全国一卷理科数学高考真题和答案.docx
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全国一卷理科数学高考真题和答案
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2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合A={x|x<1}，B={x|3x1}，则
A．AB{x|x0}B．ABRC．AB{x|x1}D．AB
2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方
形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A．1
B．π
C．1
π
D．
4
8
2
4
3．设有下面四个命题
p1：
若复数z满足
1
R，则z
R；
p2
：
若复数z满足z2
R，则z
R；
z
p3：
若复数z1,z2满足z1z2
R，则z1
z2；
p4
：
若复数z
R，则zR.
其中的真命题为
A．p1,p3
B．p1,p4
C．p2,p3
D．p2,p4
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4
a524，S6
48，则{an}的公差为
A．1
B．2
C．4
D．8
5
f（x）
在
（,）
单调递减，且为奇函数．若
f
（1）
1
，则满足
1f（x2）
1
的x的取值范
．函数
围是
A．[
2,2]
B．[1,1]
C．[0,4]
D．[1,3]
6．（1
1）（1
x）6展开式中x2的系数为
x2
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A．15B．20C．30D．35
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长
为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A．10B．12C．14D．16
8．右面程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填
入
A．A>1000和n=n+1B．A>1000
和n=n+2
C．A1000和n=n+1
D．A1000和
n=n+2
9．已知曲线C1：
y=cosx，C2：
y=sin（2x+2π），则下面结论正确的是
3
A．把1上各点的横坐标伸长到原来的
2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
π个单位长度，
C
6
得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的
2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π个单位长度，
12
得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的
1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
π个单位长度，
2
6
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得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的
1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π个单位长度，
2
12
得到曲线C2
10．已知F为抛物线C：
y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线
l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，
直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16
B．14
C．12
D．10
11
．设xyz为正数，且2x
3y
5z，则
A．2x<3y<5z
B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x
D．3y<2x<5z
12
．几位大学生响应国家的创业号召，
开发了一款应用软件。
为激发大家学习数学的兴趣，
他们推出了“解
数学题获取软件激活码”的活动
.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知数列
1，1，2，1，2，
4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是
20，接下来的两项是
20，21，再接下来的三
项是20，21，22，依此类推。
求满足如下条件的最小整数
N：
N>100且该数列的前N项和为2的整数幂。
那么该款软件的激活码是
A．440
B．330
C．220
D．110
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=.
x
2y
1
14
．设x，y满足约束条件
2xy
1，则z3x2y的最小值为.
x
y
0
2
2
15
．已知双曲线C：
x2
y
2
1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆
A，圆A与双曲
a
b
线C的一条渐近线交于
M、N两点。
若∠MAN=60°，则C的离心率为________。
16
．如图，圆形纸片的圆心为
O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形
ABC的中心为O。
D、E、F为圆
O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。
沿虚线剪开后，分
别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。
当△ABC
的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：
cm3）的最大值为_______。
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三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
a2
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
3sinA
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
17.（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90.
（1
）证明：
平面PAB⊥平面PAD；
（2
）若PA=PD=AB=DC，APD
90，求二面角A-PB-C的余弦值.
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16个零件，并测量
其尺寸（单位：
cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分
布N（,2）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（3,3）之外的零件
数，求P（X1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3,3）之外的零件，就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
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（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
10.1
10.0
10.0
9.95
9.96
9.96
9.92
9.98
2
1
4
10.2
10.1
10.0
10.0
10.0
9.91
9.22
9.95
6
3
2
4
5
经计算得x
1
16
xi9.97，
s
1
16
（x
i
x）2
1（
16
x216x2）2
0.212，其中xi为抽取
16i1
16i1
16
i1
i
的第i个零件的尺寸，i
1,2,
16．
用样本平均数
x作为
的估计值
?
，用样本标准差s作为
的估计值
?
，利用估计值判断是否需对
当天的生产过程进行检查？
剔除
（?
3?
?
3
?
）之外的数据，用剩下的数据估计
和
（精确到
0.01）．
附：
若随机变量
Z服从正态分布
N（
2），则P（
3
Z
3
）0.9974，
0.997416
0.9592，
0.008
0.09．
20.（12分）
已知椭圆
C
：
x2
y2
=1（a>b>0），四点P
1（1,1），
P
2（0,1），
P
3
），
P
3
）中恰
a2
b2
3（–1，
4（1，
2
2
有三点在椭圆
C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。
若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：
l过定点.
21.（12分）
已知函数（fx）
ae2x+（a﹣2）ex﹣x.
