精编完整版浅谈中学数学代数中的二次函数毕业论文设计.docx

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精编完整版浅谈中学数学代数中的二次函数毕业论文设计

2013年度本科生毕业论文

浅谈中学数学代数中的二次函数

教学系：

数理系

专业：

数学与应用数学

年级：

姓名：

学号：

导师及职称：

（讲师）

2013年4月

毕业论文（设计）原创性声明

本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。

对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。

作者签名：

日期：

毕业论文（设计）授权使用说明

本论文（设计）作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。

有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。

学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。

保密的论文（设计）在解密后适用本规定。

作者签名：

指导教师签名：

日期：

日期：

毕业论文（设计）答辩委员会（答辩小组）成员名单

姓名

职称

单位

备注

主任（组长）

内容摘要

函数是数学中重要的概念之一，它既是数学研究的对象，又是解决数学问题的基本方法，函数概念的产生是人类对现实世界认识上的一次重大的飞跃，它是从数量关系上对客观事物之间的联系的一种基本反映。

二次函数有丰富的内涵和外延，通过函数，方程，不等式之间的联系，可以产生灵活多变的数学问题。

本文就对学习函数时应注意的各事项进行归纳和总结，首先对于二次函数的图像，基本性质及其基本形式之间的相互转换作了简单介绍。

再者，着重介绍了二次函数的最值问题，并结合实际问题对于最值问题就二次函数的基本性质进行求解，通过求解归纳总结出二次函数在实际问题求解最值领域中的广泛应用。

最后，对二次函数作了系统的考查，特别是二次函数与二次曲线的交点问题，它出现的形式较为灵活多变，从不同角度考查了二次函数的基本性质，它主要涉及到弦长，弦中点，对称与参量的问题，其解题方法归结为以“联立方程组，韦达定理，根的分布及曲线的定义”为依据求解。

关键词：

函数二次函数和二次方程二次函数的最值问题二次函数的实际应用二次曲线与直线的交点问题

目录

引言………………………………………………………………………………………页

第一章一元二次函数的图像及其性质

1.1.一元二次函数的图象················································页

1.2.通过分析abc的取值对函数的性质进行解读·············页

1.3.一元二次函数的三个基本形式········································页

1.4.利用一元二次函数解一元二次不等式··································页

1.5.利用二次函数讨论方程的解·········································页

第二章二次函数的极值问题············································

第三章二次函数的实际应用·············································

第四章二次函数的考查··················································

4.1.对称轴平移···············································

4.2.轨迹问题···················································

4.3.二次曲线与直线的交点问题·········································

总结………………………………………………………………………………………

参考文献…………………………………………………………………………………

致谢………………………………………………………………………………………

引言：

根据参考文献的查阅得知由于课改，中学的代数内容逐渐由解方程为中心转移到以研究函数为中心，为此作为即将毕业的师范类专业的学生，有必要对中学中的二次函数进行全面的认识和了解。

并且在深入的了解二次函数时可以提升自己的数学思维能力，从而为以后的从业道路打下坚实的基础。

第一章一元二次函数的图像及其性质

一般地，把形如其中，b，c是常数，≠0，bc可以为0）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

x为自变量，y为因变量。

等号右边自变量的最高次数是2。

二次函数图像是轴对称图形。

1.1一元二次函数的图象

在平面直角坐标系中作出二次函数的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。

任意的一个二次函数图象可以通过变形得y因此二次函数的图像可通过平移得到。

1.2通过分析abc的取值对函数的性质进行解读

1.2.1a的符号决定抛物线的开口方向和极限情况，a的绝对值大小决定开口的大小，通过配方我们知道函数的顶点坐标为对称轴为（）。

①当a>0时抛物线开口向上，函数有极小值。

②当a<0时抛物线开口向下，函数有极大值。

3a的绝对值越大开口就越小。

1.2.2知道函数的对称轴为，因此ab的符号大小决定了对称轴的位置

1.2.3函数当出现x=0时y=c那么抛物线必然经过点（0.c）所以c决定抛物线与y轴的交点位置。

1.2.4抛物线与x轴的交点的横坐标y=0的x的值，就是一元二次方程的两根，所以抛物线与x轴的交点个数与有关。

①当>0时抛物线与x轴有两个交点。

2当=0时抛物线与x轴有一个交点。

3当<0时抛物线与x轴无交点。

1.3.一元二次函数的三个基本形式

一般式：

又称为标准式或定义式，式中有三个字母系数，确定二次函数的解析表达就是确定字母的取值，三个未知数的确定需要3个独立的条件，

顶点式：

顶点式适用于已知二次函数图像的顶点坐标及给的另一条件，即已知与定点有关的条件。

交点式：

适用于已知二次函数图像在x轴两交点，及所给的另一条件，此时二次函数的解就是二次方程的两根.

