届高考理科数学二轮复习 第二部分 专题一思想方法 巧解客观题的六大技法 学案.docx
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届高考理科数学二轮复习第二部分专题一思想方法巧解客观题的六大技法学案
第二讲 巧解客观题的六大技法
直接法
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.
【例1】
（1）若双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线被圆（x－2）2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）
A．2B．
C.D．
（2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.
[解析]
（1）依题意，双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为bx－ay＝0.因为直线bx－ay＝0被圆（x－2）2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以＝，所以3a2＋3b2＝4b2，所以3a2＝b2，所以e＝＝＝2.
（2）因为A，C为△ABC的内角，
且cosA＝，cosC＝，
所以sinA＝，sinC＝，
所以sinB＝sin（π－A－C）＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.
又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝×＝.
[答案]
（1）A
（2）
[反思提升] 直接法是解决选择题，填空题最基本的方法，直接法适用范围较广．在计算过程中，要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解问题的关键．
「对点训练」
1．（2018·惠州模拟）已知向量a＝（2,1），b＝（1，m），c＝（2,4），且（2a－5b）⊥c，则实数m＝（ ）
A．－B．－
C.D．
解析：
因为2a－5b＝2（2,1）－5（1，m）＝（－1,2－5m），又（2a－5b）⊥c，所以（2a－5b）·c＝0，即（－1,2－5m）·（2,4）＝－2＋4（2－5m）＝0，解得m＝，故选D.
答案：
D
2．（2018·枣庄模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝2，且C＝，则△ABC的面积为________．
解析：
由正弦定理＝⇒sinB＝＝，又c>b，且B∈（0，π），所以B＝，所以A＝，所以S＝bcsinA＝×2×2sin＝×2×2×＝＋1.
答案：
＋1
特例法
当已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值（特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论.
【例2】
（1）若a>b>1,0A．acC．alogbc（2）已知双曲线E：
－＝1（a>0，b>0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
[解析]
（1）解法一：
特殊值验证法：
根据a，b，c满足的条件，取特殊值求解．
∵a>b>1,0∴不妨取a＝4，b＝2，c＝，
对于A,4＝2,2＝，2>，
∴选项A不正确；
对于B,4×2＝4，2×4＝4,4>4，
∴选项B不正确；
对于C,4×log2＝－4,2×log4＝－1，－4<－1，
∴选项C正确；
对于D，log4＝－，log2＝－1，－>－1，
∴选项D不正确．
故选C.
解法二：
直接法：
根据待比较式的特殊构造函数，直接利用函数单调性及不等式的性质进行比较．
∵y＝xα，α∈（0,1）在（0，＋∞）上是增函数，
∴当a>b>1,0bc，A不正确；
∵y＝xα，α∈（－1,0）在（0，＋∞）上是减函数，
∴当a>b>1,0ac－1bac，B不正确；
∵a>b>1，∴lga>lgb>0，∴alga>blgb>0，
∴>.
又∵0∴<，∴alogbc同理可证logac>logbc，D不正确．
（2）解法一：
特殊值法：
利用双曲线的性质，设特殊值求解．
如图，∵2|AB|＝3|BC|，
∴不妨设|AB|＝6，|BC|＝4，
则|AF1|＝3，|F1F2|＝4，
∴|AF2|＝5.由双曲线的定义可知，a＝1，c＝2，
∴e＝＝2.
解法二：
直接法：
利用双曲线的性质，建立关于a，b，c的等式求解．
如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝2c.
又2|AB|＝3|BC|，
∴2×＝3×2c，即2b2＝3ac，
∴2（c2－a2）＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2（负值舍去）．
[答案]
（1）C
（2）2
[反思提升] 特例法具有简化运算和推理的优点，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题，但用特例法解题时，要注意以下几点：
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解；
第三，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，不能使用该种方法求解．
「对点训练」
1．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝（ ）
A．20B．15
C．9D．6
解析：
若▱ABCD为矩形，建系如图，由已知得M（6,3），N（4,4），则＝（6,3），＝（2，－1），·＝6×2－3×1＝9.
答案：
C
2．设椭圆C：
＋＝1的长轴的两端点分别是M，N，P是C上异于M，N的任意一点，则PM与PN的斜率之积等于________．
解析：
取特殊点，设P为椭圆的短轴的一个端点（0，），又取M（－2,0），N（2,0），所以kPM·kPN＝·＝－（亦可用常规解法，即设P（x，y））．
答案：
－
图解法
对于一些含有几何背景的问题，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果.Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.
【例3】 已知函数f（x）＝若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（ ）
A．（－∞，0]B．（－∞，1]
C．[－2,1]D．[－2,0]
[解析] 当x≤0时，f（x）＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1≤0，所以|f（x）|≥ax化简为x2－2x≥ax，即x2≥（a＋2）x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x>0时，f（x）＝ln（x＋1）>0，所以|f（x）|≥ax化简为ln（x＋1）>ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f（x）|≥ax恒成立，选择D.
