小学数学解题思路大全.docx

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小学数学解题思路大全

∙【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题

1.想数码 

　　例如，1989年“从小爱数学”邀请赛试题6：

两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。

某同学的答数是16246。

试问该同学的答数正确吗？

（如果正确，请你写出这个四位数；如果不正确，请说明理由）。

　　思路一：

易知两个四位数的四个数码之和相等，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，这两个四位数相加的和必为偶数。

　　相应位数两数码之和，个、十、百、千位分别是17、13、11、15。

所以该同学的加法做错了。

正确答案是 

　　思路二：

每个数码都不小于5，百位上两数码之和的11只有一种拆法5＋6，另一个5只可能与8组成13，6只可能与9组成15。

这样个位上的两个数码，8＋9＝16是不可能的。

　　不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。

” 

2.尾数法 

　　例1 比较1222×1222和1221×1223的大小。

　　由两式的尾数2×2＝4，1×3＝3，且4＞3。

　　知1222×1222＞1221×1223 

　　例2 二数和是382，甲数的末位数是8，若将8去掉，两数相同。

求这两个数。

　　由题意知两数的尾数和是12，乙数的末位和甲数的十位数字都是4。

　　由两数十位数字之和是8－1＝7，知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。

　　甲数是348，乙数是34。

　　例3 请将下式中的字母换成适当的数字，使算式成立。

　　由3和a5乘积的尾数是1，知a5只能是7； 

　　由3和a4乘积的尾数是7－2＝5，知a4是5；……不难推出原式为 

　　142857×3＝428571。

3.从较大数想起 

　　例如，从1～10的十个数中，每次取两个数，要使其和大于10，有多少种取法？

　　思路一：

较大数不可能取5或比5小的数。

　　取6有6＋5； 

　　取7有7＋4，7＋5，7＋6； 

　　………………………………………… 

　　取10有九种10＋1，10＋2，……10＋9。

　　共为1＋3＋5＋7＋9＝25（种）。

　　思路二：

两数不能相同。

较小数为1的只有一种取法1＋10；为2的有2＋9，2＋10；……较小数为9的有9＋10。

　　共有取法1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25（种） 

　　这是从较小数想起，当然也可从9或8、7、……开始。

　　思路三：

两数和最大的是19。

两数和大于10的是11、12、…、19。

　　和是11的有五种1＋10，2＋9，3＋8，4＋7，5＋6；和是11～19的取法 

　　5＋4＋4＋3＋3＋2＋2＋1＋1＝25（种）。

4.想大小数之积 

　　用最大与最小数之积作内项（或外项）的积，剩的相乘为外项（或内项）的积，由比例基本性质知 

　　交换所得比例式各项的位置，可很快列出全部的八个比例式。

5.由得数想 

　　例如，思考题：

在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号，等式就成立？

其结果是 

　　0，0.5，1，1.5，2。

　　从得数出发，想：

　　两个相同数的差，等于0； 

　　一个数加上或减去0，仍等于这个数； 

　　一个因数是0，积就等于0； 

　　0除以一个数（不是0），商等于0； 

　　两个相同数的商为1； 

　　1除以0.5，商等于2；…… 

　　解法很多，只举几种：

　　（0.5－0.5）×0.5×0.5×0.5＝0 

　　0.5－0.5－（0.5－0.5）×0.5＝0 

　　（0.5＋0.5＋0.5）×（0.5－0.5）＝0\ 

　　（0.5＋0.5－0.5－0.5）×0.5＝0 

　　（0.5－0.5）×0.5×0.5＋0.5＝0.5 

　　0.5＋0.5＋0.5－0.5－0.5＝0.5 

　　（0.5＋0.5）×（0.5＋0.5—0.5）＝0.5 

　　（0.5＋0.5）×0.5＋0.5－0.5＝0.5 

　　（0.5－0.5）×0.5＋0.5＋0.5＝1 

　　0.5÷0.5＋（0.5－0.5）×0.5＝1 

　　（0.5－0.5）÷0.5＋0.5＋0.5＝1 

　　（0.5＋0.5）÷0.5－（0.5＋0.5）＝1 

　　0.5－0.5＋0.5＋0.5÷0.5＝1.5 

　　（0.5＋0.5）×0.5＋0.5＋0.5＝1.5 

　　0.5＋0.5＋0.5＋0.5－0.5＝1.5 

　　0.5÷0.5＋0.5÷0.5－0.5＝1.5 

　　0.5÷0.5÷0.5＋0.5－0.5＝2 

　　（0.5＋0.5）÷0.5＋0.5－0.5＝2 

　　（0.5＋0.5＋0.5－0.5）÷0.5＝2 

　　[（0.5＋0.5）×0.5＋0.5]÷0.5＝2

6.想平均数 　　 

　　思路一：

由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。

设第一个数为“1”，则中间数占 

　　知这三个数是14、15、16。

　　二、一个数分别为 

　　16－1＝15， 

　　15－1＝14或16－2＝14。

　　若先求第一个数，则 

　　思路三：

设第三个数为“1”，则第二、三个数， 

　　知是15、16。

　　思路四：

第一、三个数的比是7∶8，第一个数是2÷（8－7）×7＝14。

　　若先求第三个数，则 

　　2÷（8－7）×8＝16。

7.想奇偶数 

例1 思考题：

在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。

例如 

1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100 

　　你还能想出不同的添法吗？

　　1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。

若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－（7＋8）＝63，即 

　　1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9 

　　＝45＋63＝108。

　为使其和等于100，式左必须减去8。

加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。

　“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负“－1”，不能介绍。

如果式左变为 

　12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。

　［12－（1＋2）］＋［89－（8＋9）］＝81。

即12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。

