平面三公理教学设计.docx

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平面三公理教学设计

课堂教学设计表

章节名称

必修2．1．1平面（第一课时）

学时

1

依据标准

课程标准：

理解平面的三个公理．

教育技术标准：

SETC·S

本节（课）

教学目标

知识目标：

知道平面的概念；能用文字语言、符号语言和图形语言表述空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系，了解三个公理及其作用；

能力目标：

通过实例和多媒体直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力；通过对生活中平面及其性质的举例、分析、总结归纳过程，培养学生的逻辑推理能力以及体会类比的思想方法；

情感目标：

通过学生的观察、实验、操作和思维辩证，培养学生勇于批判、敢于创新的科学精神以及“数学来源于生活”的唯物主义精神．

本节（课）

教学内容

的分析

“平面”是人教版高中数学必修2第2章的起始课．在第1章学生已经从整体角度认识了柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征，接下来则需从局部的角

度认识空间几何元素点、线、面的位置关系，从而进一步认识空间图形，提高空间想象能力．通过本节课的学习，首先学生认识了新的几何元素“平面”及其性质，其次，学生首次经历将自然语言转化为图形语言和符号语言的过程，

再次，在直观感受的基础上形成三个公理，学生初步体会欧几里得公理化体系，

为后续学习做好准备．因此这节课是有其重要的地位与价值．

与本节

（课）相关

的学生特

征的分析

学生在初中初步学习了平面几何的相关知识，掌握了平面内点、直线的概念和性质．在教学设计时，可以类比“直线”来研究“平面”．通过以前的学习，学生对平面几何已有一定的分析和推理能力，初步具备了学习点、直线、平面之间的位置关系的能力．但学生以前接触的大多是平面图形，习惯于在平面上解决问题，空间想象能力、思维能力较弱．

学法指导

在教学中我会尽量给学生灌输他们才是认知的主体，是教学的主体，更是课堂的主角这一思想．遵循学生的认知规律，尽可能地激发学生的积极性，让学生经历知识的形成与发展过程，让学生自己成为学习知识的主动者，同时引导学生走出学习数学概念的烦琐与困境．让学生进一步学会学习，学会探究．

教学方法

启发式，问题导学法

教学重点

理解平面的特点和三个公理，以及能用三种语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系．

教学难点

符号语言和图形语言的准确表示，学习公理的作用和意义．

教学手段

□普通教室□多媒体教室□网络教室□专用教室□实验室□其他：

板书设计

平面

1．平面的特征4．例题

2．平面的图形及符号表示5．小结

3．三个公理6．作业

教学过程

一、概念的引入

问题1：

观察图中的房屋，有你熟悉的空间图形吗?

进一步用几何画板动态演示从该物体中抽取一个长方体出来，追问：

长方体是由哪些几何元素构成的？

设计意图：

从整体到局部，从现实世界中抽象出数学模型，这么一栋赏心悦目的别墅竟然是由一些几何体组成的，让学生感受到自己生活在一个充满几何体的世界里！

那么这些几何体到底是怎样的结构呢？

接着，以学生熟悉的长方体为载体，提出新的问题，激发学生的兴趣，让学生感到学习数学是必要的、有用的．

点、线、面是空间图形的基本元素，它们构成了千姿百态的世界．在初中关于点和线，我们已经详细研究过了，那我们今天就和大家一起来探讨一下平面及其基本性质．

二、概念的生成

问题2：

（1）生活中有哪些例子给了我们直线形象？

（2）直线有哪些基本特征？

（3）怎么表示直线？

学生通过讨论给出如黑板的边缘、空中划过的闪电等都给我们以直线的形象，从而教师明确数学中的“直线”就是从同学们所举的例子中抽象出来的．学生进而给出直线的基本特征如：

①直的；②向两边无限延伸；③无粗细．回忆了直线的表示方法：

几何上用线段表示直线，但是两边可以无限延长；符号表示是直线AB或者直线a．

设计意图：

“抱住”直线学平面！

学生曾经学习过直线这一概念，这是他们已有的经验．任何人在学习时总会与自己已有的知识相联系．把直线这一原始概念议论透．对直线概念的研究方法可以类比、迁移到对平面概念的研究中，这也有助学生理解抽象的平面概念．板书时笔者将以上内容作为一列写在黑板的左边，最上边写直线二字；之后，右边写上与直线相对应的平面的有关内容，最上边写平面二字，形成类比直线认识平面的效果．

问题3：

（1）生活中有哪些例子给了我们平面的形象？

（2）平面有哪些基本特征？

（3）怎么表示平面？

学生交流举出“桌面”、“黑板面”、“光滑的玻璃”、“平静的水面”等，都给我们以平面的形象．再从这些直观印象中抽象出几何里所说的“平面”．

类比直线这一原始概念，不难得出平面具有“平的、无限延展、没有厚薄”的基本特征．再通过类比画线段表示直线，我们画矩形表示平面——观察角度原因——水平放置——成为平行四边形．符号上：

