高考数学难点突破 难点14 数列综合应用问题2.docx
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高考数学难点突破难点14数列综合应用问题2
Jupjrn高考数学难点突破难点14数列综合应用问题
秋风清，秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。
难点14数列综合应用问题
纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.
●难点磁场
（★★★★★）已知二次函数y=f（x）在x=
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）若任意实数x都满足等式f（x）·g（x）+anx+bn=xn+1［g（x）］为多项式，n∈N*）,试用t表示an和bn；
（3）设圆Cn的方程为（x－an）2+（y－bn）2=rn2，圆Cn与Cn+1外切（n=1,2,3,„）;{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Sn.
●案例探究
［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
15
t22
t
2
处取得最小值－
4
（t＞0）,f
（1）=0.
，本年度当地旅游
业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
14
.
（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；
（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
命题意图：
本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目.
知识依托：
本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.
错解分析：
（1）问an、bn实际上是两个数列的前n项和，易与“通项”混淆；
（2）问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.
技巧与方法：
正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，
（2）问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.
解：
（1）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－×（1－
15
15
）万元，„第n年投入为800
）n－1万元，所以，n年内的总投入为
15
15
n－1
n
an=800+800×（1－）+„+800×（1－）
=800×（1－
k1
15
）k－1
=4000×［1－（
45
）］
14
n
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1+收入400×（1+
14
），„，第n年旅游业
）n－1万元.所以，n年内的旅游业总收入为
14
14
k－1
n
bn=400+400×（1+
54
）+„+400×（1+）
=400×（
k1
54
）k－1.
=1600×［（
）n－1］
（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，即：
1600×［（
54
）n－1］－4000×［1－（
25
45
）n］＞0，令x=（
45
45
）n，代入上式得：
5x2－7x+2＞
0.解此不等式，得x＜，或x＞1（舍去）.即（
）n＜
25
，由此得n≥5.
∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.［例2］已知Sn=1+
21
13
+„+
1n
,（n∈N*）设f（n）=S2n+1－Sn+1,试确定实数m的取值范围，
2
使得对于一切大于1的自然数n，不等式：
f（n）＞［logm（m－1）］－立.
1120
［log（m－1）m］恒成
2
命题意图：
本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.
知识依托：
本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.
错解分析：
本题学生很容易求f（n）的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.技巧与方法：
解决本题的关键是把f（n）（n∈N*）看作是n的函数，此时不等式的恒成立就转化为：
函数f（n）的最小值大于［logm（m－1）］2－
解：
∵Sn=1+
21
13
1120
［log（m－1）m］2.
+„+
1n1
.（n∈N*）
1n312n3
12n4
1n2）0
12n1
12n2
12n3
22n4
f（n）S2n1Sn1又f（n1）f（n）（
12n2
12n4
1
n2
2n2
1
）（
2n3
∴f（n+1）＞f（n）
∴f（n）是关于n的增函数∴f（n）min=f
（2）=
122
1231120920
∴要使一切大于1的自然数n，不等式f（n）＞［logm（m－1）］－
2
［log（m－1）m］恒成立
2
只要9
20＞［logm（m－1）］－211
20［log（m－1）m］成立即可2
由m0,m1
m10,m11得m＞1且m≠2
2此时设［logm（m－1）］=t则t＞0119t于是2020解得0＜t＜1
t0
由此得0＜［logm（m－1）］＜1
解得m＞1
22且m≠2.
●锦囊妙计
1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差（比）数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.
2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：
（1）事理关：
需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.
（2）文理关：
需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.
（3）事理关：
在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.（★★★★★）已知二次函数y=a（a+1）x2－（2a+1）x+1，当a=1，2，„，n，„时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，„,dn,„,则lim（d1+d2+„+dn）的值是（）
n
A.1
二、填空题B.2C.3D.4
2.（★★★★★）在直角坐标系中，O是坐标原点，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是_________.
3.（★★★★）从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精_________升.
4.（★★★★★）据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：
“20XX年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间（20XX年~20XX年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.