　要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有 

　12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100， 

　12－3－4＋5－6＋7＋89＝100， 

　　同理得 

　　12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100， 

　　1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100， 

　　1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100， 

　　123－4－5－6－7＋8－9＝100， 

　　123＋4－5＋67－89＝100， 

　　123－45－67＋89＝100。

　　为了减少计算。

应注意：

（1）能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减（不再去掉某两数间的加号），结果为100呢？

　　1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。

（2）有一个是四位数，结果也不可能为100。

因为1234减去余下数字组成（按顺序）的最大数789，再减去余下的56，差大于100。

　　例2求59～199的奇数和。

　　由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方 

　　1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）＝n2 

　　奇数比它对应的序数2倍少1。

用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。

　　例如，32对应奇数2×32－1＝63。

奇数199，从1起的连续奇数中排列在100（2n－1＝199，n＝100）的位置上。

　　知1～199的奇数和是1002＝10000。

此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。

　　所求为10000－841＝9159。

　　或者59＝30×2－1，302＝900， 

　　10000－900＋59＝9159。

例1思考题：

在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。

例如 

1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100 

你还能想出不同的添法吗？

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。

若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－（7＋8）＝63，即 

          1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9 

　　＝45＋63＝108。

为使其和等于100，式左必须减去8。

加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。

“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负数“－1”，不能介绍。

如果式左变为 

12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。

［12－（1＋2）］＋［89－（8＋9）］＝81。

即12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。

要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有 

12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100， 

12－3－4＋5－6＋7＋89＝100， 

同理得 

12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100， 

1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100， 

1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100， 

　　123－4－5－6－7＋8－9＝100， 

　　123＋4－5＋67－89＝100， 

　　123－45－67＋89＝100。

　　为了减少计算。

应注意：

（1）能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减（不再去掉某两数间的加号），结果为100呢？

　　1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。

（2）有一个是四位数，结果也不可能为100。

因为1234减去余下数字组成（按顺序）的最大数789，再减去余下的56，差大于100。

例2求59～199的奇数和。

　　由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方 

1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）＝n2 

奇数比它对应的序数2倍少1。

用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。

例如，32对应奇数2×32－1＝63。

奇数199，从1起的连续奇数中排列在100（2n－1＝199，n＝100）的位置上。

知1～199的奇数和是1002＝10000。

此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。

所求为10000－841＝9159。

或者59＝30×2－1，302＝900， 

10000－900＋59＝9159。

8.约倍数积法 

任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积，等于这两个自然数的积。

证明：

设M、N（都是自然数）的最大公约数为P，最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。

那么M×N＝P×a×P×b。

而Q＝P×a×b， 

所以M×N＝P×Q。

例1甲乙两数的最大公约数是7，最小公倍数是105。

甲数是21，乙数是多少？

例2 已知两个互质数的最小公倍数是155，求这两个数。

这两个互质数的积为1×155＝155，还可分解为5×31。

所求是1和155，5和31。

例3 两数的最大公约数是4，最小公倍数是40，大数是数的2.5倍，求各数。

由上述定理和题意知两数的积，是小数平方的2.5倍。

小数的平方为4×40÷2.5＝64。

小数是8。

大数是8×2.5＝20。

算理：

4×40＝8×20＝8×（8×2.5）＝82×2.5。

9.想份数 

 10巧用分解质因数 

　　例1 四个比1大的整数的积是144，写出由这四个数组成的比例式。

　　144＝24×32 

　　＝（22×3）×[（2×3）×2] 

