高二数学立体几何教案.docx
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高二数学立体几何教案
高二数学立体几何教案
高二数学立体几何教案
【篇一：
高中立体几何新课教案】
第1章立体几何初步
1.1.1空间几何体得结构
重难点：
让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征；柱、锥、台、球的结构特征的概括．
考纲要求：
认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
棱柱的结构特点：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边的都互相平行，由这些面说围成的几何体叫做棱柱。
棱锥的结构特点：
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
圆柱：
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱体。
圆锥，棱台，圆台
经典例题：
如图,长方体abcd-a1b1c1d1的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，一只蚂蚁从a到c1点，沿着表面爬行的最短距离是多少．
当堂练习：
1．由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是（）
a．六棱锥b．六棱台c．六棱柱d．非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体2下列说法中，正确的是（）
a．棱柱的侧面可以是三角形b．由六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图
c．正方体的各条棱都相等d．棱柱的各条棱都相等
3．一个骰子由1~6六个数字组成,请你根据图中三种状态所显示的数字,推出“？
”处的数字是（）
a．6b．3c．1d．2
4．有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是（）
a．棱柱b．棱锥c．棱台d．可能是棱台,也可能不是棱台,但一定不是棱柱或棱锥
5．构成多面体的面最少是（）
a．三个b．四个c．五个d．六个
6．用一个平面去截棱锥,得到两个几何体,下列说法正确的是（）
a．一个几何体是棱锥,另一个几何体是棱台
b．一个几何体是棱锥,另一个几何体不一定是棱台
c．一个几何体不一定是棱锥,另一个几何体是棱台
d．一个几何体不一定是棱锥,另一个几何体不一定是棱台
7．甲：
“用一个平面去截一个长方体,截面一定是长方形”；乙：
“有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥”.这两种说法（）
a．甲正确乙不正确b．甲不正确乙正确c．甲正确乙正确d．不正确乙不正确
8．圆锥的侧面展开图是（）
a．三角形b．长方形c．d．形
9．将直角三角形绕它的一边旋转一周,形成的几何体一定是（）
a．圆锥b．圆柱c．圆台d．上均不正确
10．下列说法中正确的是（）
a．半圆可以分割成若干个扇形b．面是八边形的棱柱共有8个面
c．直角梯形绕它的一条腰旋转一周形成的几何体是圆台d．截面是圆的几何体，不是圆柱，就是圆锥
11．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（）
a．圆锥b．圆柱c．球体d．以上都可能
12．a、b为球面上相异两点,则通过a、b可作球的大圆有（）
a．一个b．无穷多个c．零个d．一个或无穷多个
13．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，下面的几个截面图中，必定错误的是（）
a．b．c．d．
14．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到两个几何体,一个是________，另一个是．
15.如右图,四面体p-abc中,pa=pb=pc=2,∠apb=∠bpc=∠apc=300.一只蚂蚁
从a点出发沿四面体的表面绕一周,再回到a点,问蚂蚁经过的最短路程是_________．
16．如右图将直角梯形abcd绕ab边所在的直线旋转一周，由此形成的
几何体是由简单几何体是___________________．
17．边长为5cm的正方形efgh是圆柱的轴截面,则从e点沿圆柱的
侧面到相对顶点g的最短距离是_______________．
18．只有3个面的几何体能构成多面体吗？
4面体的棱台吗？
棱台至少几个面．
19．棱柱的特点是：
（1）两个底面是全等的多边形，
（2）多边形的对应边互相平行，（3）棱柱的侧面都是平行四边形．
反过来，若一个几何体，具备上面三条，能构成棱柱吗？
或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？
20．如下图几何体是由哪些简单几何体构成的？
21．
（1）圆柱、圆锥、圆台可以看成以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形旋转一周而形成的曲面围成的几何体，三个图形之间的什么联系？
（2）一个含有300的直角三角板绕其一条边旋转一周所得几何体是圆锥吗？
如果以底边上的高所在直线为轴旋转1800得到什么几何体？
旋转3600又如何？
1.1.2空间几何体的三视图和直观图