[答案] D
[反思提升] 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．
「对点训练」
1．已知当x∈[0,1]时，函数y＝（mx－1）2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ）
A．（0,1]∪[2，＋∞）B．（0,1]∪[3，＋∞）
C．（0，]∪[2，＋∞）D．（0，]∪[3，＋∞）
解析：
①当0易知此时两函数图象在x∈[0,1]上有且只有一个交点；
②当m>1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝（mx－1）2与y＝＋m的图象，如图．
要满足题意，则（m－1）2≥1＋m，
解得m≥3或m≤0（舍去），
所以m≥3.
综上，正实数m的取值范围为（0,1]∪[3，＋∞）．
答案：
B
2．已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：
①0A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：
函数y1＝x与y2＝x的图象如图所示．
由a＝b得a答案：
B
构造法
用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知（例如代数式）形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景（几何背景、代数背景），从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的.
【例4】
（1）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）
A．3B．2
C．2D．2
（2）设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，
n∈N*，则a1＝________，S5＝________.
[解析]
（1）由三视图还原为如图所示的四棱锥A－BCC1B1，
将该四棱锥放入棱长为2的正方体中，易得最长的棱长为AC1＝＝＝2.
（2）因为an＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，
所以Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3，
所以数列是公比为3的等比数列，所以＝3.又S2＝4，所以S1＝1，所以a1＝1，
所以S5＋＝×34＝×34＝，
所以S5＝121.
[答案]
（1）B
（2）1 121
[反思提升] 构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向．一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题，在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧．通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等．
「对点训练」
1．已知m，n∈（2，e），且－A．m>nB．mC．m>2＋D．m，n的大小关系不确定
解析：
由不等式可得－0，故函数f（x）在（2，e）上单调递增．因为f（n）答案：
A
2．已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________．
解析：
由于e是任意单位向量，可设e＝，
则|a·e|＋|b·e|＝＋≥
＝
＝|a＋b|.
因为|a·e|＋|b·e|≤，所以|a＋b|≤，
所以（a＋b）2≤6，所以|a|2＋|b|2＋2a·b≤6，
因为|a|＝1，|b|＝2，所以1＋4＋2a·b≤6，
所以a·b≤，所以a·b的最大值为.
答案：
排除法
排除法也叫筛选法、淘汰法，此法适用于选择题，它是充分利用选择题的特征，即有且只有一个正确的选项，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选择支，从而得出正确结论的一种方法.
【例5】 函数y＝的部分图象大致为（ ）
[解析] 令函数f（x）＝，其定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f（－x）＝＝＝－f（x），所以f（x）＝为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；因为f
（1）＝>0，f（π）＝＝0，故排除A、D，选C.
[答案] C
[反思提升] 排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题，当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，在近几年高考选择题中占有很大的比重．
「对点训练」
1．已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．[0,1]B．（0,1]
C．（－∞，0）∪（1，＋∞）D．（－∞，0]∪[1，＋∞）
解析：
解法一：
k＝0时，8≥0，满足条件，排除B、C；当k＝2时，不等式变为x2－6x＋5≥0，即x≥5或x≤1不满足条件，排除D.
解法二：
当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0化为8≥0，其对任意的x∈R恒成立；当k<0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0不能恒成立；当k>0时，要使不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，对于方程kx2－6kx＋k＋8＝0，需Δ＝36k2－4（k2＋8k）≤0，得0综上，实数k的取值范围是[0,1]，故选A.
答案：
A
2．已知函数f（x）＝则函数y＝f（1－x）的大致图象是（ ）
解析：
解法一：
当x＝0时，y＝f
（1）＝3，即y＝f（1－x）的图象过点（0,3），排除A；当x＝－2时，y＝f（3）＝－1，即y＝f（1－x）的图象过点（－2，－1），排除B；当x＝－时，y＝f＝log<0，即y＝f（1－x）的图象过点，排除C.故选D.
解法二：
当x<0时，1－x>1，y＝log（1－x）<0，只有D项符合．
答案：
D
估值法
估值法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法.该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要详细的过程，因此可以猜测、合理推理、估算而获得，从而减少运算量.
【例6】
（1）若Ω为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过Ω中的那部分区域的面积为（ ）
A.B．1
C.D．2
（2）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（ ）
A.B．5
C．6D．
[解析]
（1）如图知所求区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形．阴影部分面积比1大，比S△OAB＝×2×2＝2小．
（2）可连接BE，CE，
问题转化为四棱锥E－ABCD与三棱锥E－BCF的体积之和，而VE－ABCD＝S×h＝×9×2＝6.
所以只有选项D符合题意．
[答案]
（1）C
（2）D
[反思提升] 估值法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时，如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题，常用此种方法确定选项．
「对点训练」
1．在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则（ ）
A．p1C．p3解析：
满足条件的x，y构成的点（x，y）在正方形OBCA及其边界上．事件“x＋y≥”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x－y|≤”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy≤”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p2答案：
B
2．图中阴影部分的面积S是h的函数（0≤h≤H），则该函数的大致图象是（ ）
解析：
由题图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.
答案：
B
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