总结：

求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式。

①若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

②若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

③若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式.

1.4.一元二次函数与一元二次不等式的关系

我们用二次函数解一元二次方程时，就是要找出使二次函数的值是零的x值，然后从图形上看抛物线与x轴的交点数，无交点时即方程无实根，而交点的坐标即为方程的根，同样的我们可以用这样的方法解不等式。

例求和的解。

先作出图像抛物线与x轴的交点为A（-2.0）B（1.0）

当x取（-2.1）时函数图像在x轴下方，那么函数值为负即的解

当x取（-∞.-2）和（1.+∞）时函数图像在x轴的正上方，那么函数的值为正的解

1.5.利用二次函数讨论方程的解

例：

设二次函数，方程的两根和满足

（1）求实数a的取值范围

（2）是比较与的大小，并说明理由。

分析:

（1）利用二次函数图像的对称轴，顶点和其他特殊点的位置建立不等式组求解或直接利用一元二次方程根的判定方法求解；

（2）作差比较大小

解：

（1）令

，则由题意可得

故所求实数a的取值范围是

（2）因为

令

当时，单调递增，所以当时，

即

第二章二次函数的最值问题

二次函数的极值问题可以通过配方法和判别式法求得即

若则当时

若则当时

这些方法本质就是在研究函数y的值集，如果找到一个函数的值集（假如存在极值）我们就可以在值集里找出函数的最大值和最小值

指定区间二次函数的最值和值域（求二次函数的值域或最值，常用方法是配方法，二次函数在给定闭区间上的最值在顶点或区间端点处取得，如果解析式中含参数，需要对参数进行分类讨论，根据对称轴与给定区间的位置关系，结合二次函数的图像利用二次函数的单调性处理）

例：

试求二次函数在区间上的最小值。

分析：

二次函数的图像的对称轴为，要求函数在区间上的最小值就需要看对称轴与的位置关系，为此需结合二次函数的图像对a进行分类讨论。

解析：

当，即时，函数在区间上为减函数，故此时最小值为

当，即时，函数在区间上为增函数，故此时最小值为

综上：

当时，最小值为：

当时，最小值为，当时，最小值为

例：

若a为实数，设函数

的最大值为。

（1）设，求t的取值范围，并把表示为t的函数

（2）求

解析

（1）因为所以要使t有意义，必须，即

所以，且①

所以t的取值范围是

由①得所以

，

（3）由题意知即为函数，的最大值，所以直线式抛物线的对称轴，所以可分以下几种情况进行讨论

1当时，函数，的图像时开口向上的抛物线的一段，由知，在上单调递增，故

2当时，，，有

3当时，函数，的图像时开口向下的抛物线的一段，若，即时，易知，若，即时，可知此时，若，即时，可知此时

综上所述，有：

第三章二次函数的实际应用

例：

某旅游点有50辆自行车供游客租凭使用，管理这些自行车的费用是每日115元，根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出，若超过6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）

（1）求函数的解析式及其定义域

（2）当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？

解析：

（1）当时，，令解得

因为所以所以，

当时，

令，有

上述不等式的整数解为

所以，

故

定义域为

（3）对于

显然当时（元）对于

，当x=11时（元）

因为所以当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多。

总结：

二次函数的实际运用总结到一点就是求当自变量取何值式函数值取到最大或最小值，一般这样的问题多出现为：

经济问题中的利润最大化，工作中的材料最简化，人员安排与时间问题之间的最优化。

第四章二次函数的考查

4.1.对称轴平移

例已知二次函数（）的图像关于y轴对称对于恒成立且求的解析式

解：

因为的图像关于y轴对称，那么顶点坐标

因为所以

又因为恒成立

所以当时即图像过点（01）

综上所述

所以的解析式为

例将函数进行平移，使得到得图形与抛物线的两个交点关于原点对称，求平移后的函数解析式

解：

设（mn）和（-m-n）是与的两个交点则

或

所以点（14）和点（-1-4）在函数的图像上

所以平移后的函数解析式为即为

4.2.轨迹问题

建立平面直角坐标系xoy，x轴在地面上，y轴垂直于地面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。