重难点：
理解中心投影、平行投影的概念，掌握三视图的画法规则及能画空间几何体的三视图并能根据三视图判断空间几何体的形状和结构，了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积公式的推理过程．
三视图包含正视图，测试图和俯视图。
考纲要求：
①能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；
②会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；
③会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；
④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）．
经典例题：
右图是一个多面体的展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答问题：
（1）这个几何体是什么体？
（2）如果面a在几何体的底部，那么哪一个面会在上面？
（3）如果面f在前面，从左面看是面b，那么哪一个面会在上面？
（4）从右边看是面c，面d在后面，那么哪一个面会在上面？
当堂练习：
1．下列投影是中心投影的是（）
a．三视图b．人的视觉c．斜二测画法d．人在中午太阳光下的投影
2．下列投影是平行投影的是（）
a．俯视图b．路灯底下一个变长的身影
c．将书法家的真迹用电灯光投影到墙壁上d．以一只白炽灯为光源的皮影
3．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体可能是（）
a．圆柱b.三棱柱c.圆锥d.球体
4．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图相同的几何体是（）
a．球和圆柱b．圆柱和圆锥c．正方体的圆柱d．球和正方体
5．一个含的圆柱、圆锥、圆台和球的简单组合体的三视图中，一定含有（）
a．四边形b．三角形c．圆d．椭圆
6．如果用
表示一个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那么右图中有7个立方体叠成的几何体，从主视图是（）
a．b．c．d．
7．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段（）
a．平行且相等b．平行但不相等c．相等但不平行d．既不平行也不相等
8．下列说法中正确的是（）
a．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线b．梯形的直观图可能是平行四边形c．矩形的直观图可能是梯形d．正方形的直观图可能是平行四边形
9．如右图中“斜二测”直观图所示的平面图形是（）
a．直角梯形b．等腰梯形c．不可能是梯形d．平行四边形
10．如右图所示的直观图，其平面图形的面积为（）
2
a．3b．2c．6d．.32
11．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，若其直观图的面积是原三角形面积的（）
12
a．2倍b．2倍c．2倍d．2倍
12．如右图，直观图所表示的平面图形是（）
a．正三角形b．锐角三角形c．钝角三角形d．直角三角形
13．如右图，用斜二测画法作?
abc水平放置的直观图形得?
a1b1c1，其中a1b1=b1c1，a1d1是b1c1边上的中线，由图形可知在?
abc中，下列四个结论中正确的是（）
a．ab=bc=acb．ad⊥bcc．acadabbc
d．acadab=bc
14．主视图与左视图的高要保持______，主视图与俯视图的长应_________，
俯视图与左视图的宽度应_________．
15．如果一个几何体的视图之一是三角形,那么这个几何体可能有
___________________（写出两个几何体即可）．
16．一个水平放置的正方形的面积是4,按斜二测画法所得的直观图是一个四边形,这个四边形的面积是________________．
17．斜二测画法所得的直观图的多边形面积为a,那么原图多边形面积是_____________．
18．如图是由小立方块描成几何体同的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出它的主视图和左视图．
19．画出如图的三视图（单位:
mm）．
20．已知斜二测画法得得的直观图?
a/b/c/是正三角形,画出原三角形的图形．
21．如下图,如果把直角坐标系放在水平平面内,用斜二测画法,如何可以找到坐标为（
的点p在直观图中的位置
p/?
a,b）
【篇二：
高二数学《空间向量与立体几何》教案】
空间向量解立体几何
一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示
空间直角坐标系中的坐标：
如图给定空间直角坐标系和向量a，设i,j,k（单位正交基底）为
坐标向量，则存在唯一的有序实数组（a1,a2,a3），使a=ai1+aj2ak+3
有序实数组（a1,a2,a3）叫作向量a在空间直角坐标系o-xyz标，记作a=（a1,a2,a3）．在空间直角坐标系o-xyz
点a，存在唯一的有序实数组（x,y,z），使oa=xi+yj+zk实数组（x,y,z）叫作向量a在空间直角坐标系o-xyz中的坐标，a（x,y,z），x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．
①a?
