考点整合与训练第十三章 选考部分第1节 第2课时 参数方程.docx

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考点整合与训练第十三章选考部分第1节第2课时参数方程

第2课时　参数方程

最新考纲　1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．

知识梳理

1.曲线的参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.

2.参数方程与普通方程的互化

通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.

3.常见曲线的参数方程和普通方程

点的轨迹

普通方程

参数方程

直线

y－y0＝tanα（x－x0）

（t为参数）

圆

x2＋y2＝r2

（θ为参数）

椭圆

＋＝1（a＞b＞0）

（φ为参数）

温馨提醒　直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：

|t|是直线上任一点M（x，y）到M0（x0，y0）的距离．

[微点提醒]

1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f（t）和g（t）的值域，即x和y的取值范围.

2.参数方程化普通方程常用的消参技巧：

代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式cos2θ＋sin2θ＝1，1＋tan2θ＝.

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）参数方程中的x，y都是参数t的函数.（　　）

（2）过M0（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）.参数t的几何意义表示：

直线l上以定点M0为起点，任一点M（x，y）为终点的有向线段的数量.（　　）

（3）方程（θ为参数）表示以点（0，1）为圆心，以2为半径的圆.（　　）

（4）已知椭圆的参数方程（t为参数），点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.（　　）

解析　（4）当t＝时，点M的坐标为，即M（1，2），∴OM的斜率k＝2.

答案　

（1）√　

（2）√　（3）√　（4）×

2.（选修4－4P22例1改编）已知曲线C的参数方程为（t为参数），点M（－6，a）在曲线C上，则a＝________.

解析　由题意得∴

答案　9

3.（选修4－4P26习题A4改编）在平面直角坐标系中，曲线C：

（t为参数）的普通方程为________.

解析　消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.

答案　x－y－1＝0

4.（2014·湖北卷）已知曲线C1的参数方程是（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为________.

解析　将曲线C1的参数方程化为普通方程为y＝x（x≥0），将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2＝4，联立解得故曲线C1与C2交点的直角坐标为（，1）．

答案　（，1）

5.（2015·广东卷）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ＋sinθ）＝－2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为________.

解析　曲线C1：

ρcosθ＋ρsinθ＝－2的直角坐标方程为x＋y＝－2，

曲线C2：

的普通方程为y2＝8x，

由解得则C1与C2交点的直角坐标为（2，－4）．

答案　（2，－4）

6.（2017·全国Ⅰ卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）.

（1）若a＝－1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a.

解　

（1）a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.

曲线C的标准方程是＋y2＝1，

联立方程解得或

则C与l交点坐标是（3，0）和.

（2）直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0.

设曲线C上点P（3cosθ，sinθ）.

则P到l距离d＝＝，

其中tanφ＝.

又点C到直线l距离的最大值为，

所以|5sin（θ＋φ）－4－a|的最大值为17.

若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8.

若a<0，则5－4－a＝17，∴a＝－16.

综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.

考点一　参数方程与普通方程的互化

【例1】将下列参数方程化为普通方程.

（1）（t为参数）；

（2）（θ为参数）.

解　

（1）由t2－1≥0⇒t≥1或t≤－1⇒0

由

①式代入②式得普通方程为x2＋y2＝1.

其中或

（2）由x＝2＋sin2θ，0≤sin2θ≤1⇒2≤2＋sin2θ≤3⇒2≤x≤3，

⇒

⇒⇒普通方程为2x＋y－4＝0（2≤x≤3）.

规律方法　消去参数的方法一般有三种

（1）利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数．

（2）利用三角恒等式消去参数．

（3）根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数．

【训练1】

（1）设＝cosθ，θ为参数，求椭圆＋＝1的参数方程.

（2）将下列参数方程化为普通方程.

（ⅰ）（t为参数）；

（ⅱ）（θ为参数）.

解　

（1）把＝cosθ代入椭圆方程，

得到cos2θ＋＝1，

于是（y＋2）2＝5（1－cos2θ）＝5sin2θ，即y＋2＝±sinθ，

由参数θ的任意性，可取y＝－2＋sinθ，

因此椭圆＋＝1的参数方程为

（θ为参数）.

（2）（ⅰ）由参数方程得et＝x＋y，e－t＝x－y，

所以（x＋y）（x－y）＝1，得普通方程为x2－y2＝1.

（ⅱ）因为曲线的参数方程为

由y＝2tanθ，

得tanθ＝，代入①得普通方程为y2＝2x.

考点二　参数方程的应用

【例2－1】已知椭圆C：

＋＝1，直线l：

（t为参数）.

（1）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；

（2）设A（1，0），若椭圆C上的点P满足到点A的距离与到直线l的距离相等，求点P的坐标.

解　

（1）椭圆C的参数方程为（θ为参数），

直线l的普通方程为x－y＋9＝0.

