精品桥式整流电路的仿真.docx
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精品桥式整流电路的仿真
《电力电子电路的计算机仿真》
综合训练报告
班级09级电气七班
姓名张胜
学号
专业电气工程及其自动化
指导教师陈伟
前言
电力电子学,又称功率电子学（PowerElectronics）。
它主要研究各种电力电子器件，以及由这些电力电子器件所构成的各式各样的电路或装置，以完成对电能的变换和控制。
它既是电子学在强电（高电压、大电流）或电工领域的一个分支，又是电工学在弱电（低电压、小电流）或电子领域的一个分支，或者说是强弱电相结合的新科学。
电力电子学是横跨“电子”、“电力”和“控制”三个领域的一个新兴工程技术学科。
电力电子技术是综合了电子电路、电机拖动、计算机控制等多学科的知识，是一门实践性和应用性很强的课程。
由于电力电子器件自身的开关非线性，给电力电子电路的分析带来的了一定的复杂性和困难，因此一般常用波形分析的方法来研究。
本文就基于MATLAB软件，利用MATLAB软件中的Simulink库具有模拟、数字混合仿真功能、具备大量的模拟功能模型和系统分析的能力，进行桥式整流电路的计算机仿真分析。
设计一单相桥式整流电路，输入电压为220V，输出电压100V，负载电阻为10欧姆，电感为1H，开关器件选用晶闸管。
设计一三相桥式整流电路，输入电压为220V，输出电压100V，负载电阻为10欧姆，电感为1H，开关器件选用晶闸管。
完成上述桥式整流电路的设计，并进行计算机仿真，观察输出电压、电流波形、系统输入电压、电流波形、电压电流波形的谐波情况、不同仿真条件时系统输入输出的变化情况和理论分析的结果进行比较。
关键词：
桥式整流电路晶闸管MATLAB计算机仿真
第一章MATLAB仿真软件3
1.1MATLAB简介3
1.2Simulink简介4
第二章晶闸管简介6
2.1晶闸管的结构及工作原理6
2.2可关断晶闸管7
第三章整流电路方案的确定9
3.1单相整流方案的确立与工作原理9
3.2三相整流方案的确立与工作原理12
第四章桥式整流电路的计算机仿真模型15
4.1单相全控桥整流电路的仿真15
4.1.1单相桥整流电路参数设计15
4.1.2单相桥整流电路仿真波形16
4.2三相全控桥整流电路的仿真16
4.2.1三相桥整流电路参数设计17
4.1.2三相桥整流电路仿真波形18
第五章总结19
第六章心得体会20
附图21
参考资料23
第一章MATLAB仿真软件
1.1MATLAB简介
MATLAB是矩阵实验室（MatrixLaboratory）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。
它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。
MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。
MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C、FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且mathwork也吸收了像Maple等软件的优点,使MATLAB成为一个强大的数学软件。
在新的版本中也加入了对C、FORTRAN、C++、JAVA的支持。
可直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。
（1）友好的工作平台和编程环境
MATLAB由一系列工具组成。
这些工具方便用户使用MATLAB的函数和文件，其中许多工具采用的是图形用户界面。
包括MATLAB桌面和命令窗口、历史命令窗口、编辑器和调试器、路径搜索和用于用户浏览帮助、工作空间、文件的浏览器。