e=|a|cosa,e．②a⊥b?
a?
b=0．③|a|2=a?
a．
6、运算律
四、直线的方向向量及平面的法向量
③给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面。
3、在空间求平面的法向量的方法：
（1）直接法：
找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。
（2）待定系数法：
建立空间直接坐标系
二、空间向量的直角坐标运算律
（1）若a=（a1,a2,a3），b=（b1,b2,b3），
则a+b=（a1+b1,a2+b2,a3+b3），
（2）若a（x1,y1,z1），b（x2,y2,z2），则ab=（x2-x1,y2-y1,z2-z1）．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
①设平面的法向量为n=（x,y,z）
②在平面内找两个不共线的向量a=（x1,y1,z1）和b=（x2,y2,z2）
?
?
n?
a=0
③建立方程组：
?
?
?
n?
b=0
④解方程组，取其中的一组解即可。
?
3?
3
五、证明
1、证明两直线平行
三、空间向量直角坐标的数量积
1、设,是空间两个非零向量，我们把数量|
|||cos,叫作向量
的数量积，记作?
，即a?
b＝|a||b|cosa,b规定：
零向量与任一向量的数量积为0。
2、模长公式
2、证明直线和平面平行
已知直线a,b。
a,b∈a,c,d∈b，则a⊥b?
ab?
cd=05、证明直线和平面垂直
|a|
==
3、两点间的距离公式：
若a（x1,y1,z1），b（x2,y2,z2），
则|ab|或da,b=
a?
b
．注：
①a⊥b?
a?
b=0（a,b是两个非零向量）4、夹角：
cosa?
b=；|a|?
|b|
22
②|a|=a?
a=a。
5、空间向量数量积的性质：
六、计算角与距离
第1页共6页
1、求两异面直线所成的角
∵⊥平面abd，∴为平面abd的一个法向量。
由cos,ba1=
1∠abc=例1.（2008安徽文）如图，在四棱锥o-abcd中，底面abcd四边长为1的菱形，
4
=
4
6
?
23
=
23
oa⊥底面abcd,oa=2,m为oa的中点。
求异面直线ab与md所成角的大小；
解：
作ap⊥
cd于点p,如图,分别以ab,ap,ao
所在直线为x,y,z轴建立坐标系
d（-o（0,0,2）,m（0,
0,1）,222
（1,0,0）,p（0,
∵ab=（1,0,0）,md=（--1）
22
3ab?
md2
2
，3
∴a1b与平面abd所成的角为-，即。
233
2
2
∴ab与md所成角的大小为
3
2、求直线和平面所成的角
?
0,?
时
2
?
2?
2?
2?
成的角为：
-arccos=arcsin
2ab?
n
3、求二面角
②一般地，设n是平面m的法向量，ab是平面m的一条斜线，a为斜足，则ab与平面m所
ab?
n。
ab?
n
已知a,b
例2.如图3，在直三棱柱abc-a1b1c1中，底面是等腰直角三角形，∠acb=90，侧棱aa1=2，d，e分别是cc1与a1b的中点，点e在平面abd上的射影是?
abd的重心g。
求a1b与平面abd所成角的大小。
解：
以c为坐标原点，ca所在直线为x轴，cb所在直线为
y轴，cc1所在直线为z轴，建立直角坐标系，
设ca=cb=a，则
，b（，a，
a（a,0,0）0,a,0）（a,0,2）d（0,0,1）1∴e,
注:
如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系。
（1）通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之。
（2）通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。
（1）cd⊥平面bdm；a
（2）求面b1bd与面cbd所成二面角的大小。
分析：
要证cd⊥平面bdm，只需证明直线cd与平面bdm
内的两条相交直线垂直即可；要求二面角，需找出二面角
c
的平面角或转化为两直线的夹角。
考虑几何法或向量法求解。
解：
以c为原点建立坐标系。
则
aa2aaaa1
1）,,，g,,，
=，22333663
，=（0,-a,1）
∵点e在平面abd上的射影是?
abd的重心g，∴⊥平面abd，∴?