（2）设P（2cosθ，sinθ），

则|AP|＝＝2－cosθ，

P到直线l的距离

d＝＝.

由|AP|＝d，得3sinθ－4cosθ＝5，

又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝，cosθ＝－.

故P.

【例2－2】（2018·全国Ⅱ卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）.

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率.

解　

（1）曲线C的直角坐标方程为＋＝1.

当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，

当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，

整理得关于t的方程

（1＋3cos2α）t2＋4（2cosα＋sinα）t－8＝0.①

因为曲线C截直线l所得线段的中点（1，2）在C内，

所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.

又由①得t1＋t2＝－，

故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.

【例2－3】（2019·濮阳三模）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝.

（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）已知与直线l平行的直线l′过点M（2，0），且与曲线C交于A，B两点，试求|AB|.

解　

（1）直线l的参数方程可化为（t为参数），

消去t可得直线的普通方程为y＝（x－1）＋1，

又∵

∴直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ－＋1＝0，

由ρ＝可得ρ2（1－cos2θ）＝2ρcosθ，

∴曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.

（2）直线l的倾斜角为，

∴直线l′的倾斜角也为，

又直线l′过点M（2，0），

∴直线l′的参数方程为（t′为参数），

将其代入曲线C的直角坐标方程可得3t′2－4t′－16＝0，

设点A，B对应的参数分别为t′1，t′2，

由一元二次方程的根与系数的关系知

t′1t′2＝－，t′1＋t′2＝，

∴|AB|＝|t′1－t′2|＝＝.

规律方法　已知直线l经过点M0（x0，y0），倾斜角为α，点M（x，y）为l上任意一点，则直线l的参数方程为（t为参数）．

1．若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则||||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝.

2．若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝.

3．若直线l上的线段M1M2的中点为M0（x0，y0），则t1＋t2＝0，t1t2<0.

易错警示　在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值，否则参数不具备该几何意义．

【训练2】（2019·岳阳二模）已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且取相同的单位长度建立平面直角坐标系，则直线l的参数方程是（t为参数）.

（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；

（2）设点P（m，0），若直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求非负实数m的值.

解　

（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2，

曲线C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，即ρ2＝2ρcosθ，

得x2＋y2＝2x，即曲线C的直角坐标方程为（x－1）2＋y2＝1，

由直线l的参数方程（t为参数），

可得其普通方程为x－y－m＝0.

（2）将（t为参数）代入圆（x－1）2＋y2＝1，

可得t2＋（m－1）t＋m2－2m＝0，

由Δ＝3（m－1）2－4（m2－2m）>0，可得－1

由m为非负数，可得0≤m<3.

设t1，t2是方程的两根，则t1t2＝m2－2m，

由|PA|·|PB|＝1，可得|m2－2m|＝1，

解得m＝1或1±，

因为0≤m＜3，所以m＝1或1＋.

考点三　参数方程与极坐标方程的综合应用

【例3－1】（2018·福州调研）在直角坐标系xOy中，曲线C1：

（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρ＝2sinθ，曲线C3：

ρ＝2cosθ.

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.

解　

（1）曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，

曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.

联立解得或

所以C2与C3交点的直角坐标为（0，0）和.

（2）曲线C1的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），

其中0≤α＜π.

因此A的极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）.

所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.

当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.

【例3－2】（2017·全国Ⅲ卷）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：

ρ（cosθ＋sinθ）－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径.

解　

（1）由l1：

（t为参数）消去t，

化为l1的普通方程y＝k（x－2），①

同理得直线l2的普通方程为x＋2＝ky，②

联立①，②消去k，得x2－y2＝4（y≠0）.

所以C的普通方程为x2－y2＝4（y≠0）.

（2）将直线l3化为普通方程为x＋y＝，

联立得

∴ρ2＝x2＋y2＝＋＝5，∴l3与C的交点M的极径为.

规律方法　1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．

2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．

【训练3】（2019·荆州一模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）.

（1）求曲线C的普通方程；

（2）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的方程为ρsin＋＝0，已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|.

解　

（1）由（α为参数）得sinα＝，cosα＝，

将两式平方相加得1＝＋，

化简得x2＋y2＝2.

故曲线C的普通方程为x2＋y2＝2.

（2）由ρsin＋＝0，

知ρ（cosθ－sinθ）＋＝0，

化为直角坐标方程为x－y＋＝0，

圆心到直线l的距离d＝，由垂径定理得|AB|＝.

[思维升华]

1.利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．

2．将参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，化生为熟，体现了化归与转化思想．

[易错防范]

1.将参数方程化为普通方程，在消参数的过程中，要注意x，y的取值范围，保持等价转化．

2．确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解.

基础巩固题组

（建议用时：

60分钟）

1.将下列参数方程化为普通方程.

