重要但常不为人知道的几何定理.docx

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重要但常不为人知道的几何定理

阿基米德折弦定理：

AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。

从圆上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

角平分线定理

定理1：

角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

该命题逆定理成立：

在角的部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

定理2：

三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

该命题逆定理成立：

如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。

xv=uy

燕尾定理

因此图类似燕尾而得名，是五大模型之一，是一个关于三角形的定理（如图△ABC，D、E、F为BC、CA、AB上点，满足AD、BE、CF交于同一点O）。

S△ABC中，S△AOB：

S△AOC=S△BDO：

S△CDO=BD：

CD；

同理，S△AOC：

S△BOC=S△AFO：

S△BFO=AF：

BF；

S△BOC：

S△BOA=S△CEO：

S△AEO=EC：

AE。

推论：

共边比例定理：

四边形ABCD（不一定是凸四边形），设AC,BD相交于E，则有BE：

DE=S△ABC：

S△ADC。

此定理是面积法最重要的定理.

典型例题：

如图三角形ABC的面积是10平厘米，AE=ED，BD=2DC，则阴影部分的面积是_____平厘米．

答案：

4

解析:

过D作DM‖BF交AC于M（如图）因为BD=2DC，因为AE=DE，所以△ABE的面积与△DBE的面积相等，所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积，即三角形AFB的面积，由DM‖BF知道△DMC相似△CBF  所以CM：

CF=CD：

CB=1：

3，即FM=

CF，因为EF是△ADM的中位线，AF=MF，所以AF=AC，由此即可求出三角形AFB的面积，即阴影部分的面积． 

解：

过D作DM‖BF交AC于M（如图）因为BD=2DC，

因为AE=DE，所以△ABE的面积与△DBE的面积相等

所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积

DM‖BF所以△DMC相似△CBF  所以CM：

CF=CD：

CB=1：

3

即FM=CF  

因为EF是△ADM的中位线，AF=MF，

所以AF=AC  

所以△ABF的面积10×=4（平厘米）

即阴影部分的面积（即△DBE的面积加△AEF的面积）等于4平厘米

答：

阴影部分的面积是4平厘米，

故答案为：

4．

共角定理：

若两三角形有一组对应角相等或互补,则它们的面积比等于对应两边乘积的比。

分角定理：

在△ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD，则有BD/CD=（sin∠BAD/sin∠CAD）*（AB/AC）。

角定理:

在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。

那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。

逆定理：

如果sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD，那么B,D,C三点共线。

http:

//baike.baidu./picture/1103993/1103993/0/0b14ad19605eeb5043a9ad95.html?

fr=lemma&ct=single角定理定理的推论：

在定理的条件下，且∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，则BDC共线的充要条件是：

2cos∠BAD/AD=1/AB+1/AC

中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼斯定理，是欧氏几的定理，表述三角形三边和中线长度关系。

定理容：

三角形一条中线两侧所对边平和等于底边的一半平与该边中线平的和的2倍。

即，对任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，AI为高线，则有如下关系：

AB2+AC2=2BI2+2AI2

或作AB2+AC2=BC2/2+2AI2

重心定理：

三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的2/3。

（三角形的重心是各中线的交点，）

共边定理

设直线AB与PQ交于M，则S△PAB/S△QAB=PM/QM（有一条公共边的三角形叫做共边三角形）

共边定理：

设直线AB与PQ交于点M，则S△PAB/S△QAB=PM/QM

证明：

分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证

证法2：

S△PAB=（S△PAM-S△PMB）

=（S△PAM/S△PMB+1）×S△PMB

=（AM/BM+1）×S△PMB（等高底共线，面积比=底长比）

同理，S△QAB=（AM/BM+1）×S△QMB

所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM（等高底共线，面积比=底长比）

定理得证！

特殊情况：

当PB∥AQ时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=△QAB，则PB∥AQ

射影定理，又称“欧几里得定理”：

在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

是数学图形计算的重要定理。

概述图中，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

BD²=AD·DC

AB²=AC·AD

BC²=CD·AC

由古希腊著名数学家、《几原本》作者欧几里得提出。

射影定理的推广证明

欧几里得提出的面积射影定理规定“平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。

（即COSθ=S射影/S原）。

”

设二面角M－AB－N的度数为α，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成角为β，和平面N所成的角为γ，则sinγ=sinα·sinβ（如图）

若已知二面角其中一个半平面某直线与二面角的棱所成的角，以及该直线与另一半平面所成的角，则可以求该二面角的正弦值。

折叠角公式（又名：

三余弦定理）：

设A为面上一点，过A的斜线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为：

cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB（∠BAC和∠OAB只能是锐角）

通俗点说就是，平面α的一条斜线l与α所成角为θ1，α的直线m与l在α上的射影l‘夹角为θ2，l与m所成角为θ，则cosθ=cosθ1*cosθ2.又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜线与平面直线成的最小角．

蝴蝶定理（ButterflyTheorem）：

设M为圆弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。

设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”，不为中点时满足:

1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP,这对2，3均成立。

该定理实际上是射影几中一个定理的特殊情况，有多种推广：

M，作为圆弦是不必要的，可以移到圆外。

1）在椭圆中

如图一，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，

中心为M（o，r）（b>r>0）。

（I）写出椭圆的程，求椭圆的焦点坐标及离心率

（II）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D（x2，y2）（y2>0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4>0）。

求证：

k1x1x2/（x1+x2）=k2x3x4/（x3+x4）

（III）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。

求证：

|OP|=|OQ|。

（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）

从x向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。

类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y'

设：

k1x1x2/（x1+x2）=k2x3x4/（x3+

证明过程图片

x4）为①式，两边同取倒数，得为

1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3①’

设：

x1x4/（k1x1-k2x4）=-x2x3/（k1x2-k2x3）为②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4②’

将①’两边同乘以k1·k2，即得

k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4

它与②’完全一样。

这里利用两式同时变形的法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。

思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。

纵观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数程法处理几问题的作用与威力。

2）在圆锥曲线中

通过射影几，我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况）。

圆锥曲线C上弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

而通过投影变换可以非常容易证明这个定理。

射影几里面关于投影变换有一个重要结论，对于平面上任意两个圆锥曲线C1,C2.任意指定C1部一个点A1和C1上面一个点B1,另外任意指定C2部一个点A2和C2上面一个点B2,存在一个唯一投影变换将曲线C1变换到C2而且A1变换到A2,B1变换到B2.

由此对于本题，我们可以通过投影变换将C1变换成一个圆M，而将弦PQ的中点M变换成这个圆的圆心。

在此变换以后，弦AB和CD都是圆M的直径而且四边形ACBD是圆M接矩形，PQ也是一条直径，有对称性显然得出投影变换后M为X,Y的中点。

又因为变换前后M都是线段PQ的中点，我们可以得出在直线PQ上这个变换是仿射变换，所以变换前M也是XY的中点。

3）在平行四边形中

在平行四边形中，，M为对角线AB与CD点。

4）坎迪定理

去掉中点的条件，结论变为一个一般关于向量的比例式，成为「坎迪定理」，这对2，3均成立。

圆幂定理是平面几中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一，例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD。

圆幂定理的所有情况

图Ⅰ：

相交弦定理。

如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。

相交于点P，连接AD、BC，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆角，因此由圆角定理知：

∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以

 。

图Ⅱ：

割线定理。

如图，连接AD、BC。

可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有

 ，同上证得

图Ⅲ：

切割线定理。

如图，连接AC、AD。

∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PBC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有

 ，易证

图Ⅳ：

PA、PC均为切线，则∠PAO=∠PCO=直角，在直角三角形中：

OC=OA=R，PO为公共边，因此

 。

所以PA=PC，所以

综上可知，

 是普遍成立的。

塞瓦定理指在△ABC任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则（BD/DC）×（CE/EA）×（AF/FB）=1。

即是BD*CE*AF=DC*EA*FB

梅涅劳斯定理：

当直线交

 三边所在直线

 于点

 时，

推论 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。

于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=-1。

（注意与塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）

切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，连心线平分两条切线的夹角。

如图中，切线长AB=AC，OA平分∠BAC。

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。

称为知二推三：

平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：

平分弦所对的两条弧）；平分弦（不是直径）；垂直于弦；经过圆心。

托勒密定理：

圆接四边形中，两条对角线的乘积（两对角线所包矩形的面积）等于两组对边乘积之和（一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和）．已知：

圆接四边形ABCD，求证：

AC·BD=AB·CD+AD·BC．

证明：

如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：

BC=AD：

BP，AC·BP=AD·BC①。

又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：

CD=AB：

DP，AC·DP=AB·CD②。

①+②得AC（BP+DP）=AB·CD+AD·BC．即AC·BD=AB·CD+AD·BC．

广义托勒密定理：

设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m、n，则有：

m2*n2=a2*c2+b2*d2-2abcd*cos（A+C）

1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

2.托勒密定理的逆定理同样成立：

一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形接于一圆

托勒密不等式：

凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。

简单的证明：

复数恒等式：

（a-b）（c-d）+（a-d）（b-c）=（a-c）（b-d），两边取模，

得不等式AC·BD≤|（a-b）（c-d）|+|（b-c）（a-d）|=AB·CD+BC·AD

注释：

欧拉定理

在数学及多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。

在数论中，欧拉定理（EulerTheorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。

欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。

欧拉定理实际上是费马小定理的推广。

此外还有平面几中的欧拉定理、多面体欧拉定理（在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2）。

西经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。

另有欧拉公式。

欧拉定理：

在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD

费马小定理是初等数论四大定理（威尔逊定理，欧拉定理（数论中的欧拉定理），中国剩余定理（又称子定理）和费马小定理）之一，在初等数论中有着非常广泛和重要的应用。

实际上，它是欧拉定理的一个特殊情况（即

 ，见于词条“欧拉函数”）。