=0，解得a=2。
b
b1
112=,,∴，，（2,-2,2）1=333
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cd=?
11?
?
a1（0,1,1）,d,,m?
?
22?
?
?
?
?
?
?
11?
11?
?
a1b=-1,-1,dm=0,,-?
22?
?
22?
?
））
b
）
则cd?
a1b=0,cd?
dm=0,∴cd⊥a1b,cd⊥dm，
b、dm为平面bdm
内两条相交直线，∴cd⊥平面bdm。
（2
）设bd的中点为g，连结b1g，则
ab?
m的距离d=m
?
?
11?
11?
31?
g4,4?
?
bd=2,2?
?
b1g=-4,2?
?
，?
?
?
?
?
?
bg与bg11.又cd⊥bd，∴cd1
4、求两条异面直线的距离
例5.如图5，已知abc-a1b1c1是各条棱长均等于a的正三棱柱，d是侧棱cc1的中点．点c1到平
面ab1d的距离（）
a．
2a4
b．
232ac．a84
d．
2
a2
m已知两条异面直线a,b,是与两直线都垂直的向量,a∈a,b∈b，
ab?
m则两条异面直线的距离d=m
答案选a；解析：
abb1a1为正方形，∴a1b⊥ab1，又平面ab1d⊥平面abb1a1，
∴a1b⊥面ab1d，∴a1b是平面ab
1d的一个法向量，
c1a设点c到平面ab1d的距离为d，则
ac?
a1bd=a
1b
d
a
b图5
例4．正四棱锥s-abcd的高so=2，底边长abbd和sc之间的距离（）
a．
5
b．
55
c
．
25
d．
10
．c
答案选c；解析：
建立如图
4所示的直角坐标系，则
，
b，
c（
，d（
，s（0,0,2）．
∴db=，cs=．
?
n?
db
=0?
令向量n=（x,y,1），且n⊥
db,
n⊥cs，则?
，
n?
cs=0?
?
?
（x,y,1）?
=0
?
?
?
x+y=0
∴?
，，?
x-y
+=02）=0?
?
（x,y,1）?
?
?
?
?
x=∴n=（．∴?
y=?
?
a
oc?
n
∴异面直线bd和sc之间的距离为：
d=
=
n
七、训练题
的中点。
求证：
ab1⊥a1m
证明：
说明上图中，上底面字母为a，b1，c1。
建立以c
为坐标1原点的空间直角坐标系以ca为y轴，cb为x轴，cc1为z
轴，
?
?
1、如图，已知直三棱柱abc-am是cc1
1b1c1中，∠acb=90,∠bac=30,bc=1，aa1=a
b
（
0，0a则m，
a（0）（
b
10110
2
则ab1=，a0，-1m=（1
则ab1?
am=0，命题得证。
1
2、在正方体abcd-a1b1c1d1中,e1，f1分别在a1b1,,c1d1上，且e1b1=
b
11
a1b1，d1f1=d1c1，44
求be1与df1所成的角的大小。
解：
设正方体棱长为4，以,,dd1为正交基底，建立如图所示空间坐标系d-xyz
be1=（0,-1,4）,df1=（0,1,4），be1?
