＝
知，悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角小，选项C错误；由图知
＝cosθ，即T＝
，所以悬挂A的缆绳受到的拉力小，选项D正确．
【答案】 D,
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图4－3－6
（2013·重庆高考）如图4－3－6所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°.重力加速度大小为g.
（1）若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
（2）若ω＝（1±k）ω0，且0＜k≪1，求小物块受到的摩擦力大小和方向．
【审题指导】
（1）小物块受到的摩擦力恰好为零，说明物块受到的重力与支持力的合力恰提供向心力．
（2）ω≠ω0时，物块相对罐的运动趋势有两种情况．
【解析】
（1）小物块在水平面内做匀速圆周运动，当小物块受到的摩擦力恰好等于零时，小物块所受的重力和陶罐的支持力的合力提供圆周运动的向心力，有mgtanθ＝mω
·Rsinθ
代入数据得ω0＝
（2）当ω＝（1＋k）ω0时，小物块受到的摩擦力沿陶罐壁切线向下，设摩擦力的大小为f，陶罐壁对小物块的支持力为FN，沿水平和竖直方向建立坐标系，则
水平方向：
FNsinθ＋fcosθ＝mω2·Rsinθ
竖直方向：
FNcosθ－fsinθ－mg＝0
代入数据解得：
f＝
mg
同理，当ω＝（1－k）ω0时，小物块受到的摩擦力沿陶罐壁切线向上，则
水平方向：
FNsinθ－fcosθ＝mω2·Rsinθ
竖直方向：
FNcosθ＋fsinθ－mg＝0
代入数据解得：
f＝
mg
【答案】 见解析
圆周运动的临界问题分析技巧
（1）有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．
（2）若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态．
（3）若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界状态．
（4）根据临界情况特点确定临界条件．
考点三 圆周运动与平抛运动的综合问题
一、水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
1．问题特点：
此类问题往往是物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动．
2．解题关键
（1）明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程．
（2）平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移．
（3）速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度．
二、竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
1．问题特点
此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动，有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题考查．
2．解题关键
（1）首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，然后分析物体能够达到圆周最高点的临界条件．
（2）注意前后两过程中速度的连续性．
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图4－3－7
（2013·福建高考）如图4－3－7，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0kg的小球．现将小球拉到A点（保持绳绷直）由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点．地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L＝1.0m，B点离地高度H＝1.0m，A、B两点的高度差h＝0.5m，重力加速度g取10m/s2，不计空气影响，求：
（1）地面上DC两点间的距离s；
（2）轻绳所受的最大拉力大小．
【审题指导】 分段研究小球的运动过程，A到B过程中小球在竖直面内做圆周运动，机械能守恒；B到C过程中小球做平抛运动，根据平抛运动的分解求解．注意隐含条件：
恰好被拉断时，轻绳达到最大张力．
【解析】
（1）小球从A到B过程机械能守恒，有
mgh＝
mv
①
小球从B到C做平抛运动，在竖直方向上有
H＝
gt2②
在水平方向上有
s＝vBt③
由①②③式解得s≈1.41m④
（2）小球下摆到达B点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，有
F－mg＝m
⑤
由①⑤式解得
F＝20N
根据牛顿第三定律
F′＝－F
轻绳所受的最大拉力为20N.
【答案】
（1）1.41m
（2）20N
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图4－3－8
如图4－3－8所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R＝0.5m，离水平地面的高度H＝0.8m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4m．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2.求：
（1）物块做平抛运动的初速度大小v0；
（2）物块与转台间的动摩擦因数μ.
【审题指导】
（1）应理解把握好“转台边缘”与“恰好滑离”的含义．
（2）临界问题是静摩擦力达到最大值．
【解析】
（1）物块做平抛运动，在竖直方向上有
H＝
gt2①
在水平方向上有s＝v0t②
由①②式解得v0＝s
③
代入数据得v0＝1m/s.
（2）物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
fm＝m
④
fm＝μN＝μmg⑤
由④⑤式得μ＝
代入数据得μ＝0.2.
【答案】
（1）1m/s
（2）0.2
竖直平面内圆周运动中的轻绳模型与轻杆模型
一、模型条件
（1）物体在竖直平面内做变速圆周运动．
（2）“轻绳模型”在轨道最高点无支撑，“轻杆模型”在轨道最高点有支撑．
二、两种模型比较
轻绳模型
轻杆模型
常见
类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高
点的临
界条件
由mg＝m
得v临＝
v临＝0
讨论分析
（1）过最高点时，v≥
，FN＋mg＝m
，绳、轨道对球产生弹力FN
（2）当v＜
时，不能过最高点，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
（1）当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
（2）当0＜v＜
时，mg－FN＝m
，FN背离圆心，随v的增大而减小
（3）当v＝
时，FN＝0
（4）当v＞
时，FN＋mg＝m
，FN指向圆心并随v的增大而增大
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图4－3－9
（2014·大同一中模拟）长L＝0.5m质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内无摩擦地转动，另一端固定着一个小球A.A的质量为m＝2kg，当A通过最高点时，如图4－3－9所示，求在下列两种情况下杆对小球的作用力：
（1）A在最低点的速率为
m/s；
（2）A在最低点的速率为6m/s.
【审题指导】
（1）不计摩擦和杆的质量，球A的机械能守恒．
（2）小球A在最高点受杆的作用力有三种情况，一是向上的支持力，二是向下的拉力，三是作用力为0.