　　＝（4×3）×（6×2） 

　　可组成4∶6＝2∶3等八个比例式。

　　例2 三个连续自然数的积是4896，求这三个数。

　　4896＝25×32×17 

　　＝24×17×（2×32） 

　　＝16×17×18 

　　1728＝26×33＝（22×3）3＝123 

　　385＝5×7×11 

　　例4 1992年小学数学奥林匹克试题初赛（C）卷题3：

找出1992的所有不同的质因数，它们的×和是多少？

　　1992＝22×2×3×83 

　　2＋3＋83＝88 

　　例5 甲数比乙数大9，两数的积是1620，求这两个数。

　　1620＝22×34×5 

　　＝（32×22）×（32×5） 

　　甲数是45，乙数是36。

　　例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组，每组四个数且积相等，求这两组数。

　　八个数的积等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。

　　每组数的积为2×32×52×7×11×132×127。

两组为 

例7 600有多少个约数？

　　600＝6×100＝2×3×2×2×5×5 

　　＝23×3×52 

　　只含因数2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的约数分别为：

　　2、22、23； 

　　3； 

　　5、52； 

　　2×3、22×3、23×3； 

　　2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52； 

　　3×5、3×52； 

　　2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。

　　不含2×3×5的因数的数只有1。

　　这八种情况约数的个数为； 

　　3＋1＋2＋3＋6＋2＋6＋1＝24。

　　不难发现解题规律：

把给定数分解质因数，写成幂指数形式，各指数分别加1后相乘，其积就是所求约数的个数。

（3＋1）×（1＋1）×（2＋1）＝24。

17.想法则 

　　用来说明运算规律（或方法）的文字，叫做法则。

　　子比分母少16。

求这个分数？

　　由“一个分数乘以5，是分子乘以5分母不变”，结果是分子的5倍比3倍比分母少16。

知 

　　分子的5－3＝2（倍）是2＋16＝18，分子为18÷2＝9，分母为9×5－2＝43或9×3＋16＝43。

18.想公式 

　　证明方法：

　　以分母a，要加（或减）的数为 

（2）设分子加上（或减去）的数为x，分母应加上（或减去）的数为y。

19.想性质 

　　例1 1992年小学数学奥林匹克试题初赛（C）卷题6：

有甲、乙两个多少倍？

　　200÷16＝12.5（倍）。

　　例2 思考题：

三个最简真分数，它们的分子是连续自然数，分母大于10，且它们最小公分母是60；其中一个分数的值，等于另两个分数的和。

写出这三个分数。

　　由“分母都大于10，且最小公分母是60”，知其分母只能是12、15、20；12、15、30；12、15、60。

　　由“分子是连续自然数”，知分子只能是小于12的自然数。

　　满足题意的三个分数是 

（二）第400个分数是几分之几？

　　此题特点：

（2）每组分子的排列：

　　假设某一组分数的分母是自然数n，则分子从1递增到n，再递减到1。

分数的个数为n＋n－1＝2n－1，即任何一组分数的个数总是奇数。

　　（3）分母数与分数个数的对应关系，正是自然数与奇数的对应关系 

　　分母：

1、2、3、4、5、…… 

　　分数个数：

1、3、5、7、9、…… 

　　（4）每组分数之前（包括这组本身）所有分数个数的和，等于这组的组号（这一组的分母）的平方。

　　例如，第3组分数前（包括第3组）所有分数个数的和是32=9。

　　10×2－1－6=13（个）位置上。

　　分别排在81＋7＝88（个），81＋13=94（个）的位置上。

　　或者102=100，100－12=88。

　　100－6＝94，88＋6＝94。

　　问题

（二）：

由上述一串分数个数的和与组号的关系，将400分成某数的平方，这个数就是第400个分数所在的组数400＝202，分母也是它。

　　第400个分数在第20组分数中，400是这20组分数的和且正好是20的平方无剩余，故可断定是最后一个，即 

　　若分解为某数的平方有剩余，例如，第415个和385个分数各是多少。

　　逆向思考，上述的一串分数中，分母是35的排在第几到第几个？

　　352－（35×2－1）＋1 

　　＝1225－69＋1＝1157。

　　排在1157－1225个的位置上。

20.由规则想 

　　例如，1989年从小爱数学邀请赛试题：

接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字。

　　例如，8×9＝72，在9后面写2，9×2＝18，在2后面写8，……得到一串数：

1989286…… 