随着MATLAB的商业化以及软件本身的不断升级，MATLAB的用户界面也越来越精致，更加接近Windows的标准界面，人机交互性更强，操作更简单。
而且新版本的MATLAB提供了完整的联机查询、帮助系统，极大的方便了用户的使用。
简单的编程环境提供了比较完备的调试系统，程序不必经过编译就可以直接运行，而且能够及时地报告出现的错误及进行出错原因分析。
（2）简单易用的程序语言
MATLAB一个高级的矩阵/阵列语言，它包含控制语句、函数、数据结构、输入和输出和面向对象编程特点。
用户可以在命令窗口中将输入语句与执行命令同步，也可以先编写好一个较大的复杂的应用程序（M文件）后再一起运行。
新版本的MATLAB语言是基于最为流行的C＋＋语言基础上的，因此语法特征与C＋＋语言极为相似，而且更加简单，更加符合科技人员对数学表达式的书写格式。
使之更利于非计算机专业的科技人员使用。
而且这种语言可移植性好、可拓展性极强，这也是MATLAB能够深入到科学研究及工程计算各个领域的重要原因。
（3）强大的科学计算机数据处理能力
MATLAB是一个包含大量计算算法的集合。
其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能。
函数中所使用的算法都是科研和工程计算中的最新研究成果，而前经过了各种优化和容错处理。
在通常情况下，可以用它来代替底层编程语言，如C和C++
。
在计算要求相同的情况下，使用MATLAB的编程工作量会大大减少。
MATLAB的这些函数集包括从最简单最基本的函数到诸如矩阵，特征向量、快速傅立叶变换的复杂函数。
函数所能解决的问题其大致包括矩阵运算和线性方程组的求解、微分方程及偏微分方程的组的求解、符号运算、傅立叶变换和数据的统计分析、工程中的优化问题、稀疏矩阵运算、复数的各种运算、三角函数和其他初等数学运算、多维数组操作以及建模动态仿真等。
（4）出色的图形处理功能
MATLAB自产生之日起就具有方便的数据可视化功能，以将向量和矩阵用图形表现出来，并且可以对图形进行标注和打印。
高层次的作图包括二维和三维的可视化、图象处理、动画和表达式作图。
可用于科学计算和工程绘图。
新版本的MATLAB对整个图形处理功能作了很大的改进和完善，使它不仅在一般数据可视化软件都具有的功能（例如二维曲线和三维曲面的绘制和处理等）方面更加完善，而且对于一些其他软件所没有的功能（例如图形的光照处理、色度处理以及四维数据的表现等），MATLAB同样表现了出色的处理能力。
同时对一些特殊的可视化要求，例如图形对话等，MATLAB也有相应的功能函数，保证了用户不同层次的要求。
另外新版本的MATLAB还着重在图形用户界面（GUI）的制作上作了很大的改善，对这方面有特殊要求的用户也可以得到满足。
（5）应用广泛的模块集合工具箱
MATLAB对许多专门的领域都开发了功能强大的模块集和工具箱。
一般来说，它们都是由特定领域的专家开发的，用户可以直接使用工具箱学习、应用和评估不同的方法而不需要自己编写代码。
目前，MATLAB已经把工具箱延伸到了科学研究和工程应用的诸多领域，诸如数据采集、数据库接口、概率统计、样条拟合、优化算法、偏微分方程求解、神经网络、小波分析、信号处理、图像处理、系统辨识、控制系统设计、LMI控制、鲁棒控制、模型预测、模糊逻辑、金融分析、地图工具、非线性控制设计、实时快速原型及半物理仿真、嵌入式系统开发、定点仿真、DSP与通讯、电力系统仿真等，都在工具箱（Toolbox）家族中有了自己的一席之地。
（6）实用的程序接口和发布平台
新版本的MATLAB可以利用MATLAB编译器和C/C++数学库和图形库，将自己的MATLAB程序自动转换为独立于MATLAB运行的C和C++代码。
允许用户编写可以和MATLAB进行交互的C或C++语言程序。
另外，MATLAB网页服务程序还容许在Web应用中使用自己的MATLAB数学和图形程序。
