高考数学理总复习讲义正弦定理和余弦定理.docx
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高考数学理总复习讲义正弦定理和余弦定理
第七节
正弦定理和余弦定理
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝c2＋a2－2cacosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC
变形形式（边角转化）
a＝2RsinA，b＝2RsinB，
c＝2RsinC；
sinA＝，sinB＝，
sinC＝；
a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC
cosA＝；
cosB＝；
cosC＝
可解决的问题
（1）已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
（1）已知三边，求各角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；
（3）已知两边和其中一边的对角，求其他角和边
2.三角形中常用的面积公式
（1）S＝ah（h表示边a上的高）；
（2）S＝bcsinA＝acsinB＝absinC；
（3）S＝r（a＋b＋c）（r为三角形的内切圆半径）．
[熟记常用结论]
1．在△ABC中，内角A，B，C成等差数列⇔B＝，A＋C＝.
2．在斜△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.
3．在△ABC中，∠A＞∠B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.
4．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.
[小题查验基础]
一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.（ ）
（2）在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．（ ）
（3）在△ABC中，sinA＞sinB的充分不必要条件是A＞B.（ ）
（4）在△ABC中，a2＋b2＜c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．（ ）
（5）在△ABC的角A，B，C，边长a，b，c中，已知任意三个可求其他三个．（ ）
答案：
（1）√
（2）√ （3）× （4）√ （5）×
二、选填题
1．在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于（ ）
A．2 B．12
C．2D．28
解析：
选A 由b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝4＋16－8＝12，所以b＝2.
2．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB＝（ ）
A.B.
C.D．1
解析：
选B 根据＝，有＝，得sinB＝.故选B.
3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解B．有两解
C．无解D．有解但解的个数不确定
解析：
选C 由正弦定理得＝，
∴sinB＝＝＝＞1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．故选C.
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝________.
解析：
易知cosA＝＝＝，
又A∈（0，π），∴A＝.
答案：
5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
解析：
∵＝，∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.
答案：
2
6．已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，b＝，A＝30°，则c＝________.
解析：
∵a＝1，b＝，A＝30°，
∴由a2＝b2＋c2－2bccosA得1＝3＋c2－3c，
即c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.
答案：
1或2
考点一利用正、余弦定理解三角形[师生共研过关]
[典例精析]
（1）（2019·莆田联考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a＞b，则B＝（ ）
A. B.
C.D.
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B＋sin2C＝sin2A＋sinBsinC.
①求角A的大小；
②若cosB＝，a＝3，求c的值．
[解析]
（1）∵asinBcosC＋csinBcosA＝b，
∴由正弦定理得sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，
即sinB（sinAcosC＋sinCcosA）＝sinB.
∵sinB≠0，∴sin（A＋C）＝，即sinB＝.
∵a＞b，∴A＞B，即B为锐角，∴B＝，故选A.
（2）①由正弦定理可得b2＋c2＝a2＋bc，
由余弦定理得cosA＝＝，
因为A∈（0，π），所以A＝.
②由①可知sinA＝，
因为cosB＝，B为△ABC的内角，所以sinB＝，
故sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB
＝×＋×＝.
由正弦定理＝，
得c＝＝＝1＋.
[答案]
（1）A
[解题技法]
正、余弦定理的应用技巧
（1）解斜三角形时，主要应用正弦定理和余弦定理，这两个定理应用时要注意区分．如果已知条件中边较多，常用余弦定理求解；如果要用正弦定理，题目条件中必须出现已知角．
（2）解斜三角形中最典型的是边边角问题，一般是先用正弦定理求出一个角的正弦值，如sinA＝x.①若sinA＝1，则∠A＝90°；②若sinA＞1，矛盾无解；③若0＜sinA＜1，可能有两解，也可能只有一解．需要比较两个边的大小，用“大边对大角”来确定A是两解或者一解．
（3）在解答三角形的综合题时，如果已知条件的关系式中同时出现角和边，应当利用正弦定理进行消元，实现边角统一，化为仅含边的关系式或仅含角的关系式．即“边角会聚综合题，正弦定理来统一”．
[口诀记忆]
斜三角形把我问，两个定理有区分；
余弦定理多见边，正弦定理角必现；
边边角，解难辨，正弦值，先计算；
等于1，九十度，大于1，矛盾出；
小于1时怎么办？
利用大角对大边；
边角会聚综合题，正弦定理来统一．
[过关训练]
1．（2018·全国卷Ⅱ）在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（ ）
A．4B.
C.D．2
解析：
选A ∵cos＝，
∴cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－.
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝4.
2．（2019·河北“五个一名校联盟”模拟）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝，若sinC＋sin（B－A）＝2sin2A，则A＝________.