三、解答题
5.（★★★★★）已知数列{an}满足条件：
a1=1,a2=r（r＞0）,且{anan+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，设bn=a2n－1+a2n（n=1,2,„）.
（1）求出使不等式anan+1+an+1an+2＞an+2an+3（n∈N*）成立的q的取值范围；
（2）求bn和lim1
Sn，其中Sn=b1+b2+„+bn；n
（3）设r=219.2－1，q=1
2，求数列{log2bn1log2bn}的最大项和最小项的值.
6.（★★★★★）某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：
首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金b
n元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职
工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.
（1）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金金额，试求a2,a3，并用k、n和b表示ak（不必证明）；
（2）证明ak＞ak+1（k=1,2,„,n－1）,并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
（3）发展基金与n和b有关，记为Pn（b）,对常数b，当n变化时，求limPn（b）.
n
7.（★★★★）据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×10吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：
（1）20XX年回收废旧物资多少吨？
（2）从1996年至20XX年可节约开采矿石多少吨（精确到万吨）？
（3）从1996年至20XX年可节约多少平方公里土地？
8.（★★★★★）已知点的序列An（xn，0）,n∈N,其中x1=0,x2=a（a＞0）,A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，„，An是线段An－2An－1的中点，„.
（1）写出xn与xn－1、xn－2之间关系式（n≥3）;
（2）设an=xn+1－xn，计算a1,a2,a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明；
（3）求limxn.
n8
参考答案
难点磁场
解：
（1）设f（x）=a（x－
2t22）－2t24，由f
（1）=0得a=1.∴f（x）=x－（t+2）x+t+1.
（2）将f（x）=（x－1）［x－（t+1）］代入已知得：
（x－1）［x－（t+1）］g（x）+anx+bn=xn+1，上式对任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分别代入上式得：
1t1anbn1n+1n且t≠0，解得a=［（t+1）－1］，b=［1－（t+1]）nnn1tt（t1）anbn（t1）
（3）由于圆的方程为（x－an）2+（y－bn）2=rn2，又由
（2）知an+bn=1，故圆Cn的圆心On在直线
n+1x+y=1上，又圆Cn与圆Cn+1相切，故有rn+rn+1=2｜an+1－an｜=2（t+1）
设{rn}的公比为q，则
rnrnq2（t1）
n2
rn1rn1q2（t1）
n1
①
②
②÷①得q=
rn1rn
2
=t+1，代入①得rn=
2（t1）t2
n1
∴Sn=π
2
（r1+r2+„+rn）=
2
r1（q
2
22n
1）
q1
2（t1）t（t2）
3
4
［（t+1）－1］
2n
歼灭难点训练
一、1.解析：
当a=n时y=n（n+1）x－（2n+1）x+1由｜x1－x2｜=
112
123
a
2
，得dn=
1n（n1）
1n（n1）
，∴d1+d2+„+dn
12
13
1n
1n1
1n1
1
12
1
1
lim（d1d2dn）lim（1
n
n
n1
）1
答案：
A二、2.解析：
由1,x1,x2,4依次成等差数列得：
2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3.又由1，y1,y2,8依次成等比数列，得y1=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,
∴P1（2,2）,P2（3,4）.∴OP1（2,2）,OP2=（3,4）∴OP1OP26814,OP122,|OP2|5,
cosP1OP2
12
12
14522
127210
,sinP1OP2
210
210
2
SOP1P2
|OP1||OP2|sinP1OP2
2251
答案：
1
3.解析：
第一次容器中有纯酒精a－b即a（1－
a（1
b
ba
）升，第二次有纯酒精a（1－
ba
）－
）
ab，即a（1－b）2升，故第n次有纯酒精a（1－b）n升.aaa
答案：
a（1－
ba
）n
4.解析：
从20XX年到20XX年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a5=95933（1+7.3%）4≈120000（亿元）.