（1）

（2）

解　

（1）两式相除，得k＝，将其代入得x＝，

化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0（y≠6）.

（2）由（sinθ＋cosθ）2＝1＋sin2θ＝2－（1－sin2θ），x＝1－sin2θ∈[0，2]，

得y2＝2－x.

即所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0，2].

2.平面直角坐标系xOy中，曲线C：

（x－1）2＋y2＝1.直线l经过点P（m，0），且倾斜角为.

（1）求圆C和直线l的参数方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值.

解　

（1）由曲线C：

（x－1）2＋y2＝1.

得参数方程为（θ为参数）.

直线l的参数方程为（t为参数）.

（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，

得t2＋（m－）t＋m2－2m＝0，所以t1t2＝m2－2m，

由题意得|m2－2m|＝1，得m＝1，m＝1＋或m＝1－.

又由Δ>0，即（m－）2－4（m2－2m）>0，

得－1

∴m的值为1，1＋或1－.

3.（2019·兰州诊断考试）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝asinθ（a≠0）.

（1）求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；

（2）设直线l截圆C的弦长是半径长的倍，求a的值.

解　

（1）圆C的直角坐标方程为x2＋＝；

直线l的普通方程为4x＋3y－8＝0.

（2）圆C：

x2＋＝a2，直线l：

4x＋3y－8＝0，

因为直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，

所以圆心C到直线l的距离d＝＝×，解得a＝32或a＝.

4.已知曲线C1：

（t为参数），

曲线C2：

（θ为参数）.

（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：

（t为参数）的距离的最小值.

解　

（1）曲线C1：

（x＋4）2＋（y－3）2＝1，

曲线C2：

＋＝1，

曲线C1是以（－4，3）为圆心，1为半径的圆；

曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

（2）当t＝时，P（－4，4），Q（8cosθ，3sinθ），

故M，

曲线C3为直线x－2y－7＝0，

M到C3的距离d＝|4cosθ－3sinθ－13|

＝|5cos（θ＋φ）－13|，

其中cosφ＝，sinφ＝，从而当cos（θ＋φ）＝1，cosθ＝，sinθ＝－时，d取最小值.

5.（2019·湖南雅礼中学、河南省实验中学联考）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α为常数）的直线l过点M（－2，－4），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ，

（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值.

解　

（1）∵倾斜角为α的直线l过点M（－2，－4），

∴直线l的参数方程是（t是参数）.

∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ，

∴曲线C的直角坐标方程是y2＝2x.

（2）把直线l的参数方程代入y2＝2x，

得t2sin2α－（2cosα＋8sinα）t＋20＝0，

设A，B对应的参数分别为t1，t2，

∴t1t2＝，

根据直线参数方程中参数的几何意义，

得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝＝40，

又α∈[0，π），故α＝或α＝，

又∵Δ＝（2cosα＋8sinα）2－80sin2α>0，∴α＝.

6.（2019·茂名二模）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α<π）.

（1）若α＝，求l的普通方程，直接写出C的直角坐标方程；

（2）若l与C有两个不同的交点A，B，且P（2，1）为AB的中点，求|AB|.

解　

（1）由直线l的参数方程（t为参数）及α＝可得其直角坐标方程为x＋y－3＝0，

由曲线C的极坐标方程ρ＝，

得其直角坐标方程为y2＝2x.

（2）把直线l的参数方程（t为参数），

代入抛物线方程y2＝2x得t2sin2α＋2t（sinα－cosα）－3＝0（*），

设A，B所对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝－.

∵P（2，1）为AB的中点，

∴P点所对应的参数为＝－＝0，

∴sinα－cosα＝0，即α＝.

则（*）变为t2－3＝0，此时t2＝6，t＝±，

∴|AB|＝2.

能力提升题组

（建议用时：

20分钟）

7.（2019·衡水中学模拟）在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为（θ为参数）.

（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；

（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值.

解　

（1）∵C1的极坐标方程是ρ＝，

∴4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，

∴4x＋3y－24＝0，

故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0.

∵曲线C2的参数方程为∴x2＋y2＝1，

故C2的普通方程为x2＋y2＝1.

（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为（α为参数）.

设N（2cosα，2sinα），则点N到曲线C1的距离

d＝

＝

＝.

当sin（α＋φ）＝1时，d有最小值，

所以|MN|的最小值为.

8.（2018·全国Ⅲ卷）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为（θ为参数），过点（0，－）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点.

（1）求α的取值范围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程.

解　

（1）⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.

当α＝时，l与⊙O交于两点.

当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.

l与⊙O交于两点当且仅当<1，

解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.

综上，α的取值范围是.

（2）l的参数方程为（t为参数，<α<）.

设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，

则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.

于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.

又点P的坐标（x，y）满足

所以点P的轨迹的参数方程是（α为参数，<α<）.