专题 平面几何的最值问题.docx

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专题平面几何的最值问题

专题25平面几何的最值问题

阅读与思考

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值．

求几何最值问题的基本方法有：

1．特殊位置与极端位置法：

先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．

2．几何定理（公理）法：

应用几何中的不等量性质、定理．

3．数形结合法等：

揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．

例题与求解

【例1】在Rt△ABC中，CB=3，CA=4，M为斜边AB上一动点．过点M作MD⊥AC于点D，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．（四川省竞赛试题）

解题思路：

四边形CDME为矩形，连结CM，则DE=CM，将问题转化为求CM的最小值．

【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm．若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）

解题思路：

作点B关于AC的对称点B′，连结B′M，B′A，则BM=B′M，从而BM+MN=B′M+MN．要使BM+MN的值最小，只需使B′M十MN的值最小，当B′，M，N三点共线且B′N⊥AB时，B′M+MN的值最小．

【例3】如图，已知□ABCD，AB=a，BC=b（

），P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q．求AP+BQ的最小值．（永州市竞赛试题）

解题思路：

设AP=

，把AP，BQ分别用

的代数式表示，运用不等式以

或a+b≥2

（当且仅当a=b时取等号）来求最小值．

【例4】阅读下列材料：

问题如图1，一圆柱的底面半径为5dm，高AB为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到C点的最短路线．

小明设计了两条路线：

路线1：

侧面展开图中的线段AC．如图2所示．

设路线l的长度为l1，则l12=AC2=AB2+BC2=25+（5π）2=25+25π2．

路线2：

高线AB十底面直径BC．如图1所示．

设路线l的长度为l2，则l22=（BC+AB）2=（5+10）2=225．

∵l12–l22=25+25π2－225=25π2－200=25（π2－8），∴l12＞l22，∴l1＞l2．

所以，应选择路线2．

（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：

“圆柱的底面半径为1分米，高AB为5分米”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：

路线1：

l12=AC2=25+π2；

路线2：

l22=（AB+BC）2=49．∵l12l22，∴l1＜l2 （ 填“＞”或“＜”），所以应选择路线1

（填“1”或“2”）较短．

（2）请你帮小明继续研究：

在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短．（衢州市中考试题）

解题思路：

本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．

【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率．（中学生数学智能通讯赛试题）

解题思路：

设DN=x，PN=y，则S=

．建立矩形MDNP的面积S与x的函数关系式，利用二次函数性质求S的最大值，进而求钢板的最大利用率．

【例6】如图，在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90°，BC，AD的延长线交于P，求AB·S△PAB的最小值．（中学生数学智能通讯赛试题）

解题思路：

设PD=x（x>1），根据勾股定理求出PC，证Rt△PCD∽Rt△PAB，得到

，求出AB，根据三角形的面积公式求出y=AB·S△PAB，整理后得到y≥4，即可求出答案．

能力训练

A级

1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是．（烟台市中考试题）

2．D是半径为5cm的⊙O内一点，且OD=3cm，则过点O的所有弦中，最短的弦AB=cm．

（广州市中考试题）

3．如图，有一个长方体，它的长BC=4，宽AB=3，高BB1=5．一只小虫由A处出发，沿长方体表面爬行到C1，这时小虫爬行的最短路径的长度是．（“希望杯”邀请赛试题）

第1题图第3题图第4题图第5题图

4．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（）（兰州市中考试题）

A．4

B．4.75C．5D．4.8

5．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A，则小虫所走的最短距离为（）（河北省竞赛试题）

A．12B．4πC．6

D．6

6．如图，已知∠MON=40°，P是∠MON内的一定点，点A，B分别在射线OM，ON上移动，当△PAB周长最小时，∠APB的值为（）（武汉市竞赛试题）

A．80°B．100°C．120°D．140°

7．如图，

是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为AD上任意一点．若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（）（福州市中考试题）

A．15B．20C．15+5

D．15+5

第6题图第7题图第8题图

8．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合），BE的垂直平分线交AB于M，交DC与N．

（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式．

（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？

最大值是多少？

（山东省中考试题）

9．如图，六边形ABCDEF内接于半径为r的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA．

（1）当∠BAD=75°时，求

的长；

（2）求证：

BC∥AD∥FE；

（3）设AB=

，求六边形ABCDEF的周长l关于x的函数关系式，并指出x为何值时，l取得最大值．

10．如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D）．Q是BC边上任意一点．连结AQ，DQ，过P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F．

（1）求证：

△APE∽△ADQ；

（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？

最大值为多少？

（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？

（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明）

（无锡市中考试题）

11．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M，N分别在两腰AB，AC上（M不与A，B重合，N不与A，C重合），且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．

（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？

（2）设MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（宁夏省中考试题）

B级

1．已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD=16，且S四边彤ABCD=32，那么当AC=，BD=时，四边形ABCD面积最大，最大值是．（“华杯赛”试题）

2．如图，已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，BC=2

，则r的取值范围是．（江苏省竞赛试题）

第2题图第3题图第4题图第5题图

3．如图⊙O的半径为2，⊙O内的一点P到圆心的距离为1，过点P的弦与劣弧

组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为．

4．如图，△ABC的面积为1，点D，G，E和F分别在边AB，AC，BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB，则梯形DEFG面积的最大可能值为．（上海市竞赛试题）

5．已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴，y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的最大值是．（潍坊市中考试题）

6．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）（鄂州市中考试题）

A．

B．

C．

D．3

第6题图第7题图第8题图

7．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B，C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q．设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．

（1）求点P在BC上运动的过程中y的最大值；

（2）当y=

cm时，求x的值．（河南省中考试题）

8．如图，y轴正半轴上有两点A（0，a），B（0，b），其中a>b>0．在x轴上取一点C，使∠ACB最大，求C点坐标．（河北省竞赛试题）

9．如图，正方形ABCD的边长为1，点M，N分别在BC，CD上，使得△CMN的周长为2．求：

（1）∠MAN的大小；

（2）△MAN的面积的最小值．（“宇振杯”上海市竞赛试题）

10，如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC于F，DE与AB相交于点E．

（1）求证：

AB·AF=CB·CD；

（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点，设DP=xcm（x>0），四边形BCDP的面积为ycm2．

①求y关于x的函数关系式；

②当x为何值时，△PBC的周长最小？

求出此时y的值．（南通市中考试题）

第6题图第7题图第8题图第9题图