df1＝15
=
cos
be1,df1=
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11=
1517
5、求点到面的距离
1
3、在正方体abcd-a1b1c1d1中,f分别是bc的中点，点e在d1c1上,且d1e1=d1c1,试求直线
4
e1f与平面d1ac所成角的大小
解：
设正方体棱长为1，以,,dd1为单位正交基底，建立如图所示坐标系d-xyz
点e在cc1上且c1e=3ec．
（Ⅰ）证明：
ac（Ⅱ）求二面角a1-de-b的大小．⊥平面bed；1解：
以d为坐标原点，射线da为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系d-xyz．
依题设，b（2，2，，0）c（0，2，，0）e（0，21），，a1（2，0，4）．
db1为d1ac平面的法向量，db1=（1,1,1）13
e1f=（,,-1）cosdb1,e1f=8724
874、在正方体abcd-a1b1c1d1中,求二面角a1-bd-c1的大小。
所以直线e1f与平面d1ac所成角的正弦值为解：
设正方体棱长为1，以da,dc,dd1为单位正交基底，
建立如图所示坐标系d-xyz
（法一）ea1=（,-,1）,ec1=（-,,1）
de=（0，21），，db=（2，2，0），ac=（-2，2，-4），da1=（2，0，4）．
1
（Ⅰ）因为acdb=0，acde=0，11
故ac⊥bd，ac⊥de．又dbde=d，所以ac⊥平面dbe．
111
（Ⅱ）设向量n=（x，y，z）是平面da1e的法向量，则n⊥de，
n⊥da1．故2y+z=0，2x+4z=0．令y=1，则z=-2，x=4，
acn=（4，1，-2）．n，等于二面角的平面角，．a-de-b==11
42．42
12121122
13
（法二）求出平面a1bd与平面c1bd的法向量cosea1,ec1=
所以二面角a1-de-b的大小为arccos
∠abc=7、如图，在四棱锥o-abcd中，底面abcd四边长为1的菱形，
1
n1=（1,-1,1）,n2=（-1,1,1）cosn1,n2==
123
5、已知e,f分别是正方体abcd-a1b1c1d1的棱bc和cd的中点，求：
（1）a1d与ef所成角的大小；
（2）a1f与平面b1eb所成角的大小；（3）二面角c-d1b1-b的大小。
oa⊥底面abcd,oa=2,m为oa的中点，n为bc的中点
（Ⅰ）求异面直线ab与md所成角的大小；（Ⅱ）求点b到平面ocd的距离。
解：
作ap⊥cd于点p,如图,分别以ab,ap,ao所在直线为x,y,z轴建立坐标系
a（0,0,0）,b（1,0,0）,p解：
设正方体棱长为1，以,,dd1为单位正交基底，建立如图所示坐标系d-xyz
（1）a1=（-1,0,-1）=（-,-,0）
d（,1
212
1
cosa1d,ef==a1d与ef所成角是600
12
（2）a1f=（-1,,-1）,ab=（0,1,0）cosa1f,ab=
12
1=
13=63
da1（3）ac1=（-1,1,1）,ac=（-1,1,0），cosac1,ac=二面角c-d1b1-b的正弦值为
33ab?
md2
（Ⅱ）设点b到平面ocd的距离为d,则d为ob在向量n=上的投影的绝对值,
ob?
n22
=.所以点b到平面ocd的距离为由ob=（1,0,-2）,得d=
3n3o（0,0,2）,m（0,0,1）,n（1
63
e
第4页共6页
c
6、如图，正四棱柱abcd-a1bc11d1中，aa1=2ab=4，
直线、平面、简单多面体
1、空间基本元素：
直线与平面之间位置关系的小结。
如下图：
直线和平面所成的角：
通过作直线射影的作图法得到。
二面角：
化归为平面角的度量，化归途径有：
定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。
注：
异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角、向量的夹角的范围依次是（0,
2
]，
2
（2）距离：
异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。
异面直线的距离：
除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离
和面面距离。
线面距离，面面距离常化归为点面距离。
2、两个重要计算公式
2
注：
一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等?
斜线在平面上射影为角的平分线．
（2）异面直线上两点间距离公式
4、棱柱、棱锥是常见的多面体。
在正棱柱中特别要运用侧面与底面垂直的性质解题，在正棱锥中，要熟记由高po，斜高pm，侧棱pa，底面外接圆半径oa，底面内切圆半径om，底面正多边形半边长om，构成的三棱锥，该三棱锥四个面均为直角三角形。
5、直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质．
如长方体中：
对角线长l，棱长总和为4（a+b+c），全（表）面积为
2222
2（ab+bc+ca），（结合（a+b+c）=a+b+c+2ab+2bc+2ca可得关于他们的等量
2
2
2
2
2、空间元素位置关系的度量
（1）角：
异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角，都化归为平面几何中两条相交直线
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