类比直线的表示方法，将平面记作：

平面ABCD，平面AC，平面

．

设计意图：

纵观平面概念的生成过程，

我们通过类比直线认识了平面，学生体会到概念形成过程是自然的，对概念理解达到概念学习的水平．同时把直观与抽象，比较与类比这些思维方法贯穿于教学之中．

三、性质的探究

1、公理2

在设计本节教学中，我打破了以往教学的传统，将教材中的公理2放在公理1之前介绍，主要是从学生的认知规律来考虑．首先，你得有一个平面，然后才好说与平面有关的事．

两点确定一条直线，那么两点能否确定一个平面？

学生说：

不能．

老师继续提问：

“在空间中至少需要几个点才能确定一个平面？

是三个呢？

还是四个、五个呢？

”

两位同学为一组，动手做数学实验1．

数学实验1：

用手指头将一块硬纸板平衡地摆放在空间某一位置，至少需要几个手指头？

引导学生归纳出公理2．

设计意图：

在动手操作、观察感悟中获取新知．通过做数学实验，让学生感受满足什么条件才可以确定一个平面，有利于降低学习难度，调动学生的学习积极性，增强学习兴趣，体会到该公理2的正确性．

公理2：

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

预设：

学生可能会忽略“不在同一条直线上”，教师提出问题：

在同一直线上的三点，能否确定一个平面？

学生回答不行，进一步让学生举出反例．也有学生可能会疑惑为什么是“三点可以确定一个平面？

四点、五点可以吗？

”另外，通过提问“经过不在同一条直线上的三点的平面只有一个吗？

”让学生感受到“有且只有”的内涵．

师生共同探究：

如何用图形语言表示公理2，及公理2的作用？

（因为学生第一次碰到文字语言转换为图形语言，确实对他们来说是一个

难点，而且她们是高一的学生，必修二第一章的第一节没有学习）

设计意图：

给学生时间思考，画出图形，体会图形的直观．

师生共同体会公理2在生活中的简单应用．比如相机、测量仪器的三角架定位、三角形所在平面的稳定性等都是公理2的实际应用．

公理2的内容不仅给出了确定一个平面的依据，即“过不在一条直线的三点有一个平面”；而且给出了这样的平面具有唯一性，即“有且只有一个平面”．另外，该公理还可以判断直线与平面的位置关系，如不共线的三点中任意取两点可以确定一条直线，则这条直线一定在不共线的三点确定的平面内，从而为公理1打下铺垫．

2、公理1

确定“平面”以后，接下来我们就会想到“点”、“线”和新的对象“面”

之间有什么关系了．我们主要探讨线与面，面与面的关系．

对新对象（平面）与已经有的对象（直线）关系的关注——满足什么条件就可以说直线a在平面

上呢？

数学实验2：

如果把硬纸板看作一个平面，把你的笔看作是一条直线的话：

（1）你能使笔上的一个点在平面内，而其他点不在平面内吗？

（2）你能使笔上的两个点在平面内，而其他点不在平面内吗？

引导学生归纳出平面的公理1．

设计意图：

通过笔和课桌面直观感知原本难以想象的直线和平面的关系，有利于降低学习难度，调动学生的学习积极性，增强学习兴趣，体会到公理1的正确性．

公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

师生共同探究：

如何用图形语言表示？

师生共同探究：

数学符号更简洁，如何用符号语言表示？

设计意图：

点与面，直线与面之间用什么符号表示，让学生点燃思维的火花，最后体会线，面都是点的集合，所以可以借助集合语言表示．

用PPT展示长方体ABCD-ABCD中点、线、面的位置关系，用集合符号表示，由学生总结．

设计意图：

进一步熟悉符号语言，也为以后符号语言的使用打下坚实的基础．

最后回到公理1的三种表示，总结三种语言的特点和公理1的作用．

公理1为我们提供了一种判断直线是否在平面内的方法，同时也为我们在纸面上画一条直线在平面内提供了理论依据．进一步分析，直线是向两边无限延伸的，无限延伸的直线放在平面上，说明平面也是向四周无限延展的．公理1用直线的“无限延伸性”来检查平面的“无限延展性”．

师生共同体会公理1在生活中的简单应用．比如工人用直棒检查墙面是否平整，木匠将绳子拉紧，将两端置于桌旁，通过是否漏光来检查桌面是否平整．公理1用直线的“直”来检查平面的“平”．

