE＝CD，EB＝ED，根据“等边对等角”及三角形外角性质，可得∠CBE＝

∠ECB.再由BE⊥CE，根据三角形内角和定理，可得∠ECB＝60°.又∵AB＝BC，从而得出△ABC是等边三角形．

【解答】△ABC是等边三角形．证明如下：

∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D.

又∵∠ECB＝∠CED＋∠D，

∴∠ECB＝2∠D.

∵BE＝DE，∴∠CBE＝∠D，

∴∠ECB＝2∠CBE，∴∠CBE＝

∠ECB.

∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°.

又∵∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°，

∴∠ECB＋

∠ECB＋90°＝180°，

∴∠ECB＝60°.

又∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形．

【互动总结】（学生总结，老师点评）

（1）已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种方法：

①证明另一边也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于60°.

（2）已知一个三角形中有一个角等于60°，要证明这个三角形是等边三角形，有两种方法：

①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1．等边三角形的判定定理：

2．含30°角的直角三角形的性质定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

练习设计

请完成本课时对应练习！