　　这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？

　　先按规则多计算几个数字，得198********86884……显然，1989后面的数总是不断重复出现286884，每6个一组。

　　（1989－4）÷6＝330……5 

　　最后一组数接着的五个数字是28688，即第1989个数字是8。

21.用规律 

　　例1 第六册P62第14题：

选择“＋、－、×、÷”中的符号，把下面各题连成算式，使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

（1）22222＝0 

（2）22222＝1 

　　…… 

　　（10）22222＝9 

　　解这类题的规律是：

　　先想用两、三个2列出，结果为0、1、2的基本算式：

　　2－2＝0，2÷2＝1； 

　　再联想2－2÷2＝1，2×2÷2＝2，2÷2＋2＝3，…… 

　　每题都有几种选填方法，这里各介绍一种：

　　2÷2＋2÷2－2＝0 

　　2÷2×2－2÷2＝1 

　　2－2＋2÷2×2＝2 

　　2×2＋2÷2－2＝3 

　　2×2×2－2－2＝4 

　　2－2÷2＋2×2＝5 

　　2＋2－2＋2×2＝6 

　　2×2×2－2÷2＝7 

　　2÷2×2×2×2＝8 

　　2÷2＋2×　　3＋12×9＝ 

　　4＋123×9＝ 

　　5＋1234×9＝ 

　　6＋12345×9＝ 

　　得数依次为11、111、1111、11111、111111。

此组算式的特点：

　　第一个加数由2开始，每式依次增加1。

第二个加数由乘式组成，被乘数的位数依次为1、12、123、……继续写下去 

　　7＋123456×9=1111111 

　　8＋1234567×9=11111111 

　　9＋12345678×9＝111111111 

　　10＋123456789×9＝1111111111 

　　11＋1234567900×9=11111111111 

　　12＋12345679011×9=111111111111 

　　…… 

　　很自然地想到，可推广为 

（1）当n=1、2时，等式显然成立。

（2）设n=k时，上式正确。

当n=k＋1时 

　　k＋1＋123…k×9 2×2＝9 

　　例2 第六册P63题4：

写出奇妙的得数 

　　2＋1×9＝ 

　　=k＋1＋[123…（k－1）×10＋k］×9 

　　=k＋1＋123…（k－1）×9×10＋9k 

　　=[k＋123…（k－1）×9]×10＋1 

　　根据数学归纳法原理，由

（1）、

（2）可断定对于任意的自然数n，此等式都成立。

　　例3 牢记下面两个规律，可随口说出任意一个自然数作分母的，所有真分数的和。

（1）奇数（除1外）作分母的所有真分数的和、是（分母－1）÷2。

　　　=（21－1）÷2=10。

22.巧想条件 

　　比5小，分母是13的最简分数有多少个。

　　7～64为64－（7－1）＝58（个），去掉13的倍数13、26、39、52，余下的作分子得54个最简分数。

　　例2 一个整数与1、2、3，通过加减乘除（可添加括号）组成算式，若结果为24这个整数就是可用的。

4、5、6、7、8、9、10中，有几个是可用的。

　　看结果，想条件，知都是可用的。

　　4×（1＋2＋3）＝24 

　　（5＋1＋2）×3＝24 

　　6×（3＋2－1）＝24 

　　7×3＋1＋2＝24 

　　8×3÷（2－1）＝24 

　　9×3－1－2＝24 

　　10×2＋1＋3＝24

23.想和不变 

　　无论某数是多少，原分数的分子与分母的和7＋11=18是不变的。

　　而新分数的分子与分母的和为1＋2=3，要保持原和不变，必同时扩大18÷3＝6（倍）。

　　某数为7－6＝1或12－11＝1。

24.想和与差 

　　算理，原式相当于 

　　求这个分数。

25.想差不变 

　　分子与分母的差41－35＝6是不变的。

新分数的此差是8－7＝1，要保持原差不变，新分数的分子和分母需同时扩大6÷1＝6（倍）。

　　某数为42－35＝7，或48－41＝7。

　　与上例同理。

23－11＝12，3－1＝2，12÷2＝6， 

　　某数为11－6＝5或23－18＝5。

　　分子加上3变成1，说明原分数的分子比分母小3。

当分母加上2后，分子比分母应小3＋2=5。

26.想差的1/2 

　　例2 分母是105的，最简真分数的和是多少？

　　倍数15个，（3×5）、（5×7）、（3×7）的倍数分别是7、3、5个，（3×5×7）的倍数1个。

知 

　　105－［（35＋21＋15）－（3＋5＋7）＋1］＝48， 

　　48÷2＝24。

27.借助加减恒等式 

　　个数。

　　若从中找出和为1的9个分数，将上式两边同乘以2，得 

　　这九个分数是 

28.计算比较 

　　例如，九册思考题：

1÷11、2÷11、3÷11……10÷11。

想一想，得数有什么规律？

　　…… 

　　可见，除数是11，被除数是1的几倍（倍数不得大于或等于11），商 

　　17÷11＝（11＋6）÷1