【规范解答】
设小球在最高点速度为v，对小球A由最低点到最高点过程，取圆周的最低点为参考平面．由机械能守恒定律得，
mv2＋mg·2L＝
mv
①
在最高点，假设细杆对A的弹力F向下，则A受力如图所示．
以A为研究对象，由牛顿第二定律得mg＋F＝m
②
所以F＝m（
－g）③
（1）当v0＝
m/s时，由①式得v＝1m/s，④
F＝2×（
－10）N＝－16N，⑤
负值说明F的实际方向与假设向下的方向相反，即杆给A向上16N的支持力．
（2）当v0＝6m/s时，由①式得v＝4m/s；⑥
F＝2×（
－10）N＝44N.
正值说明杆对A施加的是向下44N的拉力．
【答案】
（1）16N 方向向上
（2）44N 方向向下
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图4－3－10
（多选）如图4－3－10所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m.现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起（不计小球与环的摩擦阻力），瞬时速度必须满足（ ）
A．最小值
B．最大值
C．最小值
D．最大值
【解析】 要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mg＝m
，由最低点到最高点由机械能守恒得
mv
＝mg·2r＋
mv
，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为
；为了不会使环在竖直方向上跳起，在最高点有最大速度时，球对环的压力为2mg，满足3mg＝m
，从最低点到最高点由机械能守恒得：
mv
＝mg·2r＋
mv
，
可得小球在最低点瞬时速度的最大值为
.
【答案】 CD
⊙考查描述圆周运动的物理量
1．（多选）在“天宫一号”的太空授课中，航天员王亚平做了一个有趣实验．在T形支架上，用细绳拴着一颗明黄色的小钢球．设小球质量为m，细绳长度为L.王亚平用手指沿切线方向轻推小球，小球在拉力作用下做匀速圆周运动．测得小球运动的周期为T，由此可知（ ）
A．小球运动的角速度ω＝T/（2π）
B．小球运动的线速度v＝2πL/T
C．小球运动的加速度a＝2π2L/T2
D．细绳中的拉力为F＝4mπ2L/T2
【解析】 小球运动的角速度ω＝2π/T，选项A错误；线速度v＝ωL＝2πL/T，选项B正确；加速度a＝ω2L＝4π2L/T2，选项C错误；细绳中的拉力为F＝ma＝4mπ2L/T2，选项D正确．
【答案】 BD
2.
图4－3－11
如图4－3－11为一陀螺，a、b、c为在陀螺上选取的三个质点，它们的质量之比1∶2∶3，它们到转轴的距离之比为3∶2∶1，当陀螺以角速度ω高速旋转时（ ）
A．a、b、c的线速度之比为1∶2∶3
B．a、b、c的周期之比为3∶2∶1
C．a、b、c的向心加速度之比为3∶2∶1
D．a、b、c的向心力之比为1∶1∶1
【解析】 在同一陀螺上各点的角速度相等，由v＝ωr和质点到转轴的距离之比为3∶2∶1，可得a、b、c的线速度之比为3∶2∶1，选项A错误；由T＝2π/ω可知a、b、c的周期之比为1∶1∶1，选项B错误；由a＝ωv可知a、b、c的向心加速度之比为3∶2∶1，选项C正确；由F＝ma可得a、b、c的向心力之比为3∶4∶3，选项D错误．
【答案】 C
⊙圆周运动与平抛运动的综合
3．（多选）如图4－3－12所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动．一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h.则（ ）
图4－3－12
A．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝d
B．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2d
C．圆筒转动的角速度可能为ω＝π
D．圆筒转动的角速度可能为ω＝3π
【解析】 子弹从左侧射入圆筒后做平抛运动，通过的水平位移等于圆筒直径，到达圆筒右侧打下第二个弹孔，由于两弹孔在同一竖直线上，说明在子弹这段运动时间内圆筒必转过半圈的奇数倍，即d＝v0t、h＝
gt2、（2n＋1）π＝ωt（n＝0,1,2,3…），联立可得v0＝d
，ω＝（2n＋1）π
（n＝0,1,2,3…），故A、C、D正确，B错误．
【答案】 ACD
⊙考查竖直平面内的圆周运动
4．如图4－3－13所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是（ ）
图4－3－13
A．过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
【解析】 人在最高点时，由牛顿第二定律和向心力公式可得：
F＋mg＝m
.由此可知，当v＝
时，人只受重力作用；当v>
时，重力和座位对人向下的压力提供向心力；当v<
时，除受重力外，人还受保险带向上的拉力，选项A错误．当v＝
时，座位对人向下的压力等于重力mg，由牛顿第三定律知，人对座位的压力等于mg，选项B错误．人在最低点时，受到重力和支持力，由牛顿第二定律和向心力公式可得：
F－mg＝m
，即F＝mg＋m
>mg，故选项C错误、D正确．
【答案】 D
⊙圆周运动中的极值问题
图4－3－14
5．如图4－3－14所示，用细绳—端系着的质量为M＝0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m＝0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为Ff＝2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．（取g＝10m/s2）
【解析】 要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A需要的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供．角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心趋势，静摩擦力背离圆心O.设角速度ω的最大值为ω1，最小值为ω2
对于B：
FT＝mg
对于A：
FT＋Ff＝Mrω
或FT－Ff＝Mrω
代入数据解得ω1＝6.5rad/s，ω2＝2.9rad/s
所以2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s.
【答案】 2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s
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