MATLAB的一个重要特色就是具有一套程序扩展系统和一组称之为工具箱的特殊应用子程序。
工具箱是MATLAB函数的子程序库，每一个工具箱都是为某一类学科专业和应用而定制的，主要包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波分析和系统仿真等方面的应用。
（7）应用软件开发（包括用户界面）
在开发环境中，使用户更方便地控制多个文件和图形窗口；在编程方面支持了函数嵌套，有条件中断等；在图形化方面，有了更强大的图形标注和处理功能，包括对性对起连接注释等；在输入输出方面，可以直接向Excel和HDF5进行连接。
1.2Simulink简介
Simulink是MATLAB最重要的组件之一，它提供一个动态系统建模、仿真和
综合分析的集成环境。
在该环境中，无需大量书写程序，而只需要通过简单直观的鼠标操作，就可构造出复杂的系统。
Simulink具有适应面广、结构和流程清晰及仿真精细、贴近实际、效率高、灵活等优点，并基于以上优点Simulink已被广泛应用于控制理论和数字信号处理的复杂仿真和设计。
同时有大量的第三方软件和硬件可应用于或被要求应用于Simulink。
1.2.1Simulink的功能
Simulink是一种基于MATLAB的框图设计环境，是实现动态系统建模、仿真和分析的一个软件包，被广泛应用于线性系统、非线性系统、数字控制及数字信号处理的建模和仿真中。
Simulink可以用连续采样时间、离散采样时间或两种混合的采样时间进行建模，它也支持多速率系统，也就是系统中的不同部分具有不同的采样速率。
为了创建动态系统模型，Simulink提供了一个建立模型方块图的图形用户接口（GUI），这个创建过程只需单击和拖动鼠标操作就能完成，它提供了一种更快捷、直接明了的方式，而且用户可以立即看到系统的仿真结果。
对各种时变系统，包括通讯、控制、信号处理、视频处理和图像处理系统，Simulink提供了交互式图形化环境和可定制模块库来对其进行设计、仿真、执行和测试。
构架在Simulink基础之上的其他产品扩展了Simulink多领域建模功能，也提供了用于设计、执行、验证和确认任务的相应工具。
Simulink与MATLAB紧密集成，可以直接访问MATLAB大量的工具来进行算法研发、仿真的分析和可视化、批处理脚本的创建、建模环境的定制以及信号参数和测试数据的定义。
第二章晶闸管简介
2.1晶闸管的结构及工作原理
1）晶管又称为晶体闸流管，可控硅整流（SiliconControlledRectifier--SCR），开辟了电力电子技术迅速发展和广泛应用的崭新时代;20世纪80年代以来，开始被性能更好的全控型器件取代。
能承受的电压和电流容量最高，工作可靠，以被广泛应用于相控整流、逆变、交流调压、直流变换等领域，成为功率低频（200Hz以下）装置中的主要器件。
晶闸管往往专指晶闸管的一种基本类型--普通晶闸管。
广义上讲，晶闸管还包括其许多类型的派生器件
2）晶闸管的结构
晶闸管是大功率器件，工作时产生大量的热，因此必须安装散热器。
晶闸管有螺栓型和平板型两种封装
引出阳极A、阴极K和门极（或称栅极）G三个联接端。
对于螺栓型封装，通常螺栓是其阳极，能与散热器紧密联接且安装方便
平板型封装的晶闸管可由两个散热器将其夹在中间
内部结构:
四层三个结如图1.1
图2.1晶闸管的外形、内部结构、电气图形符号和模块外形
3）晶闸管外形b）内部结构c）电气图形符号d）模块外形
4）晶闸管的工作原理图
晶闸管由四层半导体（P1、N1、P2、N2）组成，形成三个结J1（P1N1）、J2（N1P2）、J3（P2N2），并分别从P1、P2、N2引入A、G、K三个电极，如图1.2（左）所示。
由于具有扩散工艺，具有三结四层结构的普通晶闸管可以等效成如图1.2（右）所示的两个晶闸管T1（P1-N1-P2）和（N1-P2-N2）组成的等效电路。