在此，向学生介绍平面的数学史．其实，早在几千年前，数学家们就尝试着用“点”，“直线”去描述平面．我选取了沃尔夹岗·鲍耶关于平面的定义．沃尔夹岗·鲍耶关于平面的定义可以确定平面是真实存在的，在讲解时，教师借助几何画板演示，让学生直观感知平面的形成过程．

设计意图：

对于“平面”这个极其抽象的概念，教材没有说明其存在性，使得学生对平面的存在性产生疑惑，这会影响学生对平面三个公理的学习．此环节让学生真切感受到平面的存在．点动成线，线动成面！

研究活动：

课后请同学们查阅相关书籍，借助网络，了解平面概念的发展史，撰写研究报告．

设计意图：

通过了解平面的数学史，让学生了解自己出现的困惑，其实数学家们也同样经历过据．借此活动向学生传达这样一个事实：

无论是赫赫有名的数学家，还是普通的人，对事物的认识都经历着从不准确到准确最后到完善的过程，而真正起到决定作用的是人类的执着精神！

3、公理3

数学实验3：

把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？

为什么？

引导学生归纳出平面的公理3．

公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

预设：

可能学生在归纳公理3时会忽略“有且只有”，教师可通过提问：

“两个不重合的平面，如果有一个公共点，因为平面是向四周无限延展的，那么一定有一条过该点的公共直线．它们还有除了这条交线以外的公共点吗？

”帮助学生理解“有且只有”的内涵．

师生共同探究：

如何用图形语言和符号语言来表示？

（三个公理中最难的就是公理3的图形语言和符号语言的转化，在教学时我设计了用硬纸板做了一个两平面相交的模型，再用PPT来展示相交的画法，让学生直观的感受继而画出正确的图形语言，来突破难点．）

教师用教具摆出不同的两个平面相交的状态，让学生观察并作图，师生共同评价修改．

设计意图：

提高空间想象能力是立体几何教学的主要目的．因此，我们在本节课中应突出作图，这是帮助学生形成空间观念的有效途径．

师生共同体会公理3的作用．

思考：

如果一个曲面和一个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线．这个说法是否正确，请说明理由．

教师指出：

在几何中，借助点、直线、平面的相互位置关系能刻画平面的“平”．支撑平面三公理成立的基本条件是平面必须是“平”的．

设计意图：

学生对平面的认识还是停留在视觉映像和感性状态，根本谈不上数学地审视平面的特征．正面去说明平面的“平”相对较难，根据“正难则反”的原则，先从“不平”下手，再通过否定之否定，最终达成“平”的目的．通过“背景（生活实例）——否定（说明不平）——性质（三公理）——在否定（正面定义）”帮助学生理解平面的“平”．

巩固练习：

判断下列命题是否正确,正确的在括号内划“√”,错误的划“×”．（课本练习题改编）

（1）平面

与平面

相交，它们只有有限个公共点．（）

（2）三点确定一个平面．（）

（3）经过两条相交直线有且只有一个平面．（）

（4）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．（）

设计意图：

通过练习，加深学生对三个公理的认识．

四、课堂小结

通过这节课的学习，你有什么收获?

师生共同就上述问题进行讨论、交流、总结，让学生充分发表自己的意见．

知识：

通过这节课的学习，我们认识了平面及其基本的特征，初步感知了点、线、面的位置关系，并通过研究得到了三个公理：

……．

方法：

在本节课中，我们经历从具体与抽象、类比与比较的方法认识了新的几何元素“平面”及其性质，同时还学习了用三种数学语言来表示这些知识．希望大家能通过今天的学习能够初步建立起空间的观念．

思想：

公理的出现，是一个由无到有的过程，并通过逐渐演绎推理，由少到多，由简到繁，进而得到我们现在学习、研究的几何体系，我们可以称这种思想方法为公理化思想．

实际上，今天我们不仅仅是在研究平面及其三个公理，也经历了公理的形成过程，即实验操作，直观感受，文字描述，图形、符号表示．

思考：

继续用类比的思想、联系的观点，以及延续本节课研究三公理的基本套路，你预见我们研究线面平行，线面垂直等判定定理、性质时可从什么地方入手？

设计意图：

（1）本节课用了较大的精力去抽象公理，一方面，希望学生能够认识到探索过程的价值；另一方面，希望学生通过这节课，经历公理的形成过程，体会其中蕴涵的合理的思维方式和数学思想，从而得到研究新事物的基本套路．

（2）为检查学生对本节课的学习认识深度的理解水平，以及继续激发与保护学生的探索兴趣，教师引导学生预见继续研究几何中定理、性质的方向．

课外延伸：

平面概念的发展史

分层作业

必做：

（1）P43练习：

1，2，4

（2）P51习题2．1A组：

1,2

探究：

如图是一个正方体表面的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条直线相互是什么位置关系?