(2)∵f(x)-x=ax2+(b-1)x+c,且f(x)-x=0的两个根为x1、x2,
∴二次函数f(x)-x的对称轴为x==.∴=.
又由已知,得x0=,∴=x0+.
又∵x2<,∴>0.故=x0+>x0,即x0<.
变式训练
1.已知二次函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x),且其两零点分别为x1、x2,求x1+x2.
解:
∵对任意x都有f(3-x)=f(3+x),∴函数f(x)的图象上有两点(3-x,y)、(3+x,y)关于x=3对称.
∴二次函数f(x)的对称轴为x=3.
∵x1、x2为二次函数f(x)的两个零点,
∴x1+x2=6.
2.若函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x),且函数f(x)有6个零点,求所有零点的和.
解:
同理函数f(x)的对称轴为x=3,∴3(x1+x2)=18.
点评:
①二次函数的双根与二次函数解析式的关系是:
若二次项系数为a,两个根为x1、x2,则二次函数解析式为f(x)=a(x-x1)(x-x2).
②二次函数的双根与二次函数对称轴的关系是:
二次函数f(x)的对称轴为x=.
总之:
二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带,应仔细体会、准确把握.
知能训练
讨论函数y=ex+4x-4的零点的个数.
活动:
鼓励学生说出自己的见解,并说明理由.函数零点问题是函数的重要应用,离不开函数的图象和性质.
(1)利用f(a)f(b)<0及函数的单调性.
(2)作出y=ex和y=4-4x的图象,把函数y=ex+4x-4的零点的个数转化为方程ex=4-4x根的个数,再转化为上述两函数图象交点的个数.
解:
(方法一)利用计算机作出x,f(x)的对应值表:
x
0
1
f(x)
-3
2.71828
由表和图可知,f(0)<0,f
(1)>0,则f(0)f
(1)<0,这说明f(x)在区间(0,1)内有零点,由于函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数,所以它仅有一个零点.
(方法二)作出y=ex和y=4-4x的图象(图3-1-1-10),即可直观地看出零点的个数为1.
图3-1-1-10
总结点评:
讨论函数零点个数问题是函数的重要应用,由于函数与方程的特殊关系,所以这个问题常用的方法是:
(1)解方程;
(2)画图象;(3)利用f(a)f(b)<0及函数的单调性;同时这些方法是有机联系的.
拓展提升
1.xx山东青岛高三教学质量检测,理19已知m∈R,设P:
x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个根,不等式|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立;Q:
函数f(x)=3x2+2mx+m+有两个不同的零点,求使P和Q同时成立的实数m的取值范围.
解:
由题意知x1+x2=a,x1x2=-2,∴|x1-x2|==.
当a∈[1,2]时,的最小值为3.
要使|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立,只需|m-5|≤3,即2≤m≤8.
由已知得Q中:
f(x)=3x2+2mx+m+的判别式Δ=4m2-12(m+)=4m2-12m-16>0,得m<-1或m>4.
综上,要使P和Q同时成立,只需解得实数m的取值范围是(4,8].
2.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)f(b)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点?
可能有几个零点?
活动:
学生先思考或讨论,再回答.利用函数图象进行探索分析:
①有没有零点?
②零点的个数是奇数还是偶数?
解析:
零点个数可以是任意自然数.下面讨论在区间[-3,3]上函数零点个数,
(1)可能没有零点如图(图3-1-1-11).
图3-1-1-11图3-1-1-12
(2)可能有一个零点如图(图3-1-1-12).
(3)可能有两个零点如图(图3-1-1-13).
图3-1-1-13图3-1-1-14
(4)可能有三个零点如图(图3-1-1-14).
(5)可能有n(n∈N*)个零点,图略.
点评:
在区间[-3,3]上函数零点个数可以是任意自然数.借助计算机可以验证同学们的判断,激发学生学习兴趣.
课堂小结
本节学习了:
①零点的概念;②零点的判断方法;③利用函数的单调性证明零点的个数;④零点的应用.
学习方法:
由特殊到一般的方法.
数学思想:
转化思想、数形结合思想.
作业
课本P88练习1.
设计感想
本节以事例导入,该事例是学生很感兴趣的话题,发人深思而紧贴本节主题,为后面讲解埋好了伏笔.因为二次函数、二次方程永远是高考的重点,所以本节结合二次函数的图象性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题.本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结,还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高.另外,本节目的明确、层次分明、难度适中,对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展,希望大家喜欢.