图2.2晶闸管的内部结构和等效电路
晶闸管的驱动过程更多的是称为触发，产生注入门极的触发电流ＩＧ的电路称为门极触发电路。
也正是由于能过门极只能控制其开通，不能控制其关断，晶闸管才被称为半控型器件。
其他几种可能导通的情况：
阳极电压升高至相当高的数值造成雪崩效应
阳极电压上升率du/dt过高
结温较高
光直接照射硅片，即光触发：
光控晶闸管
只有门极触发是最精确、迅速而可靠的控制手段。
2.2可关断晶闸管
可关断晶闸管简称GTO。
可关断晶闸管的结构
GTO的内部结构与普通晶闸管相同，都是PNPN四层结构，外部引出阳极Ａ、阴极Ｋ和门极Ｇ如图1.3。
和普通晶闸管不同，GTO是一种多元胞的功率集成器件，内部包含十个甚至数百个共阳极的小GTO元胞，这些GTO元胞的阴极和门极在器件内部并联在一起，使器件的功率可以到达相当大的数值。
图2.3GTO的结构、等效电路和图形符号
1）可关断晶闸管的工作原理
GTO的导通机理与SCR是完全一样的。
GTO一旦导通之后，门极信号是可以撤除的，在制作时采用特殊的工艺使管子导通后处于临界饱和，而不像普通晶闸管那样处于深饱和状态，这样可以用门极负脉冲电流破坏临界饱和状态使其关断。
GTO在关断机理上与SCR是不同的。
门极加负脉冲即从门极抽出电流（即抽出饱和导通时储存的大量载流子），强烈正反馈使器件退出饱和而关断。
2.3晶闸管的派生器件
在晶闸管的家族中，除了最常用的普通型晶闸管之外，根据不同的的实际需要，珩生出了一系列的派生器件，主要有快速晶闸管（FST）、双向晶闸管（TRIAL）、可关断晶闸管（GTO）、逆导晶闸管、（RCT）和光控晶闸管。
可关断晶闸管具有普通晶闸管的全部优点，如耐压高，电流大等。
同时它又是全控型器件，即在门极正脉冲电流触发下导通，在负脉冲电流触发下关断。
故我们选择可关断晶闸管。
第三章
第四章桥式整流电路的工作原理
3.1单相整流电路方案的选择及工作原理
1）单相整流电路方案的选择
我们知道，单相整流器的电路形式是各种各样的，整流的结构也是比较多的。
因此在做设计之前我们主要考虑了以下几种方案：
方案1：
单相桥式半控整流电路
电路简图如下：
图3.1
对每个导电回路进行控制，相对于全控桥而言少了一个控制器件，用二极管代替，有利于降低损耗！
如果不加续流二极管，当α突然增大至180°或出发脉冲丢失时，由于电感储能不经变压器二次绕组释放，只是消耗在负载电阻上，会发生一个晶闸管导通而两个二极管轮流导通的情况，这使ud成为正弦半波，即半周期ud为正弦，另外半周期为ud为零，其平均值保持稳定，相当于单相半波不可控整流电路时的波形，即为失控。
所以必须加续流二极管，以免发生失控现象。
方案2：
单相桥式全控整流电路
电路简图如下：
图3.2
此电路对每个导电回路进行控制，无须用续流二极管，也不会失控现象，负载形式多样，整流效果好，波形平稳，应用广泛。
变压器二次绕组中，正负两个半周电流方向相反且波形对称，平均值为零，即直流分量为零，不存在变压器直流磁化问题，变压器的利用率也高。
方案3：
单相半波可控整流电路：
电路简图如下：
图3.3
此电路只需要一个可控器件，电路比较简单，VT的a移相范围为180︒。
但输出脉动大，变压器二次侧电流中含直流分量，造成变压器铁芯直流磁化。
为使变压器铁心不饱和，需增大铁心截面积，增大了设备的容量。
实际上很少应用此种电路。
方案4：
单相全波可控整流电路：
电路简图如下：
图3.4
此电路变压器是带中心抽头的，结构比较复杂，只要用2个可控器件，单相全波只用2个晶闸管，比单相全控桥少2个，因此少了一个管压降，相应地，门极驱动电路也少2个，但是晶闸管承受的最大电压是单相全控桥的2倍。
不存在直流磁化的问题，适用于输出低压的场合作电流脉冲大（电阻性负载时），，且整流变压器二次绕组中存在直流分量,使铁心磁化，变压器不能充分利用。
