06推理与证明复习高考数学考点讲解一.docx

06推理与证明复习高考数学考点讲解一.docx

《06推理与证明复习高考数学考点讲解一.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《06推理与证明复习高考数学考点讲解一.docx（31页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

06推理与证明复习高考数学考点讲解一

一.命题解读

1、推理是数学的基本思维过程，由于解答试题的过程就是推理的过程，因此高考对本部分内容的考查将会渗透到每一道试题中，对推理的考查往往会直接命制归纳推理或类比推理应用的问题，通过推理产生结论，结合点可以是图形、数列以及设计其他的具有推理特点的新问题，在复习中应注意理解常用的推理方法，掌握其过程以解决具体问题。

2、证明是数学的基本思维过程，是高考的重要内容，并且本部分内容也将会渗透到高考试题中，主要在选择题和填空题中，考查利用基本的证明方法如：

分析法、综合法解决问题的意识和能力，也有可能以解答题的形式出现，最典型的命题是与归纳推理结合，通过归纳推理产生结论，然后用数学归纳法加以证明。

二．重点归纳

推理与证明中主要知识可以概括为：

两种推理形式、两种证明方式、三种证明方法。

1、两种推理形式

（1）合情推理：

根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，包括归纳推理与类比推理。

归纳推理：

由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理。

类比推理：

由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推测出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。

（2）演绎推理：

根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊命题为真的推理叫演绎推理。

2、两种证明方式

（1）直接证明：

直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明。

常用的直接证明方法有综合法与分析法。

（2）间接证明：

不是从正面论证命题的真实性，而是考虑证明它的否定为假，间接地达到目的。

常见的间接证明方法是反证法。

3、四种证明方法

（1）综合法：

从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所求证的命题。

综合法是一种由因导果的证明方法。

（2）分析法：

一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法叫做分析法。

分析法是一种执果索因的证明方法。

（3）数学归纳法：

设

是一个与正整数相关的命题集合，如果①②证明起始命题

（或

）成立；在假设

成立的前提下，推出

也成立，那么

对一切正整数都成立。

三.典例分类解析

1.类比推理

例1.（2018•漳州三模）设S、V分别表示面积和体积，如△ABC面积用S△ABC表示，三棱锥O﹣ABC的体积用VO﹣ABC表示．对于命题：

如果O是线段AB上一点，则|

|•

+|

|•

=

．将它类比到平面的情形是：

若O是△ABC内一点，有S△OBC•

+S△OCA•

+S△OBA•

=

．将它类比到空间的情形应该是：

若O是三棱锥A﹣BCD内一点，则有_______。

分析：

由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：

点到线，线到面，或是二维变三维；由题目中点O在三角形ABC内，则有结论S△OBC•

+S△OAC•

+S△OAB•

=

，的结论是二维线段长与向量的关系式，类比后的结论应该为三维的体积与向量的关系式．

解析：

由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，

一般的思路是：

点到线，线到面，或是二维变三维，面积变体积；

由题目中点O在三角形ABC内，则有结论S△OBC•

+S△OAC•

+S△OAB•

=

，

我们可以推断VO﹣BCD•

+VO﹣ACD•

+VO﹣ABD•

+VO﹣ABC•

=

故答案为：

VO﹣BCD•

+VO﹣ACD•

+VO﹣ABD•

+VO﹣ABC•

=

点评：

本题考察的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：

（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；

（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．

2.归纳推理

例2.在小时候，我们就用手指练习过数数．一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2014时对应的指头是（　　）