解析：
在△ABC中，由sinC＋sin（B－A）＝2sin2A可得sin（A＋B）＋sin（B－A）＝2sin2A，即sinAcosB＋cosAsinB＋cosAsinB－sinAcosB＝4sinAcosA，∴cosAsinB＝2sinAcosA，即cosA（sinB－2sinA）＝0，即cosA＝0或sinB＝2sinA，
①当cosA＝0时，A＝；
②当sinB＝2sinA时，根据正弦定理得b＝2a，
由余弦定理c2＝b2＋a2－2abcosC，结合c＝2，C＝，
得a2＋b2－ab＝4，
∴a＝，b＝，∴b2＝a2＋c2，
∴B＝，∴A＝.
综上可得，A＝或.
答案：
或
3．（2019·开封模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA＋bsinB＋bsinA＝csinC.
（1）求C；
（2）若a＝2，b＝2，线段BC的垂直平分线交AB于点D，求CD的长．
解：
（1）因为asinA＋bsinB＋bsinA＝csinC，
所以由正弦定理可得a2＋b2＋ab＝c2.
由余弦定理得cosC＝＝－，
又0＜C＜π，所以C＝.
（2）由
（1）知C＝，
根据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋
（2）2－2×2×2×＝20，所以c＝2.
由正弦定理＝，得＝，
解得sinB＝，从而cosB＝.
设BC的垂直平分线交BC于点E，
因为在Rt△BDE中，cosB＝，
所以BD＝＝＝，
因为点D在线段BC的垂直平分线上，
所以CD＝BD＝.
考点二与三角形面积有关的问题[师生共研过关]
[典例精析]
（2019·武汉调研）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcosC＝2a＋c.
（1）求B；
（2）若b＝2，a＋c＝，求△ABC的面积．
[解]
（1）由正弦定理，知2sinBcosC＝2sinA＋sinC，
由A＋B＋C＝π，得2sinBcosC＝2sin（B＋C）＋sinC＝2（sinBcosC＋cosBsinC）＋sinC，即2cosBsinC＋sinC＝0.
因为sinC≠0，所以cosB＝－.
因为0＜B＜π，所以B＝.
（2）由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，
可知b2＝（a＋c）2－2ac－2accosB，
因为b＝2，a＋c＝，
所以22＝（）2－2ac－2accos，得ac＝1.
所以S△ABC＝acsinB＝×1×＝.
[解题技法]
（1）对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
（2）与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
[过关训练]
1．（2018·全国卷Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选C ∵S＝absinC＝＝＝abcosC，∴sinC＝cosC，即tanC＝1.
∵C∈（0，π），∴C＝.
2．（2019·沈阳模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝5，B＝，△ABC的面积为，则cos2A＝________.
解析：
由三角形的面积公式，得S△ABC＝acsinB＝×a×5×sin＝××5a＝，解得a＝3.由b2＝a2＋c2－2accosB＝32＋52－2×3×5×＝49，得b＝7.又由＝⇒sinA＝sinB＝sin＝，∴cos2A＝1－2sin2A＝1－2×2＝.
答案：
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA＝（2c－a）cosB.
（1）求B；
（2）若b＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解：
（1）由bcosA＝（2c－a）cosB，
得2ccosB＝bcosA＋acosB.
由正弦定理可得2sinCcosB＝sinBcosA＋sinAcosB＝sin（A＋B）＝sinC，
因为sinC≠0，所以cosB＝.
因为0＜B＜π，所以B＝.
（2）因为S△ABC＝acsinB＝，所以ac＝4.
又13＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，
所以a2＋c2＝17，
所以a＋c＝5，
故△ABC的周长为5＋.
考点三平面图形中的计算问题[师生共研过关]
[典例精析]
（2019·佛山质检）如图所示，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1.
（1）若AC＝，求△ABC的面积；
（2）若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD.
[解]
（1）在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝（负值舍去），
所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝.
（2）设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得，＝，即＝，①
在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－＝θ－，
由正弦定理得＝，
即＝，②
①②两式相除，得＝，
即4＝sinθ，整理得sinθ＝2cosθ.
又sin2θ＋cos2θ＝1，故sinθ＝，即sin∠CAD＝.
[解题技法]
平面图形中计算问题的解题关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
[过关训练]
（2018·全国卷Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC＝2，求BC.
解：
（1）在△ABD中，由正弦定理得＝，
即＝，
所以sin∠ADB＝.
由题设知，∠ADB＜90°，
所以cos∠ADB＝＝.
（2）由题设及
（1）知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理，
得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC
＝25＋8－2×5×2×＝25，
所以BC＝5.
一、题点全面练
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则B的大小为（ ）
A．30° B．45°
C．60°D．90°
解析：
选B 由正弦定理知，＝，
∴sinB＝cosB，∴B＝45°.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，＝2sinAsinB，且b＝6，则c＝（ ）
A．2B．3
C．4D．6
解析：
选C 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc×＝b2＋c2－bc，又＝2sinAsinB，由正弦定理可得＝，即a2＋b2－4c2＝0，则b2＋c2－bc＋b2－4c2＝0.
又b＝6，∴c2＋2c－24＝0，解得c＝4（负值舍去），故选C.
3．（2019·安徽江南十校联考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＝ac，a2＋bc＝c2＋ac，则的值为（ ）
A.B.
C．2D.
解析：
选D 由b2＝ac，a2＋bc＝c2＋ac，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝，则sinA＝.