而单相全控式整流电路具有输出电流脉动小，功率因数高，变压器二次电流为两个等大反向的半波，没有直流磁化问题，变压器利用率高的优点。
相同的负载下流过晶闸管的平单相全控式整流电路其输出平均电压是半波整流电路2倍，在均电流减小一半；且功率因数提高了一半。
根据以上的比较分析因此选择的方案为单相全控桥式整流电路（负载为阻感性负载）。
综上所述，针对它们的优缺点，我们采用方案二，即单相桥式全控整流电路。
2）单相桥式整流电路的工作原理
当负载由电阻和电感组成时称为阻感性负载。
例如各种电机的励磁绕组,整流输出端接有平波电抗器的负载等等。
单相桥式整流电路带阻感性负载的电路如图3.1所示。
由于电感储能,而且储能不能突变因此电感中的电流不能突变,即电感具有阻碍电流变化的作用。
当流过电感中的电流变化时,在电感两端将产生感应电动势,引起电压降UL
负载中电感量的大小不同，整流电路的工作情况及输出Ud、id的波形具有不同的特点。
当负载电感量L较小（即负载阻抗角φ），控制角α〉φ时，负载上的电流不连续；当电感L增大时，负载上的电流不连续的可能性就会减小；当电感L很大，且ωLd﹥﹥Rd示时，这种负载称为大电感负载。
此时大电感阻止负载中电流的变化，负载电流连续，可看作一条水平直线。
各电量的波形图如图3.5所示。
在电源电压u2正半周期间，晶闸管T1、T2承受正向电压，若在ωt=α时触发，T1、T2导通，电流经T1、负载、T2和Tr二次形成回路，但由于大电感的存在，u2过零变负时，电感上的感应电动势使T1、T2继续导通，直到T3、T4被触发时，T1、T2承受反向电压而截止。
输出电压的波形出现了负值部分。
在电源电压u2负半周期间，晶闸管T3、T4承受正向电压，在ωt=α+π时触发，T3、T4导通，T1、T2反向则制，负载电流从T1、T2中换流至T3、T4中。
在ωt=2π时，电压u2过零，T3、T4因电感中的感应电动势一直导通，直到下个周期T1、T2导通时，T3、T4因加反向电压才截止。
值得注意的是，只有当α〈=π/2时，负载电流才连续，当α〉π/2时，负载电流不连续，而且输出电压的平均值均接近于零，因此这种电路控制角的移相范围是0—π/2。
在生产实践中，除了电阻性负载外，最常见的负载还有电感性负载，如电动机的励磁绕组，整流电路中串入的滤波电抗器等。
为了便于分析和计算，在电路图中将电阻和电感分开表示。
流过每个晶闸管的电流平均值和有效值分别
当α=0°时，Ud=0.9U2；
当α=90°时，Ud=0，其移相范围为90°。
图3.5单相全控桥式整流电路电感性负载及其波形
（a）电路；（b）电源电压；（c）触发脉冲；（d）输出电压；
（e）输出电流；（f）晶闸管V-1,V-4上的电流；（g）晶闸管V-2,V-3上的电流；（h）变压器副边电流；（i）晶闸管V-1,V-4上的电压
当整流电路带电感性负载时，因为电感对电流的变化有阻碍作用，即电感元件中的电流不能突变，当电流变化时电感要产生感应电动势而阻碍其变化，所以，电路电流的变化总是滞后于电压的变化。
负载电流连续时，整流电压平均值可按下式计算：
输出电流波形因电感很大，平波效果很好而呈一条水平线。
两组晶闸管轮流导电，一个周期中各导电180°，且与α无关，变压器二次绕组中电流i2的波形是对称的正、负方波。
负载电流的平均值Id和有效值I相等，其波形系数为1。
3.2三相整流方案的确立与工作原理
1）三相整流电路方案的选择
三相桥式相控整流电路优于三相半波相控整流电路，再对三相桥式半控整流电路与三相桥式全控整流电路进行比较。
半控桥只有共阴极组是晶闸管，触发电路只需给共阴极组3个晶闸管送出相隔120°的单窄脉冲触发，而全控桥要向6个晶闸管送出相隔60°的双窄触发脉冲，因此半控桥电路较简单，投资省。
而在移相控制角a较大时，半控桥输出电压脉动较大，脉动频率也较低。
全控桥脉动小，脉动频率也高，因此半控桥要求的平波电抗器电感量较大。