求炮的最大射程

设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？

说明理由

分析：

本题主要考查函数，方程和基本不等式等基础知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力。

解：

（1）令的由实际意义和题设条件知

故，当且仅当k=1时取等号

所以炮的最大射程为10千米

（2）因为,所以

炮弹可以击中目标存在，使成立

关于的方程有正根

判别式

所以当不超过6（千米）时，可以击中目标.

4.3.二次曲线与直线的交点关系

分析：

直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长，弦中点，对称，参量的取值范围，求曲线方程等问题一般依据“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线的定义”

例：

已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆相切，过点作斜率为的直线L，使得L和G交于a，b两点，和y轴交于点c，并且点p在线段AB上，又满足

（1）求双曲线G的渐近线的方程。

（2）求双曲线G的方程

（3）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴。

如果S中垂直于L的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程。

解：

（1）设双曲线G的渐近线的方程为

则由渐近线与圆相切可得

所以，即双曲线G的渐近线的方程为：

（2）由

（1）可设双曲线G的方程为：

把直线L的方程代入双曲线方程，整理得

则，

因为，P,A,B,C共线且P在线段AB上

所以

即：

，整理得

综上所述解的，所以双曲线的方程为

（4）由题可设椭圆S的方程为：

，下面我们来求出S中垂直于L的平行弦中的轨迹。

设弦的两个端点分别为，MN的中点为

则两式作差得：

由于，

所以，所以，垂直于L的平行弦中点的轨迹为直线截在椭圆S内的部分，又由题，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以，那么椭圆S的方程为：

设抛物线过定点，且以直线为准线

（1）求抛物线顶点的轨迹C的方程

（2）若直线L与轨迹C交于不同的两点M,N且线段MN恰被直线平分，设弦MN的垂直平分线的方程为，试求m的取值范围。

解：

（1）设抛物线的顶点为，则其焦点为。

由抛物线的定义可知（它等于点A到直线x=1的距离）

所以，所以抛物线顶点G的轨迹C的方程为

（2）因为m是弦MN的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由MN所唯一确定，所以要求m的取值范围，还应该从直线L与轨迹C相交入手

显然，直线L与坐标轴不可能平行，所以，这直线L的方程为，代入椭圆方程得：

，由于L与轨迹C交于不同的两点M,N，所以

，即

又线段MN恰好直线平分，所以所以，从而得知

下面，只需找到M与K的关系，即可求出m的取值范围，由于为弦MN的垂直平分线，故可考虑弦MN的中点

在L:

中，令，可解得：

将点代入可得：

所以且

参考文献：

[1].人民教育出版社八年级学生用书上下册

[2].北京大学出版社高等数学

[3].赵攀峰中国期刊网—二次函数求解秘方湖南长沙长郡中学

[4].贺清伦中国期刊网—二次函数与一元二次函数的关系及运用重庆市涪陵区第十四中学

[5].徐红梅中国期刊网—解读二次函数江苏省扬州市江都区宜陵镇中学

[6].上海人民出版社数理化自学丛书

[7].曾志中国期刊网—浅谈二次函数的应用浦江县浦江中学

[8].直线与二次曲线的交点关系豆丁网

致谢：

光阴似箭，白驹过隙，转眼间四年的大学本科生活即将落下帷幕，平平淡淡却又充实的四年，我收获着师生情，同窗情，收获着思想与智慧，也收获着感动。

首先我要感谢XXX学院给我一个学习与成长的良好环境。

再者我要感谢我的指导老师XXX，从选题到查阅资料，初稿，二稿，修改到再次修改总是细致入微，不厌其烦的给我指导和帮助，百忙之中的一次次面批，让我的论文一次比一次有了改观，直到成文。

其次我要感谢我的班主任XXX老师，在四年的大学生活中，他言传身教，以身作则，让我潜移默化的学到了很多做人做事的道理。

最后感谢学院的所有老师和员工，感谢你们辛勤的教育与关怀让我在一个美好的环境中不断成长。