由b2＝ac，得sin2B＝sinAsinC，∴＝，
∴＝＝＝.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰非等边三角形
C．等边三角形D．钝角三角形
解析：
选C ∵＝，
∴＝，∴b＝c.
又（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝＝.
∵A∈（0，π），∴A＝，∴△ABC是等边三角形．
5．（2019·四平质检）在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝且2sinB＝3sinC，则△ABC的周长等于（ ）
A．5＋B．12
C．10＋D．5＋2
解析：
选A 在△ABC中，∠A＝60°.∵2sinB＝3sinC，∴由正弦定理可得2b＝3c，再由S△ABC＝＝bc·sinA，可得bc＝6，∴b＝3，c＝2.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝7，∴a＝，故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋，故选A.
6．（2019·太原模拟）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝90°，点D在AB上，点E在CD上，且∠ACB＝∠DBE＝∠DEB，则CD＝________.
解析：
设BD＝x，过点E作EF⊥AB于点F，设∠ACB＝∠DBE＝∠DEB＝θ，则∠EDF＝2θ，DE＝x，∵tanθ＝，∴tan2θ＝，∴在Rt△EFD中，EF＝xsin2θ，DF＝xcos2θ，∵＝，∴＝，∴tan2θ＝＝，解得x＝，∴AD＝，∴CD＝.
答案：
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cosC＝，c＝3，且＝，则△ABC的面积等于________．
解析：
∵＝，由正弦定理可知＝⇒tanA＝tanB，则A＝B，∴△ABC为等腰三角形，∴A＋B＋C＝2B＋C＝π，得2B＝π－C，则cos2B＝－cosC＝－＝1－2sin2B，解得sinB＝，cosB＝，tanB＝.
∵AB＝c＝3，∴C到AB的距离h＝×tanB＝×＝，∴△ABC的面积为×AB×h＝.
答案：
8．（2019·菏泽模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB－c－＝0，a2＝bc，b＞c，则＝________.
解析：
由acosB－c－＝0及正弦定理可得sinAcosB－sinC－＝0.因为sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB，所以－－cosAsinB＝0，因为sinB≠0，所以cosA＝－，即A＝.由余弦定理得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b＞c，所以＝2.
答案：
2
9．（2019·惠州调研）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosC（acosC＋ccosA）＋b＝0.
（1）求角C的大小；
（2）若b＝2，c＝2，求△ABC的面积．
解：
（1）∵2cosC（acosC＋ccosA）＋b＝0，
∴由正弦定理可得2cosC（sinAcosC＋sinCcosA）＋sinB＝0，
∴2cosCsin（A＋C）＋sinB＝0，即2cosCsinB＋sinB＝0，
又0°＜B＜180°，∴sinB≠0，∴cosC＝－，
又0°＜C＜180°，∴C＝120°.
（2）由余弦定理可得
（2）2＝a2＋22－2×2acos120°＝a2＋2a＋4，
又a＞0，∴解得a＝2，∴S△ABC＝absinC＝，
∴△ABC的面积为.
10．（2017·全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
解：
（1）由题设得acsinB＝，
即csinB＝.
由正弦定理得sinCsinB＝，
故sinBsinC＝.
（2）由题设及
（1）得cosBcosC－sinBsinC＝－，
即cos（B＋C）＝－.
所以B＋C＝，故A＝.
由题设得bcsinA＝，即bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即（b＋c）2－3bc＝9，
解得b＋c＝.
故△ABC的周长为3＋.
二、专项培优练
（一）易错专练——不丢怨枉分
1．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
解析：
选D 由已知＝＝＝，得＝或＝0，即＝或C＝90°.当C＝90°时，△ABC为直角三角形．当＝时，由正弦定理，得＝，∴＝，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B.∵B，C均为△ABC的内角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°，∴B＝C或B＋C＝90°，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝a，a＝2，c＝，则C＝（ ）
A.B.或
C.D.
解析：
选D ∵b＝a，∴由正弦定理可得sinB＝sinAcosC＋sinAsinC．又sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC，∴cosAsinC＝sinAsinC．由sinC≠0，可得sinA＝cosA，∴tanA＝.由A为三角形内角，可得A＝.∵a＝2，c＝，∴由正弦定理可得sinC＝＝，∴由c＜a，可得C＝，故选D.
（二）交汇专练——融会巧迁移
3．[与数列交汇]在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝（ ）
A.B.
C.D．2
解析：
选C ∵A，B，C依次成等差数列，∴B＝60°，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，得c＝2，
∴S△ABC＝acsinB＝，故选C.
4．[与三角函数交汇]已知函数f（x）＝cos2x＋sin（π－x）·cos（π＋x）－.
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；
（2）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）＝－1，a＝2，bsinC＝asinA，求△ABC的面积．
解：
（1）f（x）＝cos2x－sinxcosx－
＝－sin2x－
＝－sin，
∴2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈[0，π]，
∴函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为和.
（2）由
（1）知f（x）＝－sin，
∴f（A）＝－sin＝－1，
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