同时半控桥触发脉冲间隔在120°，全控桥触发脉冲间隔仅60°，因此全控桥的动态响应快，系统调整及时。
因此三相全控桥广泛应用在大功率直流电动机调速系统，以及对整流各项指标要求较高的整流装置。
而三相半控桥只能用在一般要求的调流装置中。
三相相控整流电路当整流容量较大，要求直流电压脉动较小,对快速性有特殊要求的场合,应考虑采用三相可控整流电路。
采用三相全控桥式整流电路时，输出电压交变分量的最低频率是电网频率的6倍,交流分量与直流分量之比也较小，因此滤波器的电感量比同容量的单相或三相半波电路小得多。
另外，晶闸管的额定电压值也较低。
因此，这种电路适用于大功率变流装置。
半控桥只有共阴极组是晶闸管，触发电路只需给共阴极组3个晶闸管送出相隔120°的单窄脉冲触发。
在移相控制角a较大时，半控桥输出电压脉动较大，脉动频率也较低，同时半控桥触发脉冲间隔在120°。
三相桥式全控整流电路电路特点：
全控桥在工作时要向6个晶闸管送出相隔60°的双窄触发脉冲。
在移相控制角a较大时，全控桥输出电压脉动小。
全控桥触发脉冲间隔仅60°。
所以电路设计采用三相桥式全控整流方案。
2）三相桥式全控整流电路的工作原理
一般变压器一次侧接成三角型，二次侧接成星型，晶闸管分共阴极和共阳极。
一般1、3、5为共阴极，2、4、6为共阳极。
（1）2管同时导通形成供电回路，其中共阴极组和共阳极组各1个晶闸管，不能为同1相器件。
（2）对触发脉冲的要求：
1）按VT1-VT2-VT3-VT4-VT5-VT6的顺序，相位依次差60°。
2）共阴极组VT1、VT3、VT5的脉冲依次差120°。
3）共阳极组VT4、VT6、VT2也依次差120°。
4）同一相的上下两个桥臂，即VT1与VT4，VT3与VT6，VT5与VT2，脉冲相差180°。
（3）需保证同时导通的2个晶闸管均有脉冲，可采用两种方法：
一种是宽脉冲触发一种是双脉冲触发（常用）。
（4）晶闸管承受的电压波形与三相半波时相同，晶闸管承受最大正、反向电压的关系也相同。
在实际运用中，习惯将其中阴极连接在一起的3个晶闸管称为共阴极组；阳极连接在一起的3个晶闸管称为共阳极组。
共阴极组中与三相电源相接的3个晶闸管分别为VT1、VT3、VT5，共阳极组中与三相电源相接的3个晶闸管分别为VT4、VT6、VT2。
从而使晶闸管的导通顺序为VT1－VT2－VT3－VT4－VT5－VT6。
变压器为
型接法。
变压器二次侧接成星形得到零线，而一次侧接成三角形避免3次谐波流入电网。
本次设计为三相桥式相控带阻感负载，根据要求要考虑电动机的电枢电感与电枢电阻，故为阻感负载。
带阻感性负载时的电路原理图如图4所示。
图4三相桥式全控整流电路带电动机负载原理图
晶闸管触发角α=0o时的情况：
此时，对于共阴极组的3个晶闸管，阳极所接交流电压值最高的一个导通。
而对于共阳极组的3个晶闸管，则是阴极所接交流电压值最低（或者说负得最多）的一个导通。
这样，任意时刻共阳极组和共阴极组中各有1个晶闸管处于导通状态，施加于负载上的电压为某一线电压。
当触发角α=0o时，各晶闸管均在自然换相点处换相。
由变压器二绕组中相电压与线电压的对应关系可知，各自然换相点既是相电压的交点，同时也是线电压的交点。
从而总的整流输出电压为两个晶闸管端电压之间的差值。
若将一个周期等分为6段，每段为60°，每一段中导通的晶闸管及输出整流电压的情况如下表1所示。
表1晶闸管的导通及整流输出情况
时段
1
2
3
4
5
6
共阴极组中
导通的晶闸管
VT1
VT1
VT3
VT3
VT5
VT5
共阳极组中
导通的晶闸管
VT6
VT2
VT2
VT4
VT4
VT6
整流输出电压U
Ua-Ub=Uab
Ua-Uc=Uac
Ub-Uc=Ubc
Ub-Ua=Uba
Uc-Ua=Uca
Uc
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