答案：
120000三、
5.解：
（1）由题意得rqn－1+rqn＞rqn+1.由题设r＞0,q＞0,故从上式可得：
q2－q－1＜0，解
得
12
5
＜q＜
12
5
,因q＞0,故0＜q＜
bn1bn
12
5
;
a2n1qa2nqa2n1a2n
n-1
（2）∵
an1an2anan1
an2an
q,
a2n1a2n2a2n1a2n
q0.b1=1+r≠0，所以
{bn}是首项为1+r，公比为q的等比数列，从而bn=（1+r）q.
当q=1时，Sn=n（1+r）,
limlim
1Sn1Sn
limlim
1n（1r）
0;当0q1时,Sn
1q1r,
1q
,（0q1）
1r
0,（q1）
;
（1r）（1q）
1q
n
,
nn
1q（1r）（1q）
nn
nn
当q1时,Sn
1Sn
（1r）（1q）
1q1q
1Sn
lim
n
lim
n
（1r）（1q）
n1
n
0,所以lim
n
（3）由
（2）,有bn（1r）qlog2bn1log2bn
log2[（1r）q]log2[（1r）q
n1
n
]
log2（1r）nlog2qlog2（1r）（n1）log2q
1
1n20.2
.
记Cn
log2bn1log2bn
,从上式可知，当n－20.2＞0，即n≥21（n∈N*）时，Cn随n的增大而减
小，故
1＜Cn≤C21=1+
12120.210.2
1
10.8
=2.25①
当n－20.2＜0，即n≤20（n∈N*）时，Cn也随n的增大而减小，故1＞Cn≥C20=1+
12020.2
1
=－4②
综合①②两式知，对任意的自然数n有C20≤Cn≤C21,故{Cn}的最大项C21=2.25，最小项C20=－4.
6.解：
（1）第1位职工的奖金a1=金a3=
1n
bn
，第2位职工的奖金a2=
1n
1n
（1－
1n
）b，第3位职工的奖
（1－
1n
）2b，„，第k位职工的奖金ak=
1n
2
（1－
1n
）k－1b;
（2）ak－ak+1=的原则.
（1－
1n
）k－1b＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”
（3）设fk（b）表示奖金发给第k位职工后所剩余数，则f1（b）=（1－
1n
1n
）b,f2（b）=（1－
）2b,„,fk（b）=（1－
1n
）kb.得Pn（b）=fn（b）=（1－
1n
）nb,
故limPn（b）
n
be
.
7.解：
设an表示第n年的废旧物资回收量，Sn表示前n年废旧物资回收总量，则数列{an}是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.
（1）a6=10（1+20%）5=10×1.25=24.8832≈25（万吨）
（2）S6=
10[（120%）
6
1]
（120%）1
10
1.610.2
6
=99.2992≈99.3（万吨）
∴从1996年到2000年共节约开采矿石20×99.3≈1986（万吨）
（3）由于从1996年到20XX年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2（万吨），∴从1996年到20XX年共节约：
562.4397.210
7.410
8
4
≈3平方公里.
xn1xn2
2
8.解：
（1）当n≥3时，xn=;
x2
12（1212
（x2x1）a）
14a
12a,
（2）a1x2x1a,a2x3x2a2x4x3
x3x2
2
x3
12
x2x1
2
（x3x2）
由此推测an=（－
12
）n-1a（n∈N）
证法一：
因为a1=a＞0,且
anxn1xn
xnxn1
2
xn
xn1xn
2
12
（xnxn1）
12
an1（n≥2）
所以an=（－
12
）n-1a.
证法二：
用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，a1=x2－x1=a=（－
12
）0a,公式成立；
12
（ⅱ）假设当n=k时，公式成立，即ak=（－那么当n=k+1时，ak+1=xk+2－xk+1=
12（12）
k1
）k－1a成立.
xk1xk
212）
xk1
12
（xk1xk）
12
ak
a（
（k1）1
a公式仍成立.
12
据（ⅰ）（ⅱ）可知，对任意n∈N，公式an=（－
）n-1a成立.
（3）当n≥3时，有xn=（xn－xn－1）+（xn－1－xn－2）+„+（x2－x1）+x1=an－1+an－2+„+a1,
由
（2）知{an}是公比为－的等比数列，所以limxn
2
n
1
a11（
12）
23
a.
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