A.大拇指B.食指C.中指D.无名指

分析：

根据所给的数据：

发现大拇指对的数是1+8n，小指对的数是5+8（n﹣1）．食指、中指、无名指对的数介于它们之间．因2009=251×8+1，数到2009时对应的指头是大拇指．

解析：

大拇指对的数是1+8n，小指对的数是5+8n，无名指对的数是4+8n和6+8n，

又∵2014=251×8+6，∴数到2014时对应的指头是无名指．故选：

D．

点评：

此题是个中档题．考查学生观察、归纳和分析解决问题的能力．只需找出大拇指和小指对应的数的规律即可．关键规律为：

大拇指对的数是1+8n，小指对的数是5+8n．食指、中指、无名指对的数介于它们之间．

例3.（2018•怀化一模）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，

（1）a5=　　；

（2）若an=117，则n=　　．

分析：

本题属于归纳推理题，由n=1，2，3，4归纳出其中的规律，

（1）利用规律指导解题，求出第5项；

（2）利用规律研究通项公式，再根据某一项的值，求出项数．

解析：

（1）观察得知：

a1=1=3×1﹣2，a2=5=a1+3×2﹣2，a3=12=a2+3×3﹣2，

a4=22=a3+3×4﹣2，

…

（1）由此归纳猜想，得到：

a5=a4+3×5﹣2=22+15﹣2=35．

（2）归纳猜想，得到：

an=an﹣1+3n﹣2，（n≥2，n∈N*）

将：

a1=1=3×1﹣2

a2=5=a1+3×2﹣2，

a3=12=a2+3×3﹣2，

a4=22=a3+3×4﹣2，

…，

an=an﹣1+3n﹣2，（n≥2，n∈N*）．

叠加得到：

（n≥2，n∈N*）．

令an=117，即

，n=9．

点评：

本题考查的是归纳推理，难点在于归纳推理得到递推规律以后，再利用递推规律进一步研究，得到通项公式，再利用通项公式解题．有一定的思维量和运算量，属于中档题．

例4.（2015•陕西）观察下列等式：

1﹣

=

1﹣

+

﹣

=

+

1﹣

+

﹣

+

﹣

=

+

+

…

据此规律，第n个等式可为________-。

分析：

由已知可得：

第n个等式含有2n项，其中奇数项为

，偶数项为﹣

．其等式右边为后n项的绝对值之和．即可得出．

解析：

由已知可得：

第n个等式含有2n项，其中奇数项为

，偶数项为﹣

．其等式右边为后n项的绝对值之和．

∴第n个等式为：

+…+

=

+…+

．

点评：

本题考查了观察分析猜想归纳求数列的通项公式方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3.直接证明与间接证明

例5.设a，b，c＞0，证明：

＋

＋

≥a＋b＋c.

[分析]用综合法证明，可考虑运用基本不等式．

证明　∵a，b，c＞0，根据均值不等式，

有

＋b≥2a，

＋c≥2b，

＋a≥2c.

三式相加：

＋

＋

＋a＋b＋c≥2（a＋b＋c）．

当且仅当a＝b＝c时取等号．

即

＋

＋

≥a＋b＋c.

点评：

综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．

4：

数学归纳法

例6.已知正数数列

中，前n项和为

，且2

，用数学归纳法证明：

，故当n＝k＋1时，结论也成立，由

（1）

（2）知，对于一切正整数n，结论都成立。

点评：

用数学归纳法来证明，其核心问题是如何恰当地运用归纳假设来证明n=k+1时命题的正确性，即由n=k时命题成立过渡到n=k+1时命题也成立，这也是证题的难点所在。

四.解题规律总结

1．类比推理的关键在于找出两类事物之间的相似性或一致性，用一类事物的性质推测

另一类事物的性质，是两类类似对象之间的推理；而归纳推理的关键是由某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征，或者由个别事物概括出一般性的结论；无论是类比推理还是归纳推理，得到的结论都不一定正确，需要进一步证明或验证。

2．综合法与分析法是论证数学问题的重要方法，为了使解题过程书写规范，通常是通过分析法找思路，利用综合法写过程。

3．在利用数学归纳法证明时，第一步“归纳奠基”的起始值并非一定是“1”，可能因题而异，在第二步的证明中，一定要用到归纳假设，即以假设“n＝k时结论正确”为前提推出n＝k＋1时结论也正确。

五推理与证明复习检测题

一．选择题

1.某西方国家流传这样的一个政治笑话：

“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为（　　）

A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误

【答案】C

2.（文科）设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a+b＞1；②a+b=2；③a+b＞2；④a2+b2＞2．其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（　　）

A．①②B．②③C．③④D．③

【答案】D

【解析】若a=

，b=

，则a+b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出“a，b中至少有一个大于1”；

若a=1，b=1，则a+b=2，故②推不出“a，b中至少有一个大于1”；

若a=﹣2，b=﹣3，则a2+b2＞2，故④推不出“a，b中至少有一个大于1”；

对于③，若a+b＞2，则a，b中至少有一个大于1，

反证法：

假设a≤1且b≤1，

则a+b≤2与a+b＞2矛盾，

因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1．

综上所述：

能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是③，

故选D．

（理科）设a，b，c∈（0，+∞），则三个数

的值（　　）

A.都大于2B.都小于2

C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2

【答案】D

3.二维空间中，圆的一维测度（周长）

=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中，球的二维测度（表面积）S=4πr

，三维测度（体积）V=

．应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V=8

，则其四维测度W=（　　）

A.2πr2B.

C.

D.

【答案】A

【解析】∵二维空间中圆的一维测度（周长）

=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l

三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=

，观察发现V′=S

∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；

∴W=2πr4；故选：

A．

4.两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是（　　）

A48，49B.62，63C.75，76D.84，85

【答案】.D

【解析】由已知图形中座位的排列顺序，可得：

被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件．故选D。

5.由

…若a>b>0,m>0,则

与

之间大小关系为（）

A.相等B.前者大C.后者大D.不确定

【答案】B

【解析】观察题设规律，易得

故应选B.

6.设

，则“

”是