（1
）讨论f（x）的单调性；
（2
）若f（x）有两个零点，求
a的取值范围.
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：
坐标系与参数方程]（10分）
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在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
x
3cos
为参数），直线
l
的参数方程为
的参数方程为
（
y
sin
θ
xa4t,
（t为参数）.
y1t,
（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为
17，求a.
23．[选修4—5：
不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=–x2+ax+4，g（x）=│x+1│+│x–1│.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.
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2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.A2．B3．B4．C5．D6．C
7．B8．D9．D10．A11．D12．A
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．23
14．-5
15．23
16．15cm3
3
三、解答题：
共
70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第
17~21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
a2
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
3sinA
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
解：
（1）
由题意可得SABC
1bcsinA
a2
，
2
3sinA
化简可得2a2
3bcsin2
A，
根据正弦定理化简可得：
2sin2
A3sinBsinCsin2A
sinBsinC
2
。
3
（2）
sinBsinC
2
3
1
2
由
cosA
cosA
BsinBsinC
cosBcosC
A
1
2
，
cosBcosC
3
6
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因此可得B
C，
3
将之代入sinBsinC
2
中可得：
sin
3
CsinC
3sinCcosC
1sin2C0，
3
2
2
化简可得tanC
3
C,B
，
3
6
6
利用正弦定理可得
b
a
3
1
sinB
3
3，
sinA
2
2
同理可得c3，
故而三角形的周长为323。
18.（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90.
（1）证明：
平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，APD90，求二面角A-PB-C的余弦值.
（1）证明：
AB//CD,CDPDABPD,
又ABPA,PAPDP,PA、PD都在平面PAD内，
故而可得ABPAD。
又AB在平面PAB内，故而平面PAB⊥平面PAD。
（2）解：
不妨设PAPDABCD2a，
以AD中点O为原点，OA为x轴，OP为z轴建立平面直角坐标系。
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故而可得各点坐标：
P0,0,
2a,A
2a,0,0
B
2a,2a,0
C
2a,2a,0
，
因此可得PA
2a,0,
2a
PB
2a,2a,
2a,PC
2a,2a,
2a
，
假设平面PAB的法向量n1
x,y,1，平面PBC的法向量n2
m,n,1，
n1
PA
2ax
2a
0
x
1
，即n1
1,0,1
故而可得
PB
2ax
2ay
2a
0
y
0
，
n1
n2
PC
2am
2an
2a
0
m
0
2,1
同理可得
2
，即
n2
0,
。
n2
PB
2am
2an
2a
0
n
2
2
因此法向量的夹角余弦值：
cos
n1,n2
1
3
3。
2
3
2
3
很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为。
3
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量
其尺寸（单位：
cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分
布N（,2）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（3,3）之外的零件
数，求P（X1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3,3）之外的零件，就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的
16个零件的尺寸：
10.1
10.0
10.0
9.95
9.96
9.96
9.92
9.98
2
1
4
10.2
10.1
10.0
10.0
10.0
9.91
9.22
9.95
6
3
2
4
5
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1
16
1
16
1
16
经计算得x
xi9.97，s
（x
x）2
（
x2
16x2）2
0.212，其中xi为抽取
i
16i1
16i1
16
i
i
1
的第i个零件的尺寸，
i
1,2,
16．
用样本平均数
x作为
的估计值
?
，用样本标准差s作为
的估计值
?
，利用估计值判断是否需对
当天的生产过程进行检查？
剔除
（?
3
?
?
3
?
）之外的数据，用剩下的数据估计
和（精确到0.01）．
附：
若随机变量
Z服从正态分布
N（,
2），则P（
3
Z
3
）0.9974，
0.997416
0.9592
，
0.008
0.09
．
解：
（1）PX
1
1
PX
0
1
0.997416
10.9592
0.0408
由题意可得，X满足二项分布
X~B16,0.0016
，
因此可得EX16,0.0016
16
0.0016
0.0256
（2）
○由
（1）可得PX
1
0.0408
5%，属于小概率事件，
1
故而如果出现（
3
3）的零件，需要进行检查。
○由题意可得
9.97,
0.212
39.334,310.606，
2
故而在9.334,10.606
范围外存在
9.22这一个数据，因此需要进行检查。
此时：
x
9.97
16
9.22
10.02，
15
1
15
15
xx0.09。
i1
20.（12分）
已知椭圆C：
x2
y2
（ab
>0
），四点P